高中数学高考 2021届高三大题优练12 不等式选讲(文) 学生版(1)
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例1.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若为正实数,函数的最小值为,已知,求的最小值.
【答案】(1);(2)最小值为3.
【解析】(1),的解集为.
(2)由(1)可知的最小值为,则,
又,
当且仅当时取等,所以最小值为3.
例2.已知函数.
(1)若关于x的方程有两个不同的实数根,求a的取值范围;
(2)如果不等式的解集非空,求的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1),
当时,函数单调递增,并且;
当时,函数单调递增,并且;
当时,函数单调递减,并且.
综上:当时,函数单调递增,
当时,函数单调递减,且.
作出的图象如图所示:
要使关于x的方程有两个不同的根,
则a的取值范围.
(2)因为,记点,坐标原点为,则直线的斜率为.
当直线与平行时,无交点,
所以当或时,
该直线与函数的图象相交.
因为不等式的解集非空,
所以的取值范围是或.
例3.已知函数.
(1)解不等式;
(2)记的最小值为,正实数满足,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)当时,,解得,所以;
当时,,解得,所以;
当时,,解得,所以,
综上,或,故不等式的解集是.
(2)因为,当且仅当时等号成立,
所以.
,
当且仅当,即时等号成立,
所以.
1.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围.
2.已知函数.
(1)解不等式:;
(2)记的最小值为,若正实数满足,试求:的最小值.
3.设函数的最小值为.
(1)求的值;
(2)若,,证明:.
4.已知.
(1)求不等式的解集;
(2)若的最小值为,正实数,,满足,求证:.
5.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)记的最小值为M,a,b,c为正实数且,求证:.
6.设函数,
(1)若时,解不等式:;
(2)若关于的不等式存在实数解,求实数的取值范围.
7.已知函数,,.
(1)当时,解不等式;
(2)对任意,,若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
8.已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
1.【答案】(1);(2).
【解析】(1),
∴或或,解得,
不等式的解集为.
(2)因为,
当时可取到等号,所以,
令,则为上的增函数,且,
所以,
故的取值范围为.
2.【答案】(1);(2).
【解析】(1)时,不等式为,,所以;
时,不等式为恒成立,所以;
时,不等式为,,所以,
综上不等式的解为,即解集为.
(2),当且仅当时等号成立,所以,
因为,
所以
,
当且仅当,即,时等号成立,
的最小值是.
3.【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)当时,;
当时,;
当时,,
综上,当时,,∴.
(2)由(1)知,求证.
∵,,∴,,
∴.
当且仅当,即时,等号成立.
4.【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)①当时,,无解;
②当时,,解得;
③当时,,解得,
综上:不等式的解集为.
(2)因为,所以,
所以,
,
,
当且仅当,即时,等号成立.
5.【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)依题意得,
,,,
综上可得的解集是.
(2)由可知,
在上递减,在上递增,
的最小值为,即,
所以,
由,,,
相加可得,
即,,
当且仅当时取等号.
6.【答案】(1);(2).
【解析】(1)时,所解不等即为,两边平方解得,
∴原不等式解集为.
(2)存在实数解,即存在实数解,
令,即,
,∴当时等号成立,
∴,解得.
7.【答案】(1);(2).
【解析】(1)当时,,
不等式,即,即,
解得或(舍去),
由,解得或.
所以不等式的解集是.
(2)由题意知,只需满足即可.
,,
依题意,当时,,
由一次函数性质知,在上单调递增,在和上单调递减,.
由,得,即.
所以实数a的取值范围是.
8.【答案】(1);(2).
【解析】(1)当时,,∴,
则不等式为,
当时,为恒成立,∴,
当时,为,解得或,
∴或,
综上,不等式的解集为.
(2)不等式等价于,
即对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,
∵函数在区间上单调递增,最小值为,
∴,
故实数的取值范围是.
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