【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题6-2 数列大题综合18种题型 学案（原卷版+解析版）

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 专题6-2 数列大题综合18种题型
目录
讲高考 1
题型全归纳 6
【题型一】恒成立求参 6
【题型二】数列“存在型”求参 8
【题型三】“存在型”证明题 10
【题型四】数列“存在型不定方程型 11
【题型五】双数列相同项“存在型” 13
【题型六】新数列与“子数列”型 14
【题型七】“下标”数列型 15
【题型八】指数型常规裂项求和 16
【题型九】“指数等差型”裂项求和 18
【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和 19
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和 21
【题型十二】“分离常数型”裂项求和 23
【题型十三】先放缩再裂项求和 24
【题型十四】前n项积型 26
【题型十五】解数列不等式 27
【题型十六】证明数列不等式 28
【题型十七】求和：范围最值型 30
【题型十八】“隐和型” 31
专题训练 32

讲高考

1．（·湖南·高考真题）数列满足．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)设，求使的所有k的值，并说明理由．
【答案】(1)(2)所有的值为3，4，5
【分析】（1）由题意知，，一般地，当时，．因此．当时，，由此可知数列的通项公式；
（2）由题设知，，，，由此可知当时，，可得满足的所有的值．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
一般地，当时，，
即．所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，
因此．
当时，，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此．
故数列的通项公式为
（2）解：由（1）知，

，，．
于是，，，，，．
下面证明：当时，．
事实上，当时，，
即．
又，所以当时，．
故满足的所有的值为3，4，5．
2．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，设所以，
则，
作差得，
所以，所以.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
4．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知    ①
于是．       ②
由①②得．     ③
又，       ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
  由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
  由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；


题型全归纳

【题型一】恒成立求参
【讲题型】
例题1.已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式;
(2)数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.（参考数据: ）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用及等差数列的定义求解即可；
（2）利用裂项相消求得，代入得对任意的恒成立，只需即可，利用作商法求的最大值.
【详解】（1）当时， ，解得，
当时，由，得①，②，
由①②得，化简得，
因为，所以，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
即.
（2）由（1）得，
所以，
所以，带入，可得对任意的恒成立，
只需即可，令，由，即，解得，
所以，，故当时，的最大值为，所以.

【讲技巧】
一般情况下数列恒成立，通过分参等，转化为“数列型函数”，再借助函数单调性求最值。求最值时候要注意“数列型函数”是离散型。
【练题型】
已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.
【答案】(1)证明见解析，；(2)4.
【分析】（1）构造，根据等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2），利用错位相减法求出，故成立的自然数恰有4个，当时，不等式显然成立，故当时，不等式成立的自然数恰有2个. 令，根据其单调性即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以是等比数列，，所以；
（2），所以，，
两式相减，得，所以，
因为成立的自然数恰有4个，即成立的自然数恰有4个，
由于为正整数，当时，不等式显然成立，故当时，不等式成立的自然数恰有2个，
即成立的自然数恰有2个，令，则，所以严格减，
所以，且，解得，故正整数的值为4.

【题型二】数列“存在型”求参
【讲题型】
例题1.设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：数列是递增数列；
(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，.
【分析】（1）由已知条件，可令，代入，即可得到所求出数列通项公式，从而可证是等比数列；
（2）讨论公比q是否为1，求得，以及，由单调性的定义即可得证；
（3）假设存在正常数c使得为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．
【详解】（1）因为对任意正整数，
当时，总成立，
所以时，令，得，即，
当时，也成立，所以，所以数列是等比数列；
（2）当时，，随着的增大而增大；当，时，，，
由，综上可得数列是递增数列；
（3）假设存在正常数使得为等差数列．当时，，当时，，
由为等差数列，得，此时
当时，为等差数列，
所以存在使得为等差数列．
【练题型】
已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式
(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，.
【分析】（1）由等差数列通项公式得出，再由与的关系可得数列的通项公式.
（2）由（1）的结论结合错位相减求出，先得出的前三项，由等差数列的性质得出方程解出，再检验即可．
【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，
当时，，则有，
因此，即，数列是常数列，有，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
有，，，若数列成等差数列，则，解得，
当时，，则，从而数列成等差数列，
所以存在，使得数列成等差数列．
【题型三】“存在型”证明题
【讲题型】
例题1.已知正项数列，其前n项和，满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）先令求出，再由，，得到，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，求出，进而求出的通项公式；
（2）假设存在，结合第一问中结论得出，两边平方后推出，故假设不成立，不存在这样的连续三项.
【详解】（1）中令得：，故正项数列中，，即，
当时，，即，整理得，又，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，因为是正项数列，即，所以.
当时，，又满足此式，即，都有；
（2）不存在，理由如下：由（1）中可得：，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，即，
两边平方，得，即，
整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在使构成等差数列的连续三项.

