【备考2023】高考物理计算题专项特训学案——专题12 带电粒子在复合场中的运动 （原卷版+解析版）

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专题12 带电粒子在复合场中的运动


1.库仑定律：；
2.电场强度：，；
3.静电力做功：，，；
4.电势：；
5.电势差：，，；
6.电容：，；
7.安培力：；
8.洛伦兹力：；
9.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动：
①半径：；
②周期：；
③运动时间：或。


在解带电粒子在复合场中的运动的计算题时，一般有两种情况。
一、带电粒子在组合场中运动
1.确定组合场是电场+磁场组合还是磁场+电场组合；（以粒子进入场的先后顺序作为参考来确定）
2.对带电粒子在组合场中的运动进行分析：
（1）粒子在电场中的运动是匀变速直线运动还是类平抛运动（平行电场方向.垂直电场方向）；
（2）粒子在磁场中的运动：匀速直线运动和匀速圆周运动。
3.列方程求解：
（1）利用牛顿运动定律求解加速度；
（2）利用运动学规律求解位移；
（3）利用功能关系求解动能和势能；
（4）利用匀速圆周运动规律及几何知识求解半径.速度以及磁感应强度等。
二、带电粒子在叠加场中的运动
1.先确定是电场+磁场叠加还是电场+磁场+重力场叠加。
2.对带电粒子在叠加场中的运动进行受力分析：先分析重力.电场力.洛伦兹力等场力，再分析弹力.摩擦力和其他力。
3.对运动过程进行分析
（1）匀速直线运动（平衡条件）；
（2）匀变速直线运动（牛顿运动定律和运动学公式）；
（3）匀速圆周运动（牛顿运动规律和圆周运动规律）；
（4）复杂曲线运动（动量定理和能量守恒定律）。
4.结合已知量.未知量和题意，选择适当的规律，列出方程求解。

一、带电粒子在复合场中的受力
复合场：指电场.磁场和重力场并存，或其中两个场并存，或分区域存在。粒子连续运动时，一般要同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用。抓住三个力的特点是分析和求解相关问题的前提和基础。
1.重力：重力的大小为，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与始末位置的高度差有关。
2.电场力：电场力的大小为，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与始末位置的电势差有关。
3.洛伦兹力：洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时F=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。
无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。但重力.电场力可能做功而引起带电粒子能量的转化。
二 、带电粒子在复合场中运动的力学观点
带电粒子在复合场中的运动问题是力学和电学知识的一次“大综合”，其分析方法和力学综合问题的分析方法基本相同，只是在受力分析时多加了电场力和洛伦兹力，在考虑能量转化时多了电势能。基本思路如下：
1.正确的受力分析：除重力、弹力、摩擦力外，要特别注意电场力和洛伦兹力的分析搞清场和力的空间方向及关系。
2.正确的运动分析：即根据受力情况进一步明确物体的运动情况，找出物体的速度.位置及其变化规律，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。
3.运用动力学三大方法解决问题。
①牛顿运动定律与运动学公式；
②用动量观点分析，包括动量定理.动量守恒定律；
③用能量观点分析，包括动能定理.机械能（或能量转化）守恒定律。
要针对不同的问题.模型灵活选用，必须弄清各种规律的成立条件与适用范围。
三 、带电粒子在复合场中的几种典型运动
1.直线运动
自由的带电粒子（无轨道约束）在匀强电场.匀强磁场和重力场中做的直线运动应是匀速直线运动，除非运动方向沿匀强磁场方向而粒子不受洛伦兹力，这是因为电场力和重力都是恒力，当速度变化时，会引起洛伦兹力的变化，合力也相应的发生变化，粒子的运动方向就要改变而做曲线运动。
带电粒子在复合场中的直线运动有三种：
（1）匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受到的合力为零时，带电粒子可以做匀速直线运动。
（2）匀变速直线运动：当带电粒子在复合场中受到的合力为恒力时，带电粒子将做匀变速直线运动。当带电粒子受到洛伦兹力作用时，要做匀变速直线运动，一般要在光滑平面上或穿在光滑杆上。
（3）变加速直线运动：当一带电粒子在复合场中受到合力为变力时，带电粒子可做变加速直线运动。这一类题对学生的能力要求很高，要正确解答这类问题，必须能够正确地分析物理过程，弄清加速度、速度的变化规律。
2.匀速圆周运动
带电粒子进入匀强电场.匀强磁场和重力场共存的复合场中，电场力和重力相平衡，粒子运动方向与匀强磁场方向相垂直时，带电粒子就在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。可等效为仅在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动。
3.曲线运动
当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速
运动，这是粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
四、带电粒子在复合场中的几种运动情况剖析
1.磁场力、重力并存：
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
2.电场力、磁场力并存（不计重力）：
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。
3.电场力、磁场力、重力并存：
①若三力平衡，则带电粒子一定做匀速直线运动。
②若重力与电场力平衡，则带电粒子可能做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，则带电粒子将做复杂的曲线运动，洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。

