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【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题3-2+解三角形最值范围与图形归类 学案（原卷版+解析版）
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这是一份【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题3-2+解三角形最值范围与图形归类 学案（原卷版+解析版），文件包含备考2023高考数学二轮专题总复习精讲精练全国通用专题3-2解三角形最值范围与图形归类学案解析版docx、备考2023高考数学二轮专题总复习精讲精练全国通用专题3-2解三角形最值范围与图形归类学案原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19541" 讲高考 PAGEREF _Tc19541 \h 1
\l "_Tc23977" 题型全归纳 PAGEREF _Tc23977 \h 2
\l "_Tc3281" 【题型一】最值与范围1：角与对边 PAGEREF _Tc3281 \h 2
\l "_Tc1315" 【题型二】最值与范围2：角与邻边 PAGEREF _Tc1315 \h 3
\l "_Tc15678" 【题型三】范围与最值3：有角无边型 PAGEREF _Tc15678 \h 3
\l "_Tc23141" 【题型四】最值与范围4：边非对称型 PAGEREF _Tc23141 \h 4
\l "_Tc30838" 【题型五】最值：均值型5
\l "_Tc11236" 【题型七】图形1：内切圆与外接圆 PAGEREF _Tc11236 \h 4
\l "_Tc24110" 【题型八】图形2：“补角”三角形5
\l "_Tc16706" 【题型九】图形3：四边形与多边形 PAGEREF _Tc16706 \h 5
\l "_Tc19228" 【题型十】三大线1：角平分线应用 PAGEREF _Tc19228 \h 7
\l "_Tc29053" 【题型十一】三大线2：中线应用 PAGEREF _Tc29053 \h 7
\l "_Tc23292" 【题型十一】三大线3：高的应用 PAGEREF _Tc23292 \h 8
\l "_Tc20298" 【题型十一】证明题 PAGEREF _Tc20298 \h 9
\l "_Tc19442" 专题训练 PAGEREF _Tc19442 \h 9
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
4．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
5．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
题型全归纳
【题型一】最值与范围1：角与对边
【讲题型】
例题1.已知的内角所对的边分别为
（1）求；
（2）已知，求三角形周长的取值范围.
例题2.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
【练题型】
1.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且.
（1）求的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
2.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且
（1）求角A；
（2）若，求bc的取值范围．
【题型二】最值与范围2：角与邻边
【讲题型】
例题1..已知为锐角三角形，角所对边分别为，满足：.
（1）求角的取值范围；
（2）当角取最大值时，若，求的周长的取值范围.
【练题型】
1.．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．
2.在中，设，，所对的边长分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【题型三】范围与最值3：有角无边型
【讲题型】
例题1.三角形中，已知，其中，角所对的边分别为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
例题2.在锐角三角形ABC,若 SKIPIF 1 < 0
(I)求角B
(II)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【练题型】
1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）若，，求b
（Ⅱ）求的取值范围．
2.在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【题型四】最值与范围4：边非对称型
【讲题型】
例题1.在中，分别是角的对边.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的范围.
【练题型】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【题型七】图形1：内切圆与外接圆
【讲题型】
例题1.在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．
(1)求角和边的大小；
(2)求△的内切圆半径．
例题2.中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
【练题型】
1.锐角的三个内角是，满足．
(1)求角的大小及角的取值范围；
(2)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．
2.已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的内切圆半径.
【练题型】
1.如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.
(1)求；
(2)若，求长.
2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
(1)求csB与△ABC的面积；
(2)求线段AD的长．
【题型九】图形3：四边形与多边形
【讲题型】
例题1.如图，在平面四边形ABCD中，，.
(1)若的面积为，求AC；
(2)在（1）的条件下，若，求.
例题2.如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
【练题型】
1.如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．
(1)若，求；
(2)若，设，求．
2.如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.
(1)当时，求；
(2)当五边形的面积时，求的取值范围.
【题型十】三大线1：角平分线应用
【讲题型】
例题1.在中，设角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若为上的点，平分角，且，，求.
【练题型】
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值．
【题型十一】三大线2：中线应用
【讲题型】
例题1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
【练题型】
锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【题型十一】三大线3：高的应用
【讲题型】
例题1.的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
【练题型】
记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【题型十一】证明题
【讲题型】
例题1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【练题型】
在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，证明：是直角三角形.
1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边上的一点，，且是的平分线，求的面积.
2．（山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，且满足：
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
3．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：；
②证明：.
(2)若，，，求面积的最小值．
4．（重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题）在中，角的对边分别为 且.
(1)求角C；
(2)求的最大值.
