2022届四川省宜宾市第四中学校高三三诊模拟考试理科数学试题含答案

  宜宾市第四中学高2019级高三三诊模拟考试

理科数学

一、选择题

1.已知复数，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

先求，结合复数的模求解公式即可求解．

【详解】

因为，所以，则，所以．

故选：D．

2.设集合，，，则下列集合不为空集的是（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

答案：

A

解析：

【分析】

本题首先可确定集合、、中包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果.

【详解】

，，，，

，，

，集合中包含的元素为函数上的点坐标，

则，，，，故选：A.

3.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）代表，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨粒上珠，且往上拨粒下珠，则算盘表示的数的个数为（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即或来自个、十、百中的两个即，由组合规律求得结果.

【详解】

根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即或来自个、十、百中的两个即，

则总数为.故选：B.

4.已知，设函数，当时，取得最小值，则在方向上的投影为（   ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

先得到关于的函数表达，再根据取得最小值的条件求出，然后由投影的定义可求得答案.

【详解】

，

由题意，，解得，

所以在方向上的投影为.故选：D.

5.等差数列的前项和为，，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

根据等差数列的性质可得，再根据等差数列的前项和的公式可得答案.

【详解】

因为，所以，所以，

所以.故选：D.

6.下边程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前年左右提出的“辗转相除法”，其中表示不超过的最大整数.执行该程序框图，若输入的分别为和，则输出的的值为（   ）.

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

利用题中所给的的初始值，代入到程序框图的处理框中进行运算，判断算出的结果是否满足判断框中的条件，不满足则执行循环赋值运算，满足后则输出的值．

【详解】

初始值为，

第一次循环后，，

第二次循环后，，

第三次经过处理框执行后，，此时输出的的值为．故选：C.

7.设，则（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【详解】

因为，，所以

因为所以，所以．故选：B.

8.已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于点、两点，则等于（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】

求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合抛物线定义进行求解即可.

【详解】

抛物线：的焦点为，所以直线的方程为：，

直线的方程与抛物线方程联立得；，

设，所以，

抛物线的准线方程为：，

所以.

故选：A.

9.在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用(单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模的函数.已知某算法的时间复杂度()，一台计算机每秒可以进行亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上秒内完成一次运行，则的最大值为（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

将各项数值代入时间复杂度算法公式中求近似值，要求小于等于情况下最接近于的值，即为的最大值.

【详解】

由题意知：

∴当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

∴满足秒内完成一次运行，的最大值为.故选：B.

10.材料一：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中．这个公式被称为海伦-秦九韶公式

材料二：阿波罗尼奥斯（）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．

根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据材料二可得点的轨迹为椭圆，当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值.

【详解】

由材料二可得点的轨迹为椭圆，其焦距，长轴，短轴

当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值，

，故选：C.

11.已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

由题设，进而根据题意得到直线的距离即为半径，再利用公式结合基本不等式求解即可得半径的最小值，进而得答案.

【详解】

解:因为的圆心在曲线上，故设,

因为与直线相切,

所以到直线的距离即为半径，

即，当且仅当时等号成立，

所以的面积的最小值为.故选：C.

12.函数，设球的半径为，则（   ）

A.球的表面积随增大而增大 B.球的体积随增大而减小

C.球的表面积最小值为 D.球的体积最大值为

答案：

D

解析：

【分析】

设函数，利用导数判断其单调性，从而判断的单调性，进而判断球的半径的单调性，由此可判断A,B,结合单调性可求得球的表面积以及体积的最值，判断C,D.

【详解】

令，则，

故函数，，

即为单调增函数，

而在上递增，在上递减，

故在上递增，在上递减，

又在上递增，在上递减，

且是正值，也是正值，

故在上递增，在上递减，

即球的半径在上递增，在上递减，

故A，B错误；

由以上分析可知当时，球的半径取到最大值为，

故球的表面积最大值为，无最小值，故C错误；

同时球的体积最大值为，故D正确；故选：D.

二、填空题

13.的展开式中常数项是________（用数字作答）．

答案：

解析：

【分析】

由题意知常数项是含的项，结合二项式展开式的通项公式计算即可.

【详解】

展开式的通项公式为：

，

当时，，

所以常数项为：.故答案为：.

14.已知，则________.

答案：

（或）

解析：

【分析】

根据两角和的正切公式求得，利用三角恒等变换将化为，即可求得答案.

【详解】

由得：，

即得，故，

故答案为：.

15.已知数列的首项是，且，则数列的通项公式为________.

答案：

解析：

【分析】

利用累乘法求数列的通项公式；

【详解】

由题意得：，所以，

所以，因为，所以．故答案为：.