典例1：（2022·湖南·高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为、带电量为的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值。

【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）小球在电磁场中作匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得

两端的电压

根据欧姆定律得

联立解得

（2）如图所示

设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系

解得

根据

解得

（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为，要使小球做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得

解得

典例2：（2022·北京·高考真题）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B地；

（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B；

（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路。
【答案】（1）数量级为10－5T；（2）；（3）见解析
【规范答题】（1）由E = BLv可估算得该处地磁场磁感应强度B地的大小的数量级为10－5T。
（2）设导电电子定向移动的速率为v，Dt时间内通过横截面的电量为Dq，
有

导电电子定向移动过程中，在方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有

得

（3）如答图3建立三维直角坐标系Oxyz

设地磁场磁感应强度在三个方向的分量为Bx、By、Bz。把金属薄片置于xOy平面内，M、N两极间产生电压Uz仅取决于Bz。由（2）得

由Uz的正负（M、N两极电势的高低）和电流I的方向可以确定Bz的方向。
同理，把金属薄片置于xOz平面内，可得By的大小和方向；把金属薄片置于yOz平面内，可得Bx的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为

根据Bx、By、Bz的大小和方向可确定此处地磁场的磁感应强度的方向。
典例3：（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。

【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）
【规范答题】（1）如图所示

将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有



联立解得

（2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示

由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得

为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得

要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为

离子在磁场II中的轨迹半径为

离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过平面的坐标为

离子第四次穿过平面的坐标为

故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得

可得

离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示

从点进入磁场到第一个交点的过程，有


可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为

典例4：（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。

【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知

解得粒子在时刻的速度大小为

方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离

在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为

粒子运动轨迹如图

所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向

解得时刻粒子的速度

方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为

在时间内，粒子在水平方向运动的距离为

此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向

解得粒子在时刻的速度

粒子在竖直方向运动的距离

粒子运动的轨迹如图

在时间内，静电力对粒子的做功大小为

电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上


在时间内粒子在水平方向运动的距离为

在时间内，在竖直方向


在时间内，粒子在水平方向运动的距离为

接收器的位置为，根据距离的关系可知

解得

此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则

竖直方向需要满足

解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上


之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即

解得

接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中


粒子要在点被吸收，需要满足

代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。

1．（2022·江西景德镇·二模）如图所示，在区域I有与水平方向成30°的匀强电场，电场方向斜向左下方。在区域II有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为-q的粒子从区域I的左边界P点静止释放。粒子沿水平虚线向右运动，进入区域II，区域II的宽度为d。粒子从区域II右边界的Q点（图中未画出）离开，速度方向偏转了60°，重力加速度为g。求：
（1）区域I的电场强度大小E1；
（2）粒子进入区域II时的速度大小；
（3）粒子从P点运动到Q点的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）粒子在区域Ⅰ沿水平虚线方向做直线运动，说明粒子在竖直方向上受力平衡，根据平衡条件有

解得

（2）粒子进入Ⅱ区域后，根据题意有

由此可知粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子进入区域Ⅱ的速度大小为，则有

根据几何关系有

联立解得

（3）粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，其运动周期为

则粒子在区域Ⅱ中运动时间为

粒子在区域Ⅰ沿水平虚线运动，根据动量定理有

故粒子从点运动到点的时间为

联立解得

2．（2022·河南安阳·模拟预测）如图所示，从离子源产生的甲，乙两种离子，由静止经电压为U的加速电场加速后在纸面内运动，自点与磁场边界成角射入磁感应强度大小为B方向垂直于纸面向里的匀强磁场。已知甲种离子从磁场边界的N点射出；乙种离子从磁场边界的M点射出；OM长为L，MN长为3L，不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）甲种离子比荷；
（2）乙种离子在磁场中的运动时间。

