专题14 二次函数与线段数量关系最值定值问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

              专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

【例1】（2022•武汉模拟）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；

（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．

【例2】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

（1）A，B，C三点的坐标为 　   　，　   　，　   　．

（2）连接AP，交线段BC于点D，

①当CP与x轴平行时，求的值；

②当CP与x轴不平行时，求的最大值；

（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

【例3】（2022•河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．

①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．

【例4】（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．

证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；

（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

1．（2020•道里区二模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B两点（点B在点A的右边）交y轴于点C，OB＝3OC．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点E是第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作ED⊥OB于点D，tan∠EBD＝，求△BDE的面积；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，∠EMC＝45°，过点K作直线KT⊥x轴于点T，过点E作EL∥x轴，交直线KT于点L，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF，LF的延长线交ET于点P，连接DP并延长交EL于点S，SE＝2SL，求点F的坐标．

2．（2020•三明二模）如图，抛物线y＝x2+mx（m＜0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．

（Ⅰ）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；

（Ⅱ）直线y＝kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．

（ⅰ）若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；

（ⅱ）求证：DE∥y轴．

3．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．

（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．

①求线段PM长度的最大值．

②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．

4．（2020•江岸区校级一模）已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．

5．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．

（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；

（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

6．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，m的值和点C的坐标；

（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2021•甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．

（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；

（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；

（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．

8．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．

（1）求b，c的值；

（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．

9．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线L的表达式；

（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．

10．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；

（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．

11．（2022•深圳三模）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；

（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．

12．（2022•阿克苏地区一模）如图1．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B（4，0）．

（1）若C（0，3），求抛物线的解析式．

（2）在（1）的条件下，P（﹣2，m）为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求的最小值，并求此时点Q的坐标．

（3）如图2．过点A作BC的平行线，交y轴与点D，交抛物线于另一点E．若DE＝7AD，求c的值．

13．（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．

（1）求抛物线的表达式；

（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．

①当MN＝AB时，求点P的坐标；

②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．

14．（2022•游仙区模拟）如图，抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，Q是△ABC内任意一点，求++的值．

15．（2022•龙岩模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，4）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式（用含a的式子表示）；

（2）当a＞0时，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；

（3）直线y＝﹣x+m与线段AB交于点P，与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），若PM•PN＝6，求m的值．

16．（2022•雷州市模拟）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0）、B（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图（2），点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．

（3）直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．

17．（2022•马鞍山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于C点，直线y＝kx（k＜0）交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点

（1）分别求出a、b的值；

（2）求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；

（3）探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．

18．（2022•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．

19．（2022•江汉区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）若C（0，﹣3），求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；

（3）如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．

20．（2022•成都模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标及抛物线的对称轴；

（2）如图1，点P（1，m），Q（1，m﹣2）是两动点，分别连接PC，QB，请求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；

（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点D，过D点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，当直线l绕点D旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，点C，点P是抛物线上一动点，连接OP交直线BC于点D．

（1）求直线l的解析式；

（2）当＝时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点N是直线BC上一动点，连接ON，过点D作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝DF时，请直接写出点N的坐标．

22．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（3，2）和点B（，0），与x轴的另一个交点为点C．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）点D在线段BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接AE交x轴于点F．点F不与点C重合，射线DP⊥AE，交AE于点P，交AC于点Q．

①当AD＝AF时，请直接写出∠CAE的度数；

②当＝时，请直接写出CQ的长．