中考数学专题复习全攻略：第三节　分式方程及其应用 含解析答案

第三节　分式方程及其应用

知识点一：分式方程及其解法   

1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

变式练习：在下列方程中，①3；②2；③4，其中是分式方程的是③.

2.解分式方程

基本思路：分式方程                    整式方程

变式练习：将方程转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).

解法步骤：

(1)去分母，将分式方程化为整式方程；

分两步，第一步将各个分母因式分解，第二步方程两边都乘以最简公分母（最简公分母是指各个分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积），得整式方程。

(2)解所得的整式方程；

移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;

(3) 检验：

求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。

变式练习1：分式方程＝的解是________．

【解析】方程两边同乘x(x＋1)，得3x＝2(x＋1)，

去括号得，3x＝2x＋2，

移项得，3x－2x＝2，

合并同类项得，x＝2，

经检验，

     x＝2是原分式方程的解．

变式练习2：若分式方程有增根，则增根为1.

变式练习3：＋＝－1.

【解析】去分母得：－(x＋2)2＋16＝4－x2，

去括号得：－x2－4x－4＋16＝4－x2，

解得：x＝2，

经检验x＝2是增根，

分式方程无解

变式练习3：小明解方程－＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．

解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1　……①

去括号得1－x－2＝1  ……②

合并同类项得－x－1＝1  ……③

移项得－x＝2  ……④

解得x＝－2  ……⑤

∴原方程的解为：x＝－2  ……⑥

【解析】：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边同乘以x，得：1－(x－2)＝x，去括号得：1－x＋2＝x，移项得：－x－x＝－1－2，合并同类项得：－2x＝－3，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解，则方程的解为x＝

知识点二  ：分式方程的应用

1.列分式方程解应用题的一般步骤

(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答．

在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.

变式练习1：某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，购买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？

解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得

－＝0.6，

化简，得x2＋3x－130＝0，

解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10，

经检验：x＝10符合题意．

答：该品牌饮料一箱共有10瓶．

变式练习2：某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．

(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

．解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米．

由题意得：－＝4，

解得x＝100，

经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合实际意义．

答：这个工程队原计划每天修建道路100米；

(2)由题意得，1200÷100＝12(天)，

又∵1200÷(12－2)＝120(米)，

∴×100%＝20%.

答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%.

变式练习3：为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．(墨的质量忽略不计)

解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为(x＋0.8)克，根据题意，得：＝2×，解得：x＝3.2，经检验：x＝3.2是原分式方程的解，且符合题意，答：A4薄型纸每页的质量为3.2克

变式练习4：为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120 km缩短至114 km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110 km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．

解：设城际铁路现行速度是x km/h.由题意得：×＝，解这个方程得：x＝80.经检验：x＝80是原方程的根，且符合题意．则×＝×＝0.6(h)．答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6 h

变式练习5：某饰品店老板去批发市场购买新款手链，第一次购手链共用100元，按该手链的定价2.8元销售，并很快售完．由于该手链深得年轻人喜爱，十分畅销，第二次去购手链时，每条的批发价已比第一次高0.5元，共用去了150元，所购数量比第一次多10条．当这批手链售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的手链．试问该老板第二次售手链是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

解：设第一次的批发价为x元/条，则第二次的批发价为(x＋0.5)元/条．依题意得(x＋0.5)(10＋)＝150，解得x1＝2，x2＝2.5.经检验x1＝2，x2＝2.5都是原方程的根．由于当x＝2.5时，第二次的批发价就是3元/条，而零售价为2.8元，所以x＝2.5不合题意，舍去．故第一次的批发价为2元/条，第二次的批发价为2.5元/条，第二次共批发手链＝＝60(条)，第二次的利润＝(×60×2.8＋×60×2.8×0.5)－150＝1.2(元)．所以该老板第二次售手链赚了1.2元