2023成都七中高一上学期期末模拟考试数学试题含解析

2025届高一上期末测试卷（数学）

一、单选题

1. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；

【详解】命题“，”为全称命题，全称命题的否定为特称命题，

故其否定为

故选：A

2. 已知，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值法和作差比较法比较即得正确选项.

【详解】解：对于A选项，取特殊值 ，满足，但不满足，故错误；

对于B选项，因为，所以，所以，故错误；

对于C选项，因，所以，所以，即，故错误；

对于D选项，因为，所以，所以，即，故正确.

故选：D.

【点睛】(1)本题主要考查不等式性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力

(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.

3. 是的什么条件（    ）

A. 充分必要 B. 充分不必要

C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项.

【详解】当时，；当时，可能.

所以是的充分不必要条件.

故选：B

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分类讨论得到分段函数，分析函数的单调性与特值即可得到答案.

【详解】,

当时，，排除D选项；

当时，在上单调递减，且，

排除BC，

故选：A

5. 已知，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数的诱导公式结合题干所给条件计算即可.

【详解】

故选：B.

6. 已知，则函数的最小值是（    ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式可求得最小值．

【详解】∵，∴，

当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．

故选：B．

7. 已知函数，则函数有（    ）

A. 最小值1，无最大值 B. 最大值，无最小值

C. 最小值，无最大值 D. 无最大值，无最小值

【答案】C

【解析】

【分析】先用换元法将变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则的最值情况可知.

【详解】因为，令，所以，

所以，

因为的对称轴为，所以在上递增，

所以，无最大值，

所以的最小值为，无最大值，

故选：C.

8. 已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

二、多选题

9. 以下说法中正确的有（    ）

A. 幂函数在区间上单调递减；

B. 如果幂函数为奇函数，则图象一定经过；

C. 若定义在上的函数满足，则函数是偶函数；

D. 若定义在上的函数满足，则函数是上不是减函数；

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，利用幂函数的性质即可求解；

对于B，利用幂函数的性质及奇函数的性质即可求解；

对于C，利用偶函数的定义即可求解；

对于D，利用函数的单调递减的定义即可求解.

【详解】对于A，由幂函数的性质可知，因为，所以函数在区间上单调递减，故A正确；

对于B，由幂函数的性质知，幂函数的图象一定经过，因为幂函数为奇函数，由奇函数的性质知，奇函数的图象关于原点对称，所以图象一定经过；故B正确；

对于C，函数为偶函数条件有个，定义域关于原点对称，对,都有，仅凭，无法得出，故C错误；

对于D，若函数是上是减函数，则，与条件“”矛盾，故函数是上不是减函数，故D正确.

故选：ABD.

10. 若，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】先由变形为，构造函数，利用其单调性，得到x，y的大小关系，再逐项判断.

【详解】由得，令，则，因为，在R上都是增函数，所以在R上是增，所以，故A正确；

当，时，，故B错误；

由知，故C正确；

因为在R上递减，由知，，即，故D正确；

故选：ACD.

11. 已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（    ）

A.  B. 若，则

C.  D. 函数有四个零点

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．

【详解】二次函数对应二次方程根的判别式，故A正确；

韦达定理，， ，故B正确；

对于C选项，，，所以，故C选项正确；

对于D选项，当时，由得，所以故有三个零点，则D选项错误．

故选:：ABC

12. 已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的定义域为R

B. 是奇函数

C. 在定义域上是减函数

D. 无最小值，无最大值

【答案】BD

【解析】

【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D

【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；

选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；

选项C，，故，即在定义域上不减函数，选项C不正确；

选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确

故选：BD

三、填空题

13. 已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】结合二次函数的图象与性质判断求解．

【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1，

要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是.

故答案为：．

14. 已知且，则的值为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据已知条件的值，结合得到与的值，根据的范围，分析与的正负，接下来开方得到与的值，进而解出的值.

【详解】由已知条件得，①

又∵，②

∴①②得，，

②①得，，

又∵，

∴，即，，

因此，，③

，④

由③+④得：.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数间的基本关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

15. 若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．

【答案】(1，2)

【解析】

【分析】分类讨论得到当时符合题意，再令在[0，1]上恒成立解出a的取值范围即可.

【详解】令，当时，为减函数，为减函数，不合题意；

当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒

成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上.

故答案为：(1，2).

16. 已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为______.

【答案】6

【解析】

【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根得，最后根据基本不等式“1”的妙用求最值.

【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，

，

所以为奇函数，

又，当时，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递减，

则在上单调递减，又在处连续，

所以在上单调递减，

，，

，即，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为6.

故答案为：6.

四、解答题

17. 已知函数是二次函数，，．

（1）求的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;

(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.

【小问1详解】

由，知此二次函数图象的对称轴为，

又因为，所以是的顶点，   

所以设                         

因为，即                  

所以得                                    

所以

【小问2详解】

因为所以

化，即或

不等式的解集为

18. 已知．

（1）化简；

（2）若为第四象限角，且，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简即可.

（2）利用同角三角函数的基本关系可得，即求.

【详解】解：（1）由三角函数诱导公式可知：

．

（2）由题意，，

可得．

19. 设集合.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1），求得，由并集的定义求解即可.

（2）根据得到，讨论，，，四种情况分别计算得到答案.

【小问1详解】

当时，，

又

所以.

【小问2详解】

，

当时，，即；

当时，利用韦达定理得到，解得；

当时，利用韦达定理得到，无解；

当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ；

综上，实数a的取值范围是：

20. 某医疗器械工厂计划在2022年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）电子仪器，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．

（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）

（2）2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】（1）   

（2）2022年产量为千部时，该生产商所获利润最大，最大利润是3800万元

【解析】

【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型得；

（2）结合（1）的函数模型，分类讨论求解最值即可得答案．

【小问1详解】

销售千部手机获得的销售额为：

当时，

当时，

故

【小问2详解】

当时，，当时，

当时，，当且仅当，即时，等号成立

因为，

所以当(千部)时，所获利润最大，最大利润为3800万元．

21. 已知在区间 上的值域为.

（1）求实数的值；

（2）若不等式 当上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】(1)函数是开口向上，对称轴是，讨论对称轴与区间的位置关系，确定相应的值域，从而求 ；

（2）不等式在 上恒成立，

参数分离后得在上恒成立，

转化为求的最小值，.换元即可.

【详解】（1），

当时，在上单调递增，

，即，与矛盾，舍去.

当时，，即，故.

此时，满足时其函数值域为.

当时，在上单调递减，

，即，舍去.

综上所述:.

（2）由已知得在上恒成立

在上恒成立，

令，且，则上式

恒成立，记

时，单调递减，，

故.

所以的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了二次函数的问题，属于基础题型，二次函数定区间不定对称轴求最值，一是要看函数的开口，根据对称轴与区间的相对位置关系确定区间上的单调性，到函数的最值；而对于恒成立问题，参变分离转化为求函数的最值问题.

22. 设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”．

（1）若函数为“G（2）函数”，求实数的值；

（2）已知为“G（0）函数”，设．若对任意的，，当时，都有成立，求实数t的最大值．

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果；
（2）由f(x)是新定义函数，求解出f(x)的解析式，再根据不等式恒成立求解参数的最值.
 

【详解】解：（1）由为“G（2）函数”，得，

即，

解得，故实数的值为；

（2）由为“G（0）函数”，得成立，

即f(0)＝0，从而b＝0，则f(x)＝x，

不妨设，则由成立，即，

得，

令，则F（x）在[0，t]上单调增函数，

又，

作出函数图象如图：

由图可知，，故实数t的最大值为1.