2020 年湖南师大附中教育集团攀登杯八年级数学竞赛试卷

2020年湖南师大附中教育集团初中八年级学生学科素养综合评价

数  学

总分：150分    时量：120分钟

第一试

一、选择题(每小题4分，共28分)

1.下列因式分解正确的是(   )

A.    B.

C.    D.

2.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(   )

A.且      B.且

C.且      D.

3.如图，直线与轴，轴分别交于点，，以为底边在轴右侧作等腰，将沿轴折叠，使点恰好落在直线上，则点的坐标为(   )

A.         B.

C.         D.

4.已知直线与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是(   )

A.   B.   C.   D.

5.如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：

①；②；

③平分；④.

其中正确的结论是(   )

A.②③         B.①②④ 

C.①③④         D.①②③④

6.如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是(   )

A.    B.    C.    D.

7.如图是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形、的周长分别为、、，且，已知，，则的长是(   )

A.    B.    C.    D.

第7题图                        第9题图                        第11题图

二、填空题(每小题4分，共24分)

8.最简二次根式与是同类二次根式，则________.

9.如图，是边长为的等边三角形，为的中点，延长到，使，于点，则点到距离为________.

10.已知关于的一元二次方程与只有一个公共的实根，求关于的方程所有的实根之和为________.

11.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为.直线恰好把正方形的面积分成相等的两部分，则________.

12.课堂上，郭老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为________.

13.某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长.元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了张贺卡.则这间宿舍里住学生人数为________人.

三、解答题(每小题12分，共48分)

14.(1)分解因式：；

(2)已知关于的一元二次方程有实根，，且，求的值.

15.年，由于非洲猪瘟席卷全国，猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.

(1)从年初至月日，猪肉价格不断走高，月日比年初价格上涨了.长沙市民在月日购买千克猪肉至少要花元钱，那么年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

(2)月日，猪肉价格为每千克元.月日，长沙市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克元的基础上下调出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市非储备猪肉的价格仍为每千克元的情况下，该天的两种猪肉总销量比月日增加了，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比月日提高了，求的值.

16.意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的纸片①(左边白色部分)和②(右边黑色部分)拼成如图所示的图形，中间的六边形刚好可以由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形的面积为，.小明将纸片②翻转后拼成如图所示的图形，其中，求四边形的面积.

17.如图，已知直线和直线交于轴上一点，且分别交轴于点，点，且.

(1)求的值；

(2)如图，点是直线上一点，且在轴上方，当时，在线段上取一点，使得，点，分别为轴、轴上的动点，连接，将沿翻折至，求的最小值；

(3)如图，，分别为射线，上的动点，连接，是否存在这样的点，使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立.请求出满足条件的点坐标.

第二试

一、填空题(每小题4分，共20分)

1.我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为________.

2.对于数，符号表示不大于的最大整数例如，则关于的方程的整数根有________个.

3.分解因式：__________.

4.如图，以正方形的一边为斜边在正方形内作，设正方形的中心为，连结，如果，，那么的长等于________.

5.已知，，，，，，，是互不相等的非零实数，且，则的值为________.

二、解答题(每小题10分，共30分)

6.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的融合点.例如：，，则点是点和的融合点.如图，已知点，点是直线上任意一点，点是点和的融合点.

(1)若点的纵坐标是，则点的坐标为________；

(2)求点的纵坐标与横坐标的函数关系式；

(3)若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.

7.已知为正方形内一点，分别以正方形四条边、、、为对角线作，，，，试证明：以、、、为顶点的四边形为正方形.

8.是大于零的实数，已知存在惟一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数，求的值.