高中数学高考 2021届小题必练8 三视图（文）-教师版(1)

1．有关三视图的基本问题一般有两类；一类是画出已知几何体的三视图；另一类是已知几何体的三视图，想象该几何体的结构特征，并能画出该几何体的空间图形．

2．本考点在考查基础知识、基本方法的同时，侧重考查考生的识图能力和空间想象能力．考生对试题的研究必须经历从识“图”、想“图”到构“图”的过程，要通过观察、分析、想象、判断、计算的逻辑思维才能求解．

1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，

根据立体图形可得，

根据勾股定理可得，

∴是边长为的等边三角形，

根据三角形面积公式可得，

∴该几何体的表面积是，故选C．

【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，

考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．

2．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为的等边三角形，侧面为三个边长为的正方形，

则其表面积为，

故选D．

【点睛】（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，

从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

（2）多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，

而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

一、选择题．

1．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为，

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为，

所以几何体的体积为，故选A．

2．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式柱体，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示（单位：），则该柱体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，

其中一个上底为，下底为，高为，另一个的上底为，下底为，高为，

则该棱柱的体积为，故选B．

3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点在下底面上，且可以确定点和点分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为，故选B．

4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（    ）

【答案】A

【解析】由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，

即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形．故选A．

5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上、下底分别为，，

梯形的高为，因此几何体的体积为．

故选C．

6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图可得四棱锥如图所示，

在四棱锥中，，，，，

由勾股定理可知，，，，

则在四棱锥中，直角三角形有，，，共个，故选C．

7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三视图可得，该几何体是由两个直三棱锥所构成的组合体，两个直三棱锥形状是相同的，

唯独方向相反，每个直三棱锥的底面是腰长为的的等腰直角三角形，高为，

画出其中一个三棱锥如图所示：

故该几何体的表面积为，

故选A．

8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为，高为6，

设球的半径为，可得，解得，

所以该几何体的体积为，故选C．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，画出几何关系如下图所示：

由直观图易知棱最长，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，连接．

如下图所示：

因为，，，所以，

所以，即，故选C．

10．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，

所以该几何体的体积，故选C．

11．如图网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为，故选C．

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三视图可知，该几何体是底面半径为，高为的四分之一圆锥，

故其体积，故选A．

二、填空题．

13．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的体积为__________．

【答案】

【解析】如图所示，在棱长为的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，

则几何体的体积．

14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：)，则该四棱锥的体积

为________．

【答案】

【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为，底面平行四边形的一边长为，其对应的高为，

因此所求四棱锥的体积，故答案为2．

15．如图，几何体的三视图是三个直角边长为的等腰直角三角形，则这个几何体的外接球的体积为________．

【答案】

【解析】根据三视图，画出这个几何体的直观图，如图所示，这是一个三棱锥，是高，

三角形，都是直角三角形，

所以的中点到四个顶点，，，的距离都相等，

即为这个四面体的外接球的球心，为直径，，

所以这个球的体积为，

故答案为．

16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于______．

【答案】

【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．

如图所示：

所以，，故答案为．