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高中数学高考2 第2讲 排列与组合
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这是一份高中数学高考2 第2讲 排列与组合，共15页。试卷主要包含了排列、组合的定义，三个常用公式等内容，欢迎下载使用。
第2讲 排列与组合
最新考纲
考向预测
1.通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
2.能利用排列与组合知识解决简单的实际问题.
命题趋势
近年排列组合问题考查难度有所降低，主要以实际问题为背景考查计数问题，而且多数与概率问题综合考查．
核心素养
数学建模、数学运算
1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
续 表
排列数
组合数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝C，C＋C＝C
常用结论
1．解决排列、组合问题的五大技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
2．三个常用公式
(1)A＝nA.
(2)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(3)kC＝nC.
常见误区
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
2．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．( )
(5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
解析：选C.末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
解析：选C.CCC＝60.
4．(易错题)在100件产品中，有2件次品，从中任取3件，其中“至少有1件次品”的取法有________种．
解析：方法一：第1类，“只有1件次品”，共有CC种；第2类，“有2件次品”，共有CC种，由分类加法计数原理知共有CC＋CC＝9 604(种)．
方法二：无任何限制共有C种，其中“没有次品”共有C种，则“至少有1件次品”共有C－C＝9 604(种)．
答案：9 604
5．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．
解析：从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种)．
答案：24
排列问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】 (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)．
(3)方法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．
方法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )
A．36 B．72 C．108 D．144
解析：选B.3本数学书的放法有A种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A种，故同类书不相邻的放法有2AA＝2×6×6＝72(种)．
2．(2020·湖北洪湖二中月考)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块．某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )
A．192种 B．240种
C．432种 D．528种
解析：选C.若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则共有AA种情况；若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题版块，则有4AA种情况，共有AA＋4AA＝432种情况．故选C.
组合问题
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
【解】 (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561种取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)方法一(间接法)：选取3种的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
方法二(直接法)：共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
组合问题的2种题型及解法
题型
解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合
解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
1．已知集合I＝{1，2，3}，A，B是I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )
A．12对 B．15对
C．18对 D．20对
解析：选D.依题意，当A，B中均有一个元素时，有3对；当B中有一个元素，A中有两个元素时，有C＋C＋C＝8(对)；当B中有一个元素，A中有三个元素时，有3对；当B中有两个元素，A中有三个元素时，有3对；当A，B中均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20(对)，选D.
2．某校邀请了6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有________种．
解析：分两步完成，4位中恰有一对是夫妻，则先从6对夫妻中选一对，有C＝6(种)结果，再从余下的5对夫妻中选两对，每一对中选一位有CCC＝40(种)结果，根据分步乘法计数原理得，不同的选择方法有6×40＝240(种)．
答案：240
排列、组合的综合应用
(1)(2020·西安五校联考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
(2)(2020·浙江温州适应性考试)学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买，其他水果数量充足．甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有________种．
【解析】 (1)如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时不同的安排种数为CA＝6.如果A，B两代表团及余下3个代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的安排种数为CA＝6.综上，不同的安排种数为12.故选B.
(2)依题意，就西梅是否有同学购买进行分类：第一类，甲、乙、丙、丁4位同学有一位同学购买了西梅，相应的可能情况有C·C·C·A＝240(种)；第二类，甲、乙、丙、丁4位同学均没有购买西梅，相应的可能情况有C·C·A＝360(种)．由分类加法计数原理得，满足题意的可能情况有240＋360＝600(种)．
【答案】 (1)B (2)600
解决排列、组合的综合问题的关键点
(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．
(3)对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．
1．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48 C．72 D．120
解析：选C.因为A参加时参赛方案有CAA＝48(种)；A不参加时参赛方案有A＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种．
2．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )
A．1 860 B．1 320 C．1 140 D．1 020
解析：选C.当A，B节目中只选一个时，共有CCA＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180种演出顺序．所以一共有960＋180＝1 140 种演出顺序．
3．(2020·山东济宁一中质量检测)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种．
解析：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C＝5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A＝120种情况，则不同的排列共有5×120＝600(种)．
答案：600
思想方法系列18 分类讨论思想——排列、组合问题求解
(2020·普通高等学校招生全国统一模拟考试)五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序．
【解析】 ①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2×3×A×A＝24种；
②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2AA＝8种．综上，共有24＋8＝32种．
【答案】 32
(1)解决排列组合问题经常用到分类讨论思想，其分类原则经常为：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程分类，本例是按元素的性质分类．
(2)由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同．
1．(2020·安徽合肥模拟)为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．64种
解析：选B.根据题意，分2步进行分析：
①先将5人分成3组，要求甲、乙在同一组，
若甲、乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C种分组方法，
若甲、乙两人与另外一人在同一组，有C种分组方法，
则有C＋C＝6种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，有A＝6种情况．则有6×6＝36种不同的派遣方案．故选B.