8．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）在中，内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)如图，在所在平面上存在点，连接，若，，，，求的面积．
9．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)判断的形状；
(2)若，D在BC边上，，求的值．
【讲技巧】
．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
【讲技巧】
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
【讲技巧】
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径
【讲技巧】
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【讲技巧】
中线的处理方法
1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【讲技巧】
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19541" 讲高考 PAGEREF _Tc19541 \h 1
\l "_Tc23977" 题型全归纳 PAGEREF _Tc23977 \h 2
\l "_Tc3281" 【题型一】最值与范围1：角与对边 PAGEREF _Tc3281 \h 2
\l "_Tc1315" 【题型二】最值与范围2：角与邻边 PAGEREF _Tc1315 \h 3
\l "_Tc15678" 【题型三】范围与最值3：有角无边型 PAGEREF _Tc15678 \h 3
\l "_Tc23141" 【题型四】最值与范围4：边非对称型 PAGEREF _Tc23141 \h 4
\l "_Tc30838" 【题型五】最值：均值型5
\l "_Tc11236" 【题型七】图形1：内切圆与外接圆 PAGEREF _Tc11236 \h 4
\l "_Tc24110" 【题型八】图形2：“补角”三角形5
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\l "_Tc19228" 【题型十】三大线1：角平分线应用 PAGEREF _Tc19228 \h 7
\l "_Tc29053" 【题型十一】三大线2：中线应用 PAGEREF _Tc29053 \h 7
\l "_Tc23292" 【题型十一】三大线3：高的应用 PAGEREF _Tc23292 \h 8
\l "_Tc20298" 【题型十一】证明题 PAGEREF _Tc20298 \h 9
\l "_Tc19442" 专题训练 PAGEREF _Tc19442 \h 9
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
4．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
5．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
题型全归纳
【题型一】最值与范围1：角与对边
【讲题型】
例题1.已知的内角所对的边分别为
（1）求；
（2）已知，求三角形周长的取值范围.
例题2.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
【练题型】
1.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且.
（1）求的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
2.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且
（1）求角A；
（2）若，求bc的取值范围．
【题型二】最值与范围2：角与邻边
【讲题型】
例题1..已知为锐角三角形，角所对边分别为，满足：.
（1）求角的取值范围；
（2）当角取最大值时，若，求的周长的取值范围.
【练题型】
1.．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．
2.在中，设，，所对的边长分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【题型三】范围与最值3：有角无边型
【讲题型】
例题1.三角形中，已知，其中，角所对的边分别为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
例题2.在锐角三角形ABC,若 SKIPIF 1 < 0
(I)求角B
(II)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【练题型】
1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）若，，求b
（Ⅱ）求的取值范围．
2.在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【题型四】最值与范围4：边非对称型
【讲题型】
例题1.在中，分别是角的对边.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的范围.
【练题型】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【题型七】图形1：内切圆与外接圆
【讲题型】
例题1.在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．
(1)求角和边的大小；
(2)求△的内切圆半径．
例题2.中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
【练题型】
1.锐角的三个内角是，满足．
(1)求角的大小及角的取值范围；
(2)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．
2.已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的内切圆半径.
【练题型】
1.如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.
(1)求；
(2)若，求长.
2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
(1)求csB与△ABC的面积；
(2)求线段AD的长．
【题型九】图形3：四边形与多边形
【讲题型】
例题1.如图，在平面四边形ABCD中，，.
(1)若的面积为，求AC；
(2)在（1）的条件下，若，求.
例题2.如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
【练题型】
1.如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．
(1)若，求；
(2)若，设，求．
2.如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.
(1)当时，求；
(2)当五边形的面积时，求的取值范围.
【题型十】三大线1：角平分线应用
【讲题型】
例题1.在中，设角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若为上的点，平分角，且，，求.
【练题型】
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值．
【题型十一】三大线2：中线应用
【讲题型】
例题1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
【练题型】
锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【题型十一】三大线3：高的应用
【讲题型】
例题1.的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
【练题型】
记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【题型十一】证明题
【讲题型】
例题1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【练题型】
在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，证明：是直角三角形.
1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边上的一点，，且是的平分线，求的面积.
2．（山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，且满足：
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
3．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：；
②证明：.
(2)若，，，求面积的最小值．
4．（重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题）在中，角的对边分别为 且.
(1)求角C；
(2)求的最大值.
8．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）在中，内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)如图，在所在平面上存在点，连接，若，，，，求的面积．
9．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)判断的形状；
(2)若，D在BC边上，，求的值．
【讲技巧】
．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
【讲技巧】
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
【讲技巧】
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径
【讲技巧】
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【讲技巧】
中线的处理方法
1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【讲技巧】
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
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