【新高考】2023年高考数学二轮复习精讲精练学案——第16讲 等差、等比数列（原卷版+解析版）

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1.数列的前项和为与通项公式为
若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）通项公式的推广：．
（3）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
（4）等差数列的性质
在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（5）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．
（3）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（4）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．5
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差公比或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和或是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．
2．（2022·广东中山·高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列中，，，则数列的通项公式为________．
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.
7.（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．
8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若 ，求数列的前n项和．
在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.
13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，当时，，求数列的前n项和
15．（2022·广东惠州·一模）已知数列满足，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.
.
考点二：等差、等比数列的判定或证明
【典例例题】
例1．（2022·广东·一模）已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【方法技巧与总结】
1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；
2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。
【变式训练】
1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（ ）
A．为等比数列B．为等差数列
C．为等比数列D．若，则
2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列为递减数列B．数列是等差数列
C．，，依次成等差数列D．若，，则
3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
4.（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
5．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列满足，，且（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．
7．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.
(1)求证：、、成等差数列；
(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.
8.已知数列{an}满足
(1)问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
考点三：等差、等比综合应用
【典例例题】
例1.在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式训练】
1.已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
4．已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
5．已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【巩固练习】
一、选择题：
1．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．是等比数列B．
C．是等比数列D．
选择题：
6．若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1D．
三、填空题：
9．在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
10．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
四、解答题：
11.已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
12.已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
13.已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
14.设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
15.（2022·广东茂名·二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．