2．(2020·河南郑州二模)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( )
A．96 B．84
C．120 D．360
解析：选B.根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A＝120种情况，
其中数字“0”在首位的情况有A＝24种，
数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有A＝24种，
则可以产生120－24－24＋12＝84个不同的6位数，故选B.
[A级 基础练]
1．不等式A<6×A的解集为( )
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
解析：选D.<6×，整理得x2－19x＋84<0，解得7
A．30 B．42
C．54 D．56
解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即C－C－C＝42.
3．2020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为( )
A．48 B．72
C．120 D．240
解析：选C.若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有CA＝48种不同的分配方法．若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有AA＝72种不同的分配方法．综上，这8张门票共有48＋72＝120种不同的分配方法．
4．我国已经进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇，船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为( )
A．30 B．60
C．90 D．120
解析：选D.5艘驱逐舰分为两组，一组是2艘，另一组3艘，有C种方法；3艘核潜艇分为两组，一组1艘，另一组2艘，有C种方法．故不同组建方法种数为CCAA＝120.
5．(2020·安徽马鞍山二模)为抗击新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有( )
A．10种 B．40种
C．80种 D．240种
解析：选A.根据题意，将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份，每一份依次对应一家医院即可．将6箱相同规格的医用外科口罩排成一排，其中间有5个空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，即可将其分为四份，则有C＝10种分组方法，故选A.
6．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( )
A．12 B．24 C．16 D．32
解析：选D.由题可知，a，b，c∈[7，14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法．综上，共有8＋12＋8＋4＝32种计数法．
7．(多选)(2020·山东潍坊一中阶段性检测)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派1辆工程车，则不同的派往方法有( )
A．18种 B．CCCC种
C．CCA种 D．CA种
解析：选CD.将4辆工程车分组为1，1，2后再分配到3个工地，共有C·A＝36种派法，故D正确；先选择1个工地派2辆工程车，再将剩余的2辆车派给其他2个工地，共有CCA＝36种派法，故C正确；CCCC＝18≠36.故选CD.
8．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为A
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC
解析：选ABD.对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种选法，所以总数为CC＋CC，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C·C＝C－C(种)，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有C·C种选法；②选化学，不选物理，有C·C种选法；③物理与化学都选，有C·C种选法，故总数为C·C＋C·C＋C·C＝6＋10＋4＝20(种)，错误．
9．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C＝20种不同的选法．
答案：20
10．(2020·高考全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
答案：36
11．某校2021年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种．
解析：若第一个节目排相声甲，有A＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有AA＝600(种)排法．根据分类加法计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法．
答案：1 320
12．2020年国庆档上映的影片包含《夺冠》《我和我的家乡》《一点就到家》《急先锋》《木兰·横空出世》《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部．则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．
解析：甲观看了六部中的两部有15种选法，乙观看了六部中的一部有6种选法，由分步乘法计数原理，得甲、乙两人观看六部影片的所有选法有15×6＝90(种)．若甲、乙两人观看了同一部动画片，则需从《木兰·横空出世》《姜子牙》中挑选一部，有2种选法，甲还需从剩余的五部影片中任选一部，有5种选法，由分步乘法计数原理，知甲、乙两人观看了同一部动画片的所有选法有2×5＝10种，所以所求概率P＝＝.
答案：
[B级 综合练]
13．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )
A. B.
C. D．CCC
解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有种，再分配给3个人，方法有×A种．故选A.
14．已知集合A∪B＝{a1，a2，a3，a4}，记A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数为( )
A．54 B．72
C．81 D．90
解析：选C.(1)当A＝{a1，a2，a3，a4}时，集合B有24＝16个，即{a1，a2，a3，a4}的任何一个子集均可以作为B，此时有16种情况；
(2)当A中有三个元素时，若A＝{a1，a2，a3}，则B中必有a4，所以集合B可以由集合A的子集加上元素a4组成，此时有23＝8个，同理，当A＝{a1，a2，a4}或A＝{a2，a3，a4}或A＝{a1，a3，a4}时，分别有8个，故共有8×4＝32种情况；
(3)当A中有两个元素时，如A＝{a1，a2}，则a3，a4∈B，因此B有22＝4种情况，从而共有C×4＝24种情况；
(4)当A中有一个元素时，如A＝{a1}，则a2，a3，a4∈B，因此B有21＝2种情况，从而共有C×2＝8种情况；
(5)若A＝∅，则B＝{a1，a2，a3，a4}，只有一种情况．
因此符合条件的(A，B)对共有16＋32＋24＋8＋1＝81个．
[C级 创新练]
15．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二，三行中的最大数，则满足N1
解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA＝240.
