安徽省合肥一中2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析）

安徽省合肥一中2022-2023学年高一下学期第一次月考

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列五个结论：

①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；

②向量a≠b，则a与b的方向必不相同；

③|a|>|b|，则a>b；

④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；

⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量．其中正确的有(　)

A. ①⑤  B. ④  C. ⑤  D. ②④

【答案】C

【解析】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a≠b，但a与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；作图易得⑤正确．

2. 若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)

A. 正三角形  B. 锐角三角形  C. 斜三角形  D. 等腰直角三角形

【答案】D

【解析】由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.

3. 已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　)

A. 30°    B. 45°      C. 135°    D. 150°

【答案】A

【解析】因为(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，所以a·b＝.

设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.

又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.

4. 如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)

A. 2i＋3j        B. 4i＋2j       C. 2i－j          D. －2i＋j

【答案】C

【解析】∵A(2,3)，B(4,2)，

∴＝(4,2)－(2,3)＝(2，－1)，

∴＝2i－j.

5. 设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)

A.           B.        C.         D.

【答案】A

【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.

6. 已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为(　　)

A. 0         B. -1          C. 2           D. 1

【答案】B

【解析】f(x)=u·v=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,f(x)取得最小值2.

7. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，

||＝2，则||等于(　　)

A. 1         B.        C.            D. 2

【答案】A

【解析】如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又因为∠ACB＝90°，

所以||＝||＝×2＝1.

8. 如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点．若＝m，＝n，其中m，n为实数，则m＋n等于(　　)

A. 1         B.         C. 2          D. 3

【答案】C

【解析】如图，连接AO，

由O为BC中点可得，

＝(＋)＝＋.

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，

∴m＋n＝2.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是(　　)

A. =2i+3j       B. =3i+4j       C. =-5i+j          D. =5i+j

【答案】AC

【解析】由题图知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正确,B不正确;=(-3i+4j)-(2i+3j)=-5i+j,=-=5i-j,故C正确,D不正确.

10. 在△ABC中，若b＝，c＝3，B＝30°，则a的值可以等于(　　)

A.          B. 2         C. 3            D. 4

【答案】AB

【解析】由正弦定理得＝，

即＝，所以sinC＝，

又0°＜C＜180°，所以C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝90°，a2＝32＋()2，a＝2，当C＝120°时，A＝30°，a＝b＝.

11. 如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则(　　)

A. 当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向

B. 当天10:00时,该船距离观测点Ckm

C. 当船行驶至B处时,该船距观测点Ckm

D. 该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km

【答案】ABD

【解析】A项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确.

B项中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,

则∠CAD=45°.

由正弦定理,得AC=,

故B正确.

C项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,

则BD=CD=2,于是BC=2,故C不正确.

D项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+8-22=6,

即AB=km,故D正确.

12. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a≠c，tanB＝2，△ABC的面积为2，则可能取到的值为(　　)

A. 4              B. 2          C. 4                 D. 2

【答案】AC

【解析】因为tanB＝2，所以cosB＝，sinB＝，又S＝acsinB＝2，所以ac＝6，

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4＝(a－c)2＋8，

所以＝＝|a－c|＋≥4当且仅当|a－c|＝时，等号成立，

故的最小值为4，可能取到的值为AC选项．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

13. 已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．

【答案】(5，4)

【解析】设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，

故点B的坐标为(5，4).

14. 若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.

【答案】∪

【解析】由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).

又2a－3b与c的夹角为钝角，

∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6<0，得k<3，

若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.

当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，

此时2a－3b与c共线且反向，不合题意.

综上，k的取值范围为∪.

15. 如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．

【答案】

【解析】设AB的中点是D.

因为＋＝2＝－，

所以＝－，

所以P为CD的五等分点，

所以△ABP的面积为△ABC的面积的.

16. 在△ABC中，a＝，A＝60°，求3b＋2c的最大值________．

【答案】2

【解析】由正弦定理知，＝＝，

因为a＝，A＝60°，

所以＝＝＝2，

所以b＝2sinB，c＝2sinC，

所以3b＋2c＝6sinB＋4sinC＝6sinB＋4sin (60°＋B)

＝6sinB＋4

＝8sinB＋2cosB＝2sin (B＋θ)，

其中tanθ＝，

因为0°＜θ＜30°，0°＜B＋θ＜150°，

当B＋θ＝90°时，3b＋2c取得最大值，为2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （12分）已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).

(1)试计算a·b及|a＋b|的值；

(2)求向量a与b夹角的余弦值.

【答案】解　(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，

b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，

∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

|a＋b|＝＝＝.

(2)设a，b的夹角为θ，

由a·b＝|a||b|cosθ，

∴cosθ＝＝＝.

18. （12分）有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船,现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设河的两岸平行,河水流速均匀.

(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;

(2)求这条河河水的流速.

【答案】解 (1)如图,u是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60°角的静水中的船速,

则v与u的夹角为30°.

由题意知,u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形,其中=v,=u,=w.

由向量加法的三角形法则知,,即u=w+v.

(2)∵|v|=10km/h,而||=||sin30°=10=5(km/h),

∴这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.

19. （10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.

若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．

【答案】解　∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，

即9＝a2＋4a2－2a·2acos，

解得a＝，∴c＝2a＝2.

20. （12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝－.

(1)求sinC的值；

(2)若BD＝5，求△ABD的面积．

【答案】解　(1)因为cos∠ADB＝－，

所以sin∠ADB＝.

又因为∠CAD＝，所以∠C＝∠ADB－.

所以sinC＝sin＝sin∠ADB·cos－cos∠ADB·sin＝×＋×＝.

(2)在△ACD中，由＝，

得AD＝＝＝2.

所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB＝×2×5×＝7.

21. （12分）设两个向量a，b满足a＝(2，0)，b＝，

(1)求a＋b方向的单位向量；

(2)若向量2ta＋7b与向量a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

【答案】解 (1)由已知a＋b＝(2，0)＋(，)＝，

所以|a＋b|＝＝＝，

所以a＋b＝，

即a＋b方向的单位向量为；

(2)由已知a·b＝1，|a|＝2，|b|＝1，

所以(2ta＋7b)(a＋tb)＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7，由于两向量的夹角为钝角，

故(2ta＋7b)(a＋tb)<0且向量2ta＋7b不与向量a＋tb反向共线，

设2ta＋7b＝k(a＋tb)(k<0)，

则解得t＝－从而

解得t∈∪.

22. （14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.

(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【答案】解　(1)因为2sinC＝3sinA，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，

cosC＝＝，所以C为锐角，则sinC＝＝，

因此，S△ABC＝absinC＝×4×5×＝.

(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，

由余弦定理的推论可得cosC＝＝＝<0，

解得－1<a<3，则0<a<3，

由三角形的三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.