【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）设甲种离子质量为，电荷量为，在电场中加速过程

设甲种离子在磁场中的运动半径为，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有

由几何关系知

联立解得

（2）设乙种离子质量为，电荷量为，在电场中加速过程

设乙种离子在磁场中的运动半径为，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有

由几何关系知

离子在磁场中运动的偏转角

设乙种离子在磁场中运动的周期T，

设乙种离子在磁场中运动的时间为t，则

联立解得

3．如图所示，将一个质量为m、电荷量为的小球，以初速度自h高处水平抛出。不计空气阻力影响。重力加速度为g。
（1）求小球落地点与抛出点的水平距离。
（2）若在空间中加一个匀强电场，小球水平抛出后做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小及方向。
（3）若在空间中除加（2）中电场外，再加一个垂直纸面的匀强磁场，小球水平抛出后做匀速圆周运动，且落地点与抛出点的水平距离也为h，求磁场的磁感应强度大小及方向。

【答案】（1）；（2），电场方向竖直向上；（3），磁场方向垂直于纸面向外
【规范答题】（1）小球做平抛运动，有


解得小球落地点与抛出点的水平距离

（2）加匀强电场后，小球做匀速直线运动，小球所受合力为零。根据平衡条件，有

解得电场强度大小

电场方向竖直向上。
（3）空间同时存在匀强电场和匀强磁场，小球做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力，设圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有

由题知

解得磁感应强度大小

磁场方向垂直于纸面向外。
4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测）物理模型的建立和研究是学习物理的重要方法，以模型为载体，可以训练物理思维，提升学科素养；物理实验中传感器的使用，可以使测量更加精确、方便，能够完成微小物理量的测量。如图所示，实验室天花板上有一个拉力传感器，可视为质点的带电小球用轻质、柔软、绝缘细线悬挂于传感器下侧的O点，细线长L＝0.45m，小球在传感器下方摆动时，传感器可精确测出细线的拉力。实验室下方空间以虚线为界线，虚线上方有垂直纸面向外的水平方向的匀强磁场，磁感应强度B＝5T；虚线下方空间有水平向右的匀强电场，电场强度E＝3×103V/m，电场空间足够大；虚线距O点距离也为0.45m。将小球拉至细线水平伸直然后由静止释放，测得小球向左、向右摆过最低点时的拉力分别为F1＝2.403N、F2＝2.397N；某次小球向右摆过最低点瞬间烧断细线，小球进入虚线下方存在电场的空间。小球运动中电荷量保持不变，不计空气阻力，g＝10m/s2。
（1）判断小球带正电还是负电；
（2）求带电小球的质量m和所带电荷量的大小q；
（3）求小球在细线烧断后运动的最小速率vm以及经过O点正下方时距O点的距离H。

【答案】（1）负电；（2）0.08kg；；（3）2.4m/s；3.65m
【规范答题】（1）由题知小球向左经过O点时所受洛伦兹力向下，由左手定则知小球带负电。
（2）小球在磁场中摆动时由机械能守恒定律得

由牛顿第二定律得
，
解得
，
（3）由题意及（2）中数据得
，
重力与电场力的合力与竖直方向的夹角为，则

又

解得小球在细线烧断后运动的最小速率

由
，
解得

则小球经过O点正下方时距O点的距离

5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学模拟预测）如图所示，平面直角坐标系内，x轴上方有垂直坐标系平面向里、半径为R的圆形匀强磁场（大小未知），圆心为。x轴下方有一平行x轴的虚线MN，在其下方有磁感应强度方向垂直坐标系平面向外、大小为的矩形匀强磁场，磁场上边界与MN重合。在MN与x轴之间有平行与y轴、场强大小为的匀强电场（图中未画出），且MN与x轴相距（大小未知）。现有两相同带电粒子a、b以平行x轴的速度分别正对点、A点射入圆形磁场，经偏转后都经过坐标原点O进入x轴下方电场。已知粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
（1）求磁感应强度的大小；
（2）若电场沿y轴负方向，欲使带电粒子a不能到达MN，求的最小值；
（3）若电场沿y轴正方向，，欲使带电粒子b能到达x轴上且距原点O距离最远，求矩形磁场区域的最小面积。

【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）a、b平行进入圆形磁场，均进过原点O，则根据“磁聚焦”可知，粒子做圆周运动的半径大小与磁场区域半径大小相等，即