答案：240
16．(2020·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，求该停车点的车位数．
解：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.
第2讲 排列与组合
最新考纲
考向预测
1.通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
2.能利用排列与组合知识解决简单的实际问题.
命题趋势
近年排列组合问题考查难度有所降低，主要以实际问题为背景考查计数问题，而且多数与概率问题综合考查．
核心素养
数学建模、数学运算
1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
续 表
排列数
组合数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝C，C＋C＝C
常用结论
1．解决排列、组合问题的五大技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
2．三个常用公式
(1)A＝nA.
(2)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(3)kC＝nC.
常见误区
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
2．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．( )
(5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
解析：选C.末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
解析：选C.CCC＝60.
4．(易错题)在100件产品中，有2件次品，从中任取3件，其中“至少有1件次品”的取法有________种．
解析：方法一：第1类，“只有1件次品”，共有CC种；第2类，“有2件次品”，共有CC种，由分类加法计数原理知共有CC＋CC＝9 604(种)．
方法二：无任何限制共有C种，其中“没有次品”共有C种，则“至少有1件次品”共有C－C＝9 604(种)．
答案：9 604
5．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．
解析：从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种)．
答案：24
排列问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】 (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)．
(3)方法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．
方法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )
A．36 B．72 C．108 D．144
解析：选B.3本数学书的放法有A种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A种，故同类书不相邻的放法有2AA＝2×6×6＝72(种)．
2．(2020·湖北洪湖二中月考)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块．某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )
A．192种 B．240种
C．432种 D．528种
解析：选C.若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则共有AA种情况；若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题版块，则有4AA种情况，共有AA＋4AA＝432种情况．故选C.
组合问题
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
【解】 (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561种取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)方法一(间接法)：选取3种的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
方法二(直接法)：共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
组合问题的2种题型及解法
题型
解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合
解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
1．已知集合I＝{1，2，3}，A，B是I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )
A．12对 B．15对
C．18对 D．20对
解析：选D.依题意，当A，B中均有一个元素时，有3对；当B中有一个元素，A中有两个元素时，有C＋C＋C＝8(对)；当B中有一个元素，A中有三个元素时，有3对；当B中有两个元素，A中有三个元素时，有3对；当A，B中均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20(对)，选D.
2．某校邀请了6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有________种．
解析：分两步完成，4位中恰有一对是夫妻，则先从6对夫妻中选一对，有C＝6(种)结果，再从余下的5对夫妻中选两对，每一对中选一位有CCC＝40(种)结果，根据分步乘法计数原理得，不同的选择方法有6×40＝240(种)．
答案：240
排列、组合的综合应用
(1)(2020·西安五校联考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
(2)(2020·浙江温州适应性考试)学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买，其他水果数量充足．甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有________种．
【解析】 (1)如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时不同的安排种数为CA＝6.如果A，B两代表团及余下3个代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的安排种数为CA＝6.综上，不同的安排种数为12.故选B.
(2)依题意，就西梅是否有同学购买进行分类：第一类，甲、乙、丙、丁4位同学有一位同学购买了西梅，相应的可能情况有C·C·C·A＝240(种)；第二类，甲、乙、丙、丁4位同学均没有购买西梅，相应的可能情况有C·C·A＝360(种)．由分类加法计数原理得，满足题意的可能情况有240＋360＝600(种)．
【答案】 (1)B (2)600
解决排列、组合的综合问题的关键点
(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．
(3)对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．
1．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48 C．72 D．120
解析：选C.因为A参加时参赛方案有CAA＝48(种)；A不参加时参赛方案有A＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种．
2．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )
A．1 860 B．1 320 C．1 140 D．1 020
解析：选C.当A，B节目中只选一个时，共有CCA＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180种演出顺序．所以一共有960＋180＝1 140 种演出顺序．
3．(2020·山东济宁一中质量检测)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种．
解析：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C＝5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A＝120种情况，则不同的排列共有5×120＝600(种)．
答案：600
思想方法系列18 分类讨论思想——排列、组合问题求解
(2020·普通高等学校招生全国统一模拟考试)五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序．
【解析】 ①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2×3×A×A＝24种；
②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2AA＝8种．综上，共有24＋8＝32种．
【答案】 32
(1)解决排列组合问题经常用到分类讨论思想，其分类原则经常为：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程分类，本例是按元素的性质分类．
(2)由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同．
1．(2020·安徽合肥模拟)为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．64种
解析：选B.根据题意，分2步进行分析：
①先将5人分成3组，要求甲、乙在同一组，
若甲、乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C种分组方法，
若甲、乙两人与另外一人在同一组，有C种分组方法，
则有C＋C＝6种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，有A＝6种情况．则有6×6＝36种不同的派遣方案．故选B.
