中考数学一轮知识复习和巩固练习考点21 圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系（基础巩固） (含详解)

考向21   圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

【知识梳理】

考点一、圆的有关概念及性质

1．圆的有关概念

 圆、圆心、半径、等圆；

    弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；

    三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．

方法指导：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2．圆的对称性

    圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

    圆具有旋转不变性．

3．圆的确定

    不在同一直线上的三个点确定一个圆．

方法指导：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

4．垂直于弦的直径

    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

    推论  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

方法指导：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．

    注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

5．圆心角、弧、弦之间的关系

    定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

    推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．

6．圆周角

    圆周角定理  在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    推论1  在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

方法指导：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．

考点二、与圆有关的位置关系

1．点和圆的位置关系

    设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

点P在圆外d＞r；

点P在圆上d＝r；

    点P在圆内d＜r．

方法指导：圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示．

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．

③经过在同一直线上的三点不能作圆．

④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

2．直线和圆的位置关系

（1）切线的判定

    切线的判定定理  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

    (会过圆上一点画圆的切线)

（2）切线的性质

    切线的性质定理  圆的切线垂直于过切点的半径．

（3）切线长和切线长定理

    切线长  经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

切线长定理  从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

方法指导：直线是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线经过⊙O上的一点A；②OA⊥．

3．圆和圆的位置关系

    (1)基本概念

    两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．

(2)请看下表：

方法指导：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．

    ②同心圆是内含的特殊情况．

    ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．

    ④“R-r”时，要特别注意，R＞r．

【专项训练】

一、选择题

1. 已知⊙与⊙的半径分别为3 cm和4 cm，若=7 cm，则⊙与⊙的位置关系是（  ）

A．相交      B．相离     C．内切     D．外切

2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上 ，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数 （  ）

A.  70°     

B.  60°   

C. 50°     

D.  40°

3．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是(   )

A．∠COE＝∠DOE   

B．CE＝DE   

C．OE＝BE   

D．

4．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）　             

A．60°

B．120° 

C．60°或120° 

D．30°或150°

5．如图所示，△ABC内接于圆O，∠A＝50°；∠ABC＝60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于(   )

A．70°   

B．110°   

C．90°   

D．120°

6．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(   )

A．第①块    

B．第②块    

C．第③块    

D．第④块

二、填空题

7．如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为         .

8．如图所示，⊙O的直径AC＝8 cm，C为⊙O上一点，∠BAC＝30°，则BC＝________cm．

9．两圆有多种位置关系，图中(如图所示)不存在的位置关系是__________．

10．如图所示，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝______．

11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为　     ．

12．如图所示．B是线段AC上的一点，且AB:AC＝2:5．分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为________．

三、解答题

13．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E.

  (1) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)；

  (2)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求的值．

14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．

(1)求证：△AOC≌△AOD；

(2)若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

15．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．

（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；

（2）求证：CD⊥DF．

16. 如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；

（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；

（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切.

2.【答案】D；

  【解析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA＝OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC＝180°－2∠OAC. 由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD.由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，

得∠AOD＝180°－∠BOD=70°.∴∠AOC＝180°－2×70°＝40°.故选D.

3.【答案】C；

【解析】由垂径定理知A、B、D都正确．

4.【答案】C；

【解析】作OD⊥AB，如图，

∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，

∴OD=1，

∴∠OAB=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∵∠E+∠F=180°，

∴∠F=120°，

即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．

5.【答案】B；

【解析】∵∠A=50°，∴∠D=50°，

又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=90°-50°=40°，∠ABD=60°-40°=20°，

∴∠BEC=50°+20°=70°，∴∠AEB=180°-70°=110°.

6.【答案】B；

【解析】因为第②块含有圆周的一部分，可以找到圆心，量出半径.其他块都不行.

二、填空题

7．【答案】2；

【解析】如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，

由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，

∵B为弧AN的中点，

∴∠NOB′=×60°=30°，

∴∠AOB′=90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∵⊙O的半径为2，

∴AB′=2，

即PA+PB的最小值为为2．

8．【答案】4；

【解析】因为AC为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ABC＝90°，则BC＝AC·sin∠BAC＝4(am)．

9．【答案】相交；

【解析】认真观察、判断可发现每两圆间不存在的位置关系是：相交．

10．【答案】27°；

【解析】如图，连结OB，由AB与⊙O相切于点B，得∠ABO＝90°，因为∠A＝36°，所以∠AOB＝54°，

        所以∠C＝27°.

11．【答案】4；

   【解析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC.设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2= x 2＋32，解得x=4.即该半圆的半径为4.

12．【答案】4:25；  

三、解答题

13.【答案与解析】

 (1) 如图①，连接OC，则OC=4.

      ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.

      ∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得.

      ∴ 在△RtOAB中，.

 (2)如图②，连接OC，则OC=OD.

      ∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC.

∴△ODC为等边三角形.∴∠AOC=60°.

      ∴∠A=30°.∴.

14.【答案与解析】

    解：（1）∵ AB切⊙O于D，∴OD⊥AB．

   在Rt△AOC和Rt△AOD中，

   ∴Rt△AOC≌Rt△AOD(HL)．

   (2)设半径为r，在Rt△ODB中，，解得r＝4．

   由(1)有AC＝AD，∴，

   解得AC＝12，

   ∴．

15.【答案与解析】

  解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，

∴∠ABD=∠FBC，

又∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠CBF=∠BCF，

∵∠BFC=2∠DFC=80°，

∴∠CBF==50°；

（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，

∵四边形ABCD是圆的内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，

又∵AB=AD，

∴∠ACD=∠ACB，

∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，

∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，

∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．

16.【答案与解析】

    解：（1）∵直线与以BC为直径的圆O相切于点C，

∴∠BCE=90°，

又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BCE.

∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC.∴.

∵BE=15，CE=9，即：，解得：EF=.

（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD.

同理：∠AFB=∠CFD.∴△CDF∽△BAF.

②∵△CDF∽△BAF，∴.

又∵△CEF∽△BCF，∴.∴.

又∵AB=BC，∴CE=CD.

（3）当F在⊙O的下半圆上，且时，

相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD.

理由如下：

∵CE=CD，∴BC=CD=CE.

在Rt△BCE中，tan∠CBE=，

∴∠CBE=30°，∴所对圆心角为60°.

∴F在⊙O的下半圆上，且.