【讲技巧】
数列这类“存在某些项等”证明型题，对于运算，特别是含字母的运算要求较高。在二轮复习训练时，要注意对计算方面的拆解分析
【练题型】
在数列中，已知，，且对于任意正整数n都有.
(1)令，求数列的通项公式；
(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立.
【答案】(1)；(2)存在，详见解析.
【分析】（1）由题可得，然后利用等比数列的定义及通项公式即得；
（2）由题可知，可得，令，利用等比数列的通项公式可得，即可得出，假设存在正整数满足题意，由题可得，即可求解．
【详解】（1）因为，所以，因为，且，
所以，且，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，所以，令，则，所以，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，
所以，无论为何值，假设存在一个正整数使成立，
因为，
即，可得，取，
因此是一个正数，无论为何值，都有一个正整数使成立，取的正整数即可．
【题型四】数列“存在型不定方程型
【讲题型】
例题1.设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)是否存在，使得 是数列 中的项？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，.(2)存在， 或
【分析】（1）设的公比为 ，利用等比数列的通项公式以及前n项和公式，列方程组，求得公比和首项，即得；根据即可求得；
（2）结合（1）可得的表达式，进行变形化简为，由题意设 是数列 中的第项，则 ，分类讨论t的取值，可求得答案.
【详解】（1）设的公比为 ，又 ,，则 ，解得 或 （舍），
所以 ， ， ，
即数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为.
（2） ，由于，令 ，， ，
所以 ，设 是数列 中的第项，则 ，
则 为小于等于的整数，t为2的约数，所以 ，当或时， ，不合题意；
当 或 时， ，与题意相符.所以当 或 时，
即或 时，是数列 中的项.

【讲技巧】
涉及到“存在型不定方程”，可以从分类讨论方面入手，可以从奇偶数方面分析，可以从约数整除方面讨论。
【练题型】
已知数列满足.
(1)证明：是等比数列.
(2)判断是否可能是数列中的项.若是，求出的最大值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)是，7
【分析】（1）由，得，两式相比可求得，从而可求得，进而可证得结论；
（2）由（1）得，则，从而可得，再由可求得的范围，进而可求得的最大值.
【详解】（1）当时，，，，两式相比得.，是以2为2公比，1为首项的等比数列.
（2）由（1）得.由，得，.
，解得.，的最大值为7.可能是数列中的项，的最大值为7.
【题型五】双数列相同项“存在型”
【讲题型】
例题1.已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若集合，且，求中所有元素之和.
【答案】(1)(2)242
【分析】（1）结合等差、等比数列的知识求得的通项公式.
（2）根据已知条件列不等式，结合等比数列的前项和公式求得正确答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，解得，.
所以.
（2）设，即，即，
因为，所以，即，
由于，所以，解得，，
所以中所有元素之和为.
【讲技巧】
双数列相同项，一般情况下，也是解“不定方程”
【练题型】
已知数列的通项公式为，等比数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，的前n项和分别为，，求满足（）的所有数对．
【答案】(1)(2)满足条件所有数对为
【分析】（1）根据的通项公式求出，从而得到，求出公比，得到通项公式；
（2）利用等差数列和等比数列前项和公式列出方程，，变形后得到，根据且为整数，求出相应的值，得到满足条件所有数对.
【详解】（1）由，所以，故，所以等比数列的公比为，
故，所以，即等比数列{}的通项公式为；
（2）由已知得：，由（1）可知，由，所以，
即，故，因为m正整数，，所以，
，故满足条件所有数对为．
【题型六】新数列与“子数列”型
【讲题型】
例题1.已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.
(1)求数列，的通项公式.
(2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)当 时， ，
当 时，
【分析】（1）根据通项与和之间的关系求解；
（2）按照奇偶数对n分类讨论，再对 分组求和.
【详解】（1）由条件： 知：，
，
当 时， 符合，所以；
， 是等比数列，
又  ；
（2）当 时， ，
当   时，  
；当 时， ，
当  时，  .
【练题型】
已知等差数列和等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）由题知，进而得等差数列的公差为，进而根据等差数列通项公式和指对互化即可得答案；
（2）由题知数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的，进而根据等差数列，等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）解：因为等差数列和等比数列满足，，
所以，
所以等差数列的公差为，所以，，
所以，，，
（2）解：由（1），即是数列中的第项．
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
因为
所以数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的，
所以．
【题型七】“下标”数列型
【讲题型】
例题1.已知数列，，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式．
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；；(2).
【分析】（1）根据与的关系及等比数列的定义可得，再根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算可得；
（2）由题可得，再分类讨论，分组求和即得.
【详解】（1）因为，当时，，解得，
当时，，所以，即，又，
所以是以首项为3，公比为的等比数列，所以；
因为，成等比数列，设的公差为，
所以，即，
解得，所以；
（2）由（1）知：，
当为偶数时，，
当为奇数时，
，
所以.
【练题型】
定义集合，数列满足
(1)定义数列，证明：为等比数列
(2)记数列的前项和为，求满足的正整数
【答案】(1)证明见解析(2)5
【分析】（1）根据数列的递推公式求出，再根据等比数列的定义可证结论正确；
（2）求出，再根据累加法求出，然后解方程可得结果.
【详解】（1）依题意可得，，，，
当时，
，又，都适合上式，所以，
因为，所以为等比数列.
（2）依题意得，，,
所以，
又， ，，，，所以
，
所以


