课时跟踪检测（十三） 离散型随机变量的均值

这是一份课时跟踪检测（十三） 离散型随机变量的均值，共6页。试卷主要包含了已知随机变量ξ的分布列为，端午节吃粽子是我国的传统习俗等内容，欢迎下载使用。

A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：选B 因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.
2．已知随机变量ξ的分布列为
若E(ξ)＝7.5，则a等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由题意得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，,4×0.3＋a×0.1＋9b＋10×0.2＝7.5，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝0.4，,a＝7.))
3．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
据此判定( )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
解析：选A E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于( )
A．1.25 B．1.5
C．1.75 D．2
解析：选C P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于( )
A.eq \f(126,125) B.eq \f(6,5)
C.eq \f(168,125) D.eq \f(7,5)
解析：选B 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝eq \f(27,125)×0＋eq \f(54,125)×1＋eq \f(36,125)×2＋eq \f(8,125)×3＝eq \f(150,125)＝eq \f(6,5).
6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．
解析：X的可能取值为3,2,1,0，
P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(X＝0)＝0.43＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064
＝2.376.
答案：2.376
7．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，
所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
答案：706
8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq \f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq \f(1,12)，则随机变量X的均值E(X)＝________.
解析：∵P(X＝0)＝eq \f(1,12)＝(1－p)2×eq \f(1,3)，
∴p＝eq \f(1,2)，易知随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(1,12)，
P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋2×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,3)，
P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(5,12)，
P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,6)，
∴E(X)＝0×eq \f(1,12)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(5,12)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
9．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求Y的分布列及均值E(Y)．
解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，eq \x\t(A)表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P(eq \x\t(A))＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－0.216＝0.784.
(2)Y的可能取值为200元，250元，300元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此Y的分布列为
E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,4).
(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,8),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15).
所以X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(7,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5).
1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为eq \f(2,3)，则此人试验次数ξ的数学期望是( )
A.eq \f(13,9) B.eq \f(14,9)
C.eq \f(31,27) D.eq \f(32,27)
解析：选A 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq \f(1,9).
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9).
2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：选B 出海效益的均值为E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
3．随机变量ξ的概率分布列如下表：
尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E(ξ)＝________.
解析：设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以E(ξ)＝t＋2(1－2t)＋3t＝2.
答案：2
4．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)由已知，有P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4)＋C\\al(2,3),C\\al(2,10))＝eq \f(1,3).
所以事件A发生的概率为eq \f(1,3).
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)＋C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(4,15)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,3)＋C\\al(1,3)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(4,15).
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望
E(X)＝0×eq \f(4,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(4,15)＝1.
5.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有Ceq \\al(2,8)＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为
P(X＝0)＝eq \f(8,28)＝eq \f(2,7).
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1.X＝－2时，有2种情形；
X＝1时，有8种情形；
X＝0时，有8种情形；
X＝－1时，有10种情形．
所以X的分布列为
E(X)＝(－2)×eq \f(1,14)＋(－1)×eq \f(5,14)＋0×eq \f(2,7)＋1×eq \f(2,7)＝－eq \f(3,14).ξ
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
η
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
X
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
Y
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
X
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
ξ
1
2
3
P
eq \f(2,3)
eq \f(2,9)
eq \f(1,9)
ξ
1
2
3
P
？
！
？
X
0
1
2
P
eq \f(4,15)
eq \f(7,15)
eq \f(4,15)
X
－2
－1
0
1
P
eq \f(1,14)
eq \f(5,14)
eq \f(2,7)
eq \f(2,7)