专题16 图形的初步认识（解析版）

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专题16 图形的初步认识
【考查题型】

【知识要点】
知识点一 几何图形
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形。
立体图形的概念：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。
【常见的立体图形的种类】棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
平面图形的概念：图形所表示的各个部分在同一平面内的图形，如三角形、正方形。
【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等。
立体图形和平面的区别:
1）所含平面数量不同：
①平面图形是各个部分存在于一个平面上的图形；
②立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。
2、性质不同。
①根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的；
②而立体图形是由不同的平面图形构成的，由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。
3、观察角度不同。
①平面图形只能从一个角度观察；
②立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。
4、具有属性不同。
①平面图形只有长宽属性，没有高度；
①而立体图形具有长宽高的属性。
立方体图形平面展开图

立体图形的三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

【考查类型】
1）会判断简单立体图形（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。
2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
3）正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,

2）“三个二”成阶梯,

3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
4）体：几何体也简称体。
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
【扩展】

多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
考查题型一 立体图形
题型1．（2022·河北·中考真题）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（    ）

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，①④组合符合题意
【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意
故选D
【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．
题型1-1．（2022·北京·中考真题）下面几何体中，是圆锥的为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．
【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；
B选项为圆锥，符合题意；
C选项为三棱锥，不合题意；
D选项为球，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．
题型1-2．（2022·山东威海·中考真题）如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是(   )
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】三视图分为主视图，左视图和俯视图，俯视图是从上往下看，进而得出答案．
【详解】解：俯视图从上往下看如下：

故选：B.
【点睛】本题主要考查了三视图，熟练地掌握主视图，左视图和俯视图是解决本题的关键．
题型1-3．（2021·贵州安顺·中考真题）下列几何体中，圆柱体是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. 是圆锥，不符合题意；
B. 是圆台，不符合题意；
C. 是圆柱，符合题意；
D. 是棱台，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查几何体的认识，掌握圆锥、圆柱、圆台、棱台的定义，是解题的关键．
考查题型二 几何体展开图的认识
题型2．（2022·四川广元·中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
题型2-1．（2022·广东广州·中考真题）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（    ）

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【答案】A
【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,
故选：A．
【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．
题型2-2．（2022·江苏常州·中考真题）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．
题型2-3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(   )

A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
【答案】B
【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．
【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，
∴该几何体是四棱锥，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．
题型2-4．（2021·浙江·中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（    ）
A．B．C．D
【答案】A
【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．
考查题型三 正方体展开图的识别
题型3．（2022·江苏宿迁·中考真题）下列展开图中，是正方体展开图的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．
【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．
题型3-1．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】D选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A、B、C选项是一个正方体的表面展开图．
故选：D．
【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．
题型3-2．（2021·广东·中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正方体的展开图．
故选：C．
【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．
题型3-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据正方体展开图分析即可求解．
【详解】根据正方体展开图分析，

①的对面是⑤，不能裁掉①
故选A
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．
考查题型四 正方体展开图上相对两个面上字/图案
题型4．（2022·河南·中考真题）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（    ）

A．合 B．同 C．心 D．人
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图进行判断即可；
【详解】解：由正方体的展开图可知“地”字所在面相对的面上的汉字是“人”；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．
题型4-1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（    ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．
【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；
C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．
题型4-2．（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（    ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即是正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点作答．
【详解】解∶由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，
A.“心”、“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意；
B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意；
C.“金”与“题”相对，“榜”、“名”是相对的面，故符合题意；
D.“马”、“到”、“成”、“功”四个字没有相对的面，故不符合题意；
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，明确正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．
题型4-3．（2021·河北·中考真题）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（    ）

A．代表 B．代表
C．代表 D．代表
【答案】A
【分析】根据正方体展开图的对面，逐项判断即可．
【详解】解：由正方体展开图可知，的对面点数是1；的对面点数是2；的对面点数是4；
∵骰子相对两面的点数之和为7，
∴代表，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形，判断哪两个面相对．
题型4-4．（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．