又

解得

（2）带电粒子a从O点沿y轴负方向进入电场后做减速运动，则由动能定理可得

解得

（3）若匀强电场沿y轴正方向，则粒子b从原点O沿x轴负向进入电场，做类平抛运动，设粒子b经电场加速度后的速度大小为v，在MN下方磁场做匀速圆周运动的轨道半径为，粒子b离开电场进入磁场时速度方向与水平方向夹角为，如图甲所示

则有

解得

又

则

在电场中
，
在磁场中有

解得

如图乙所示，由几何关系可知，在矩形磁场中运动的圆心在y轴上，当粒子从矩形磁场右边界射出，且方向与x轴正方向夹角为时，粒子能够到达x轴，距离原点O最远。

则最小矩形区域水平边长为

竖直边长为

则最小面积为

6．（2022·山西省翼城中学校模拟预测）如图所示，第一象限内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E（E未知），第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从x轴上的A点以初速度垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点进入第二象限。已知第二、三象限内磁感应强度的大小均为，A点的横坐标为，P点的纵坐标为L，不计粒子重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子进入第二象限的磁场区域后，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离；
（3）粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。

【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）粒子在第一象限电场中做类平抛运动，如图所示，竖直方向有


水平方向有

联立解得

解得

（2）设粒子离开电场时，速度大小为v，方向与y轴正方向夹角为，则速度大小

解得

由几何关系得

解得

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得

解得

则圆心恰好落在x轴上。粒子第一次与x轴相交时到坐标原点的距离

解得

（3）由解析图可知，粒子进入第三象限时的速度大小为

方向竖直向下，可在水平方向上配上水平向左的速度和水平向右的速度，使满足

由此可知

与的合速度大小

与x轴方向的夹角

所以粒子进入第三象限后以做匀速圆周运动的同时以向左做匀速直线运动。设粒子做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得

解得

由几何关系得

解得

7．（2022·青海西宁·二模）如图所示，在光滑水平面上距离竖直线MN左侧较远处用弹簧锁定不带电绝缘小球A，弹性势能为0.45J，A球质量M=0.1kg，解除锁定后与静止在M点处的小球B发生弹性正碰，B球质量m=0.2kg，带电量q=+10C。MN左侧存在水平向右的匀强电场E2，MN右侧空间区域范围内存在竖直向上、场强大小E1=0.2N/C的匀强电场和方向垂直纸面向里磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场。（g=10m/s2，不计一切阻力）求：
（1）解除锁定后A球获得的速度v1；
（2）碰后瞬间B球速度v2；
（3）E2大小满足什么条件时，B球能经电场E2通过MN所在的直线。（不考虑B球与地面碰撞再次弹起的情况）

【答案】（1）3m/s，方向水平向右；（2）2m/s，方向水平向右；（3）
【规范答题】（1）A球和弹簧组成的系统机械能守恒，解除锁定后，弹簧的弹性势能全部转换为A球的动能，即

得

即解除锁定后获得的速度大小为3m/s，方向水平向右；
（2）A、B在MN处弹性正碰，取水平向右为正方向，由动量守恒、机械能守恒可得


解得

方向水平向右；
（3）B球进入MN右侧后，电场力大小为
=
由于电场力方向竖直向上，因此重力和电场力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即

在电磁场区域运动半个圆周后速度方向垂直MN水平向左射出，设出射点距M点的距离为y，则

在MN左侧的运动竖直方向为自由落体运动，水平方向类似于竖直上抛运动，设B球能返回MN，且运动时间为t，取水平向右为正方向，则在水平方向上

解得

若B球能返回MN，则在竖直方向上应满足

解得

8．（2022·重庆·模拟预测）在如图所示的平面直角坐标系中，二象限有沿y轴负方向的匀强电场，一荷质比为的正电粒子以速度沿x轴正方向从P点进入电场，P点到y轴的距离为，粒子到达坐标原点O时速度方向与x轴正方向成并开始进入四象限。四象限有沿y轴正方向的匀强电场。一象限的范围内有垂直于平面向里的匀强磁场，已知坐标轴单位为米（m），不计粒子重力和电场、磁场的边际效应。
（1）求电场的大小；
（2）求粒子从坐标原点O进入四象限后，第一次经过x轴时的坐标；
（3）若粒子要经过坐标为的Q点，则磁感应强度大小为多少？

【答案】（1）200N/C；（2）（1,0）；（3）磁场大小可以取，，，4T，12T
【规范答题】（1）粒子沿x轴正方向从P点进入电场，粒子在电场中做类平抛运动，经原点O时速度方向与x轴正方向成，如图所示，由类平抛运动特点可知，在水平方向有