，
由，得，得，
得，得，得.
【题型八】指数型常规裂项求和
【讲题型】
例题1.设数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，构造，与条件中的式子，两式相减，得，转化为构造等比数列求通项公式；
（2）由（1）可知，利用裂项相消求和法求解.
【详解】（1）因为，所以当时，，解得．
当时，，则，
整理得，即．所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．所以.
（2）令，数列的前项和，，
则，则，则.的值为.

【讲技巧】
纯指数型裂项，裂项公式思维供参考：
【练题型】
已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据类比作差即可求得通项公式；（2）根据裂项相消即可求解和不等式的恒成立即可求解.
【详解】（1）因为，①
所以，②
②式两边同时乘以3得，，③
①③两式得，所以，，
又当，，所以，所以，.
（2），
所以
，
，
易知，是关于的增函数，所以，
因为对恒成立，所以，所以，
实数m的取值范围是.
【题型九】“指数等差型”裂项求和
【讲题型】
例题1..等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，设数列的前项和为，求；
(3)令，设数列的前项和为，求证：.
天津市宝坻区第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
【答案】(1)，(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得再根据等差数列与等比数列通项公式得结果；
（2）根据错误相减法求数列的前项和为，注意作差时项符号的变化以及求和时项数的确定；
（3）将裂项得，然后求和即可.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则
由得，解得，所以，.
（2）由（1）可知，∴①
②
①—②得：
，∴.
（3）

【讲技巧】
指数等差型裂项，裂项公式思维供参考
：
注意：一般情况下，分子的mn+t=,如果裂项系数不好找，可以待定系数法

【练题型】
（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.(1)求和的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设公差为，公比为，再根据题意列式求解基本量即可；
（2）分为奇数和偶数两组，再根据错位与裂项求和求解即可
(1)设公差为，公比为，由可得，即，
因为解得.又，故，解得.故
(2)因为，故，
设中奇数项和为，偶数项和为，则.
，则，则，
则，即，
解得，故

【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和
【讲题型】
例题1.已知数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用得到从第二项起为等比数列，求出，利用写出通项公式即可，最后将通项公式写成分段形式；
（2）利用裂项相消法可求出时的，然后综合写出.
【详解】（1）①,当时，②，①-②得，即，
又，得，，
又不符合；
（2）当时，
当时，，
当时，，
又当时，，符合
.
【讲技巧】
指数分子拆分型裂项，裂项公式思维供参考：
注意：公式仅供思维参考，这个结构，常数“1”那个位置，可以是任意某个常数，注意具体常数具体拆分裂项。

【练题型】
已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)（）；（）(2)（）
(3)（）
【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；
（2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解；
（3）代入得，对指数型式子配凑进行裂项可得，再由裂项相消即可求解.
（1）（1）解：或，又，则，∴（）．设等差数列的公差为，由题意得，，，即，所以（）．
（2）（2）解：时，，∴．时，∴，①，②由①②可得，∴∴（）．
（3）（3）由（1）知，则∴故（）.
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和
【讲题型】
例题1.记正项数列的前n项积为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题意得，又，可得与的关系，结合等差数列的定义即可证得结论；
（2）由（1）得，求出，利用裂项相消法求和即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，又，
所以，即，所以．
当n＝1时，，所以，解得＝3，故是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
所以，
所以．

【讲技巧】
正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：


【练题型】
已知数列的满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）令，可得，可知数列为等差数列，即可得出；
（2）裂项可得，相加可得.根据的单调性即可证明.
【详解】（1）解：令，则由已知可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可得，，
则，
因为单调递减，，显然，
所以有.
【题型十二】“分离常数型”裂项求和
【讲题型】
例题1.数列是正项等比数列，已知且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出的通项公式；
（2）由（1）、题设可得，应用裂项相消法求.
【详解】（1）由题设，令公比为，则，
所以，即，则，故.
（2）由（1）知：，则，
所以.