2．(2020·河南郑州二模)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( )
A．96 B．84
C．120 D．360
解析：选B.根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A＝120种情况，
其中数字“0”在首位的情况有A＝24种，
数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有A＝24种，
则可以产生120－24－24＋12＝84个不同的6位数，故选B.
[A级 基础练]
1．不等式A<6×A的解集为( )
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
解析：选D.<6×，整理得x2－19x＋84<0，解得7
A．30 B．42
C．54 D．56
解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即C－C－C＝42.
3．2020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为( )
A．48 B．72
C．120 D．240
解析：选C.若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有CA＝48种不同的分配方法．若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有AA＝72种不同的分配方法．综上，这8张门票共有48＋72＝120种不同的分配方法．
4．我国已经进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇，船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为( )
A．30 B．60
C．90 D．120
解析：选D.5艘驱逐舰分为两组，一组是2艘，另一组3艘，有C种方法；3艘核潜艇分为两组，一组1艘，另一组2艘，有C种方法．故不同组建方法种数为CCAA＝120.
5．(2020·安徽马鞍山二模)为抗击新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有( )
A．10种 B．40种
C．80种 D．240种
解析：选A.根据题意，将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份，每一份依次对应一家医院即可．将6箱相同规格的医用外科口罩排成一排，其中间有5个空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，即可将其分为四份，则有C＝10种分组方法，故选A.
6．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( )
A．12 B．24 C．16 D．32
解析：选D.由题可知，a，b，c∈[7，14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法．综上，共有8＋12＋8＋4＝32种计数法．
7．(多选)(2020·山东潍坊一中阶段性检测)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派1辆工程车，则不同的派往方法有( )
A．18种 B．CCCC种
C．CCA种 D．CA种
解析：选CD.将4辆工程车分组为1，1，2后再分配到3个工地，共有C·A＝36种派法，故D正确；先选择1个工地派2辆工程车，再将剩余的2辆车派给其他2个工地，共有CCA＝36种派法，故C正确；CCCC＝18≠36.故选CD.
8．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为A
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC
解析：选ABD.对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种选法，所以总数为CC＋CC，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C·C＝C－C(种)，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有C·C种选法；②选化学，不选物理，有C·C种选法；③物理与化学都选，有C·C种选法，故总数为C·C＋C·C＋C·C＝6＋10＋4＝20(种)，错误．
9．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C＝20种不同的选法．
答案：20
10．(2020·高考全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
答案：36
11．某校2021年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种．
解析：若第一个节目排相声甲，有A＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有AA＝600(种)排法．根据分类加法计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法．
答案：1 320
12．2020年国庆档上映的影片包含《夺冠》《我和我的家乡》《一点就到家》《急先锋》《木兰·横空出世》《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部．则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．
解析：甲观看了六部中的两部有15种选法，乙观看了六部中的一部有6种选法，由分步乘法计数原理，得甲、乙两人观看六部影片的所有选法有15×6＝90(种)．若甲、乙两人观看了同一部动画片，则需从《木兰·横空出世》《姜子牙》中挑选一部，有2种选法，甲还需从剩余的五部影片中任选一部，有5种选法，由分步乘法计数原理，知甲、乙两人观看了同一部动画片的所有选法有2×5＝10种，所以所求概率P＝＝.
答案：
[B级 综合练]
13．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )
A. B.
C. D．CCC
解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有种，再分配给3个人，方法有×A种．故选A.
14．已知集合A∪B＝{a1，a2，a3，a4}，记A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数为( )
A．54 B．72
C．81 D．90
解析：选C.(1)当A＝{a1，a2，a3，a4}时，集合B有24＝16个，即{a1，a2，a3，a4}的任何一个子集均可以作为B，此时有16种情况；
(2)当A中有三个元素时，若A＝{a1，a2，a3}，则B中必有a4，所以集合B可以由集合A的子集加上元素a4组成，此时有23＝8个，同理，当A＝{a1，a2，a4}或A＝{a2，a3，a4}或A＝{a1，a3，a4}时，分别有8个，故共有8×4＝32种情况；
(3)当A中有两个元素时，如A＝{a1，a2}，则a3，a4∈B，因此B有22＝4种情况，从而共有C×4＝24种情况；
(4)当A中有一个元素时，如A＝{a1}，则a2，a3，a4∈B，因此B有21＝2种情况，从而共有C×2＝8种情况；
(5)若A＝∅，则B＝{a1，a2，a3，a4}，只有一种情况．
因此符合条件的(A，B)对共有16＋32＋24＋8＋1＝81个．
[C级 创新练]
15．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二，三行中的最大数，则满足N1
解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA＝240.
答案：240
16．(2020·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，求该停车点的车位数．
解：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.
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