专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（原卷版）

典例剖析+针对训练

类型一 点在直线上运动

典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．0.5 B．2.5 C． D．1

针对训练

1．（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 　　．

2．（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　　．

3．（2021秋•东台市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 　　．

类型二 点在圆上运动

典例2 （2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

（2）线段OC的最大值为　 　．

【灵活运用】

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【迁移拓展】

（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．

针对训练

1．（2022秋•天宁区校级期中）已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是 　　cm．

2．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　 　．

3．（2021秋•秦淮区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 　 　．

4．（2018•江汉区模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　 　．

5．（2021秋•岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；

（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．

第二部分 专题提优训练

1．（2022•安徽一模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

2．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）

A． B． C． D．3

3．（2022秋•惠山区校级月考）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

4．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 　　．

5．（2022•邗江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN⊥x轴于点M，交直线yx于点N，点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 　    ．

6．（2020春•江阴市期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是　 　．

7．（2019秋•鼓楼区期中）如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．

（1）点P的运动路径是一个圆；

（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．

8．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．

（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．

①点P'的轨迹是　 　（填“线段”或者“圆”）；

②CP′的最小值是　    ；

（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．

（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为　  　．

9．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；

（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为　 　．

10．（2021•遵义）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．

（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；

将下列解答过程补充完整．

解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．

由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．

∴OO′＝BO＝6

又∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC＝60°，AB＝BC

∴∠OBO′＝∠ABC＝60°

∴∠OBA＝∠O′BC

在△OBA和△O′BC中，

∴　△OBA≌△O′BC　（SAS）

∴OA＝O′C

在△OO′C中，OC＜OO′+O′C

当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C

即OC≤OO′+O′C

∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　　．

（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；

（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．