【讲技巧】
“分离常数型”裂项求和，裂项公式思维供参考：分子分母多为一元二次，分母可因式分解，分子可通过构造分母来分离常数
【练题型】
已知等差数列的通项公式为，记数列的前n项和为，且数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的通项公式．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据数列通项及等差中项的性质即得；
（2）由题可得，然后利用裂项相消法即得.
【详解】（1）因为，数列为等差数列，
所以，，，所以，又，
解得，所以；
（2）由（1）得，所以，
所以
．
【题型十三】先放缩再裂项求和
【讲题型】
例题1.已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)证明：.
【答案】(1)，(2)(3)证明见解析
【分析】（1）利用求出和的通项公式；利用公式法求出的通项公式；
（2）由对分类讨论：和分别求和，即可求出；
（3）利用裂项相消法求和，即可证明.
【详解】（1）当时，
由，得，即，
当时，，当时，，所以.
设正项等比数列的公比为，则，
所以，解得或（舍），所以.
（2）所以当时，
当时，
即
（3）当时，；当时，
所以
.
【练题型】
．已知函数，
(1)讨论函数的单调性;
(2)若恒成立，
①求a的取值范围；
②设，证明：
【答案】(1)答案见解析(2)①，②证明见解析
【分析】（1）求出，分类讨论a，并根据导函数的正负，求出单调区间；
（2）可将恒成立，等价于，由（1）所得函数单调性可求最小值，即可求出a的取值范围；构造函数，可证，裂项可得，即可证明.
【详解】（1）解：函数，定义域为，
当时，恒成立，
在上单调递减，
当时，令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：①恒成立，等价于，
由（1）可知，当时，在上单调递减，无最小值；
当时，，
则，解得，
所以a的取值范围为；
②构造函数，，则恒成立，
所以函数在单调递减，
而，则恒有，即，
所以

而，

，即

【题型十四】前n项积型
【讲题型】
例题1.在等比数列中，，前项和为是和的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的最大值．
【答案】(1)(2)64
【分析】（1）利用基本量代换求出公比，即可求出的通项公式；
（2）先求出，利用单调性求出的最大值.
【详解】（1）由题意得，即.
设等比数列的公比为，则有，解得.
所以．
（2）因为，所以.
因为，所以当或4时，取到最小值，.
因为为减函数，所以的最大值为．
【讲技巧】
可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n=1，得a1
2.n时，，所以

【练题型】
已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,,若,求k的值.
【答案】(1)(2)79
【分析】(1)根据递推关系式,向前推一项,相减即可得数列为隔项是等差数列,分为奇数,和为偶数两种情况,分别求出通项公式即可得出结果;
(2)根据(1)中的结果,得到的通项公式,将化简,利用换底公式解出k的值即可.
【详解】（1）解:由题知①,因为,所以,解得,
当时,②,①-②可得:,
所以当为奇数时,,,,
以上式子相加可得:,化简可得,满足上式，
所以当为偶数时,,,,
以上式子相加可得:,化简可得,满足上式，综上: ;
（2）由(1)知,故,因为,所以,
即,
故,解得.
【题型十五】解数列不等式
【讲题型】
例题1.已知数列的首项，且满足．
(1)已知数列是等比数列，求公比；
(2)若，求满足条件的最大整数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用已知等式可得出，结合等比数列的定义可求得的值；
（2）求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得数列的前项和，再结合数列的单调性可求得满足不等式的最大整数的值.
【详解】（1）解：由已知，，，
又因为，所以，，公比．
（2）解：由（1）可得数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，则，所以，，
又因为，故数列为单调递增数列，因为，
所以，满足不等式的最大整数的值为.
【练题型】
已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且的前项和为，求满足不等式的的值.
【答案】(1)(2)1，2
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得，由此化简不等式，结合差比较法求得正确答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则,
解得，故.
（2）依题意，，故，则，
两式相减可得：
，解得.
故可转化为.令，
则（），
故，即单调递减.
注意到，所以满足条件的的值为1，2.
【题型十六】证明数列不等式
【讲题型】
例题1.已知等差数列满足，，的前n项和为．
(1)求及的通项公式；
(2)记，求证：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
；
（2）由（1）得，
，即.
【练题型】
已知数列，，.
(1)求数列通项公式；
(2)若数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【答案】(1)(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）根据递推公式将等式两边分别取倒数即可证明是等差数列，即可写出数列通项公式；（2）利用数列与的关系式，可写出的表达式，利用等比数列放缩即可证明（i）中的结论，再利用（i）得到的结论即可证明（ii）.
【详解】（1）由题意可知，，将两边同时取倒数可得，
，即，又，所以，数列是以为首项，公差的等差数列，
即，得，所以数列通项公式为
（2）（i）由可知，，
所以
两式相减得