【答案】月
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．
故答案为：月．
【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．
考查题型五 用七巧板拼图案
题型5．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，不符合题意，
C不是轴对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
题型5-1．（2021·山东枣庄·中考真题）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（    ）

A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④
【答案】D
【分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．
【详解】解：搭配①、②、③两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配④不能，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．
题型5-2．（2022·江西·中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．

【答案】
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽．
知识点二 直线、射线、线段

【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量，射线BA和射线AB是不同的射线。
经过若干点画直线数量：1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。
2）过三个已知点不一定能画出直线。
①当三个已知点在一条直线上时，可以画出一条直线；
②当三个已知点不在一条直线上时，不能画出直线。
线段的大小比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较
2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置。
线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。
距离的概念：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。两点的所有连线中，线段最短。简称：两点之间，线段最短。
考查题型六 两点确定一条直线
题型6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ）

A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
题型6-1．（2021·河北·中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断．
【详解】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，
根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，
故选择A．

【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键．
题型6-2．（2021·浙江·中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．

【答案】
【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵地毯平均分成了3份，
∴每一份的边长为，

∴，
在中，根据勾股定理可得，
根据裁剪可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．
题型6-3．（2021·山东临沂·中考真题）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．

【答案】①
【分析】根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．
【详解】解：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故正确；
②车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；
故答案为：①．
【点睛】本题考查了直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质，都属于基本知识，解题的关键是联系实际，掌握相应性质定理．
考查题型七 线段的和与差
题型7．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（   ）

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【分析】根据，点表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧，

，

在原点的左侧，
表示的数为
故选B
【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键．
题型7-1．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】A
【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断．
【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足，
即，
解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，
即，
解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，
即，
解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；
故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键．
题型7-2．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD=AC=1

如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD=AC=3

故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
题型7-3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．

【答案】
【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：


同理：

故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
考查题型八 两点之间线段最短
题型8．（2022·浙江金华·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ）
A．B．C． D
【答案】C
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
题型8-1．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
题型8-2．（2021·江苏南京·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
【答案】D
【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．
【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．
题型8-3．（2021·浙江台州·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（   ）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质即可求解．
【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，
故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
知识点三 角
角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角（静态），角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图（动态）。
角的分类：
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
角的表示法（四种）：
1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间。
2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个。
3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字。
4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母。
角的度量：1°=60′；1′=60″；1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°　
角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
余角概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角。
补角概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角。
【性质】等角的余角相等，等角的补角相等。
时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
考查题型九 与方向角有关的计算题
题型9．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）

A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【答案】A
【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
【详解】解：如图：由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，
故选：A．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
题型9-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）

【答案】50
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，

根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=，
故答案为：50．
【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
题型9-2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．

【答案】90
【分析】根据题意可得∠APC＝34，∠BPC＝56，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34，∠BPC＝56，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90，
故答案为：90．

【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
题型9-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．

【答案】##85度
【分析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】解：岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：

，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
题型9-4．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．

【答案】北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
考查题型十 与余角和补角有关的计算
题型10．（2022·甘肃武威·中考真题）若，则的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【分析】用90°减去40°即可求解．
【详解】解：∵，
∴的余角=，
故选A
【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90° 的两角互为余角是解题的关键．
题型10-1．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．
【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，
∠2=90°-∠3=180°-α．
故选：C．

【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．
题型10-2（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______

【答案】135°##135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．
【详解】，
，
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型10-3．（2022·江苏连云港·中考真题）已知∠A的补角是60°，则_________．
【答案】120
【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解．
【详解】解：∵∠A的补角是60°，
∴∠A=180°-60°=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键．
题型10-4．（2022·广西玉林·中考真题）已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．
【答案】30
【详解】∵互余两角的和等于90°，
∴α的余角为：90°-60°=30°.
故答案为：30