16.已知是自然对数的底数，当时，关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为________.

答案：

解析：

【分析】

因为，分离常数可得，根据题意只要即可，利用导数研究函数，即可得解.

【详解】

由，可得，两边取对数可得，即，

考查函数，，

令，可得，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以，根据题意可得，

所以实数的取值范围为.故答案为：.

三、解答题

17.的内角的对边分别为，已知，，为边上一点，.

（1）若，求；

（2）若的面积为，求的长.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）直接由正弦定理求得；

（2）利用面积公式求出，利用向量中线公式求出，用数量积求出模长即可.

【详解】

（1）依题意得，则，

在中，由正弦定理得：，

即，所以.

（2）因为，所以，

由可得，，

则，

所以.

18.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，设潜伏期超过天的人数为，则的期望是多少？

附：

，其中．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据表中的数据，代入平均数公式进行求解即可；

（2）结合表中的数据，完成列联表，利用独立性检验公式进行运算求解，然后结合临界值表与进行比较即可；

（3）由题可知，随机变量，利用二项分布的数学期望公式进行求解即可.

【详解】

（1）根据统计数据，计算平均数为：

天

（2）根据题意，补充完整的列联表如下：

则，经查表，得，

所以，没有的把握认为潜伏期与年龄有关．

（3）由题可知，该地区每名患者潜伏期超过天发生的概率为，

设调查的名患者中潜伏期超过天的人数为，则服从二项分布：，，，，，…，，

则，所以，的期望为．

19.四棱锥中，平面，，，为上任意一点．

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成角的余弦值为，，，二面角为，试确定点的位置．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，直线与平面所成角的余弦值为，求得，进而求得相关各点的坐标，从而求得平面的法向量，根据向量的夹角公式结合二面角为，即可求得答案.

【详解】

（1）证明：由，知，为的中垂线，

∴，

又平面，平面，

∴，又，

∴平面．

∵为上任意一点，

∴平面，

∴．

（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过与平行的线为轴，如图建立空间直角坐标系．

由题意得，，

∵，，∴，，

∵，

∴．

∵平面，

∴直线与平面所成角为．

∵，∴，

∵，∴．

∴，，，．

由条件可设，设，

∴，∴，

∴，

∴，，

设平面的法向量，

则，∴，

令，∴，∴，

取平面的法向量，

∵二面角为，∴，

∴或．

∴或，

∵二面角为钝角，∴由图知,

∴点是线段靠近点的三等分点．

21.已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.

（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；

（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解的范围

（2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得方程，与椭圆联立得，则可求

【详解】

（1）设，，则，，

两式相减得：，

由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，

设其斜率为，由式得，即.

由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得.

又，所以斜率的取值范围为.

（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，

所以，，设，则，

，，，

同理可得，因为点在椭圆上，所以，

解得.当时，，直线方程为，

代入得，由根与系数关系得.

则.

由对称性知，当时也成立，.

22.已知函数，（其中常数）

（1）当时，求的极大值；

（2）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线在点、处的切线互相平行，求的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极大值；

（2）由（、且）可得出，利用基本不等式可得出对恒成立，求出在时的最大值，即可得出的取值范围.

【详解】

（1）当时，，该函数的定义域为，

，

当或时，；当时，，

所以，函数在和上单调递减，在单调递增

故函数的极大值为.

（2）因为，则，

由题意，可得（、且），

即

因为，由不等式性质可得恒成立，

又、、，所以，对恒成立，

令，则对恒成立，

所以，在上单调递增，所以，，故，从而“对恒成立”等价于“”，所以，的取值范围为.

四、选做题（2选1）

24.在直角坐标系中，以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于点.

（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求弦的长.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（Ⅰ）直接利用极坐标方程公式化简得到答案.

（Ⅱ）圆心到直线的距离，计算得到答案.

【详解】

（1），即，

故曲线的直角坐标方程为；

曲线的直角坐标方程为.

（2）曲线表示圆心为，半径的圆，曲线表示直线，

则圆心到直线的距离，所以弦长.

25.设函数．

（1）当时，求函数的定义域；

（2）设，当时，成立，求的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）利用零点分段法解不等式可得出函数的定义域；

（2）由可得可得出，然后解不等式可得出，根据题意得出，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

（1）当时，要使函数有意义，需满足.

当时，则有，即，解得，此时；

当时，则有，即，不合乎题意；

当时，则有，即，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为.

因此，当时，函数的定义域为；

（2）当时，由可得，则，可得

由可得，解得

，，解得.

因此，实数的取值范围是.