当时，，所以；
（ii）
所以
【题型十七】求和：范围最值型
【讲题型】
例题1.已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用退一相减法可得数列为等差数列，进而可得其通项公式；
（2）利用错位相减法可得，再根据的单调性可得取值范围.
【详解】（1）由，得①，
所以当时，②.
由①减②，得.
因为数列为各项均为正数的数列，所以，
又由，，得
所以，所以
故数列是首项为，公差为的等差数列，所以；
（2）由（1），得，
所以数列的前项和.
所以，
两式作差可得：，
所以
由于，，
则数列在上单调递增，于是.
【练题型】
已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，数列是否存在最大项，若存在，求出最大项.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据题意，由与的关系即可得到为等比数列，从而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列的通项公式，结合条件列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）①，
当时，，
当，，②
①-②得：，即，，
由知即，
所以是首项为1公比为2的等比数列，得，
所以数列的通项公式为：.
（2），
，，
令得或，即，
令得，即，
当时，
当时，又，
所以数列最大项为.
【题型十八】“隐和型”
【讲题型】
例题1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件列方程求出d；
（2）根据条件，做差求出 的通项公式.
【详解】（1）由题意， ， ，解得 ，
，
；
（2）由题意： …①， …②，
②-①得 ，
；
综上， .
【练题型】
已知等比数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，，求数列的通项公式．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知条件及数列前项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及数列的递推公式即可求解.
【详解】（1）设数列的公比为,则
，由，得，所以，
有，得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
由，得
当时，得．
当时，

有，得时，
取时，，此式也满足，
故数列的通项公式为．






1．已知为数列的前项积，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用将条件整理变形可得，即可证明数列是等差数列；
（2）将变形为，然后直接求和消去中间多项可得答案.
【详解】（1）为数列的前项积，
当时，，
，等式两边同时乘以可得，
即，
又当时，，得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
，

．
2．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）记为数列的前n项和，已知.
(1)求；
(2)设，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知得，①，② 两式相减即得解；
（2），再利用裂项相消法求和证明.
【详解】（1）解：由已知得，①
，②
②－①得，即，
特别地，① 中令得，即，
所以是首项为1，公比为2的等比数列.
所以.
（2）证明：，
所以
.
3．（2021秋·安徽滁州·高二校考期末）已知数列中，，，其前项和满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.
【答案】(1)(2)
【分析】根据已知结合与前项和的关系，利用相减法确定的递推关系式，判断为等差数列，即可求解数列的通项公式；
根据数列的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）解：由已知，得
即，且.
数列是以为首项，公差为1的等差数列.
.
（2）解：，
，要使得对任意，恒成立，
恒成立，
恒成立，
恒成立.
（i）当为奇数时，即恒成立，又是递增数列
则当时，有最小值为1，
.
（ii）当为偶数时，即恒成立，又是递减数列
则当时，有最大值，
.
即，又为非零整数，则.
综上所述，存在，使得对任意，都有.
4．（河北省邯郸市2023届高三上学期期末数学试题）设为数列的前n项和，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“”可得，由此求出数列通项作答.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1），，，当时，，
两式相减得：，
因此，即有，
而，即，又，解得，
于是数列是首项为4，公差为3的等差数列，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
因此，，
因为，则有数列是递增数列，即有，
所以.
5（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已的数列的首项，，．
(1)求证：数列等比数列；
(2)记，若，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列的通项公式，然后根据等比数列的求和公式代入计算，结合函数的单调性即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为数列满足，即
整理得，又
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
所以
由可得，，即
因为函数在上单调递增，
且满足
故满足条件的最大值为