粒子运动到原点O的时间

在竖直方向，粒子沿y轴负方向做匀加速直线运动，则有
vy=v0tan30°=100m/s



解得

（2）粒子在四象限，沿x轴做匀速直线运动，沿y轴负方向先做匀减速直线运动，速度减到零，后沿y轴正方向做匀加速直线运动，运动到x轴时，竖直方向速度大小达到vy，则有

粒子返回到x轴所用时间

粒子在沿x轴方向的位移

粒子第一次经x轴时的坐标是（1,0）。
（3）粒子离开第四象限时电场对粒子做功为0，则粒子速度大小不变

方向变为与方向与x轴正方向夹角为30°，斜向右上。粒子离开E2到磁场所用时间为

粒子在水平方向位移

粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有

则磁场大小为

由几何关系可知，粒子离开磁场时N点到M点间距

粒子要经过Q点，则粒子不能从磁场上边界射出，不能再射入第二象限，则
，
可得

(i)若粒子经过磁场偏转，从x轴上方经过Q点，有
，其中n=1,2,3,……
解得

由于，则n=4或者5。当则n=4时，磁场大小为

当则n=5时，磁场大小为

（ii）当粒子经过电场偏转，从x轴下方经过经Q点时，有

则

由于，则n可以取3，4，5，代入可得，磁场大小分别为
，，。
综上，磁场大小可以取，，，4T，12T。
9．（2022·浙江·模拟预测）东方超环，俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束剥离出来。假设“偏转系统”的原理如图所示，混合粒子束先通过加有电压的两极板再进入偏转磁场中，中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；未被中性化的带电离子一部分打到下极板，剩下的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬。已知离子带正电、电荷量为q，质量为m，两极板间电压为U，间距为d，极板长度为2d，吞噬板长度为2d，离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用。
（1）要使的离子能直线通过两极板，则需在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场B1，求B1的大小；
（2）直线通过极板的离子以进入垂直于纸面向外的矩形匀强磁场区域。已知磁场，若离子全部能被吞噬板吞噬，求矩形磁场B2的最小面积；
（3）若撤去极板间磁场B1，且B2边界足够大。若粒子束由速度为、、的三种离子组成，有部分带电离子会通过两极板进入偏转磁场，最终被吞噬板吞噬，求磁场B2的取值范围。

【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）离子能直线通过两极板，则洛伦兹力等于电场力

将代入得

（2）由

离子在偏转磁场中的运动半径为

离子全部能被吞噬板吞噬，则矩形磁场B2的最小面积为

（3）对于沿上极板运动的离子，在两极板间做类平抛运动，则
， ，
得

离子做类平抛运动的过程中，根据动能定理

得

离子进入偏转电场时的速度偏向角的余弦值为

当初速度为时

离子不会进入偏转电场。
当初速度为时

离子射出偏转电场时，与吞噬板上端相距为，设离子恰好打到吞噬板上端，由几何关系得

根据

得

当初速度为时，同理得

及

得

磁场B2的取值范围为

10．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图所示，竖直平面内的直角坐标系xoy，第一象限内有竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场；第三、四象限有磁感应强度大小为，方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。t=0时刻，质量为m、带电量为+q的绝缘小球，从x轴的O点，沿x轴正方向以速度v0射入第一象限，在第一象限做匀速圆周运动；小球过一段时间进入第三象限的磁场区域。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）在磁场B2内，小球离x轴最远距离及对应的速度大小；
（3）小球进入磁场B2的时刻。

【答案】（1）；（2），；（3）（n取正整数，且，）
【规范答题】（1）在第一象限内作匀速圆周运动，则

得

（2）第一象限，根据洛伦兹力等于向心力

得

消去运动半周，时间为

第二象限做做平抛运动，则

得

则

则

与x轴负方向夹角的正切值为

设最远距离为y，此时对应的速度为vx
由动能定理

水平方向由动量定理

即

取向右为正方向，则

小球离x轴最远距离及对应的速度大小分别为
，
（3）在磁场中，创设向左、向右的速度，且使

则

则

则

小球可看的匀速圆周运动及以水平向右的匀速运动的合运动，当粒子第二次进入B1时，速度方向与x轴夹角为，则在B2中运动时间为

在B1中运动时间为

则粒子进入B2的时刻为

得
  （n取正整数）