第07讲：圆锥曲线中的轨迹问题-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第七讲：轨迹方程

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单定义，及简单的几何性质；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的几何性质，并能够熟练利用直译法和相关点法求解轨迹方程；

拓展目标：能够熟练应用椭圆，双曲线，抛物线的定义，并数形结合找到动点的轨迹形式，通过定义求解动点的轨迹方程.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、曲线方程的定义

一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：

①曲线上的点的坐标都是方程的解；

②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．

2、求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；

（2）设曲线上任意一点的坐标为；

（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；

（4）用坐标表示这个等式，并化简；

（5）确定化简后的式子中点的范围．

上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．

3、求轨迹方程的方法：

（1）直译法：

如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

（2）相关点法：

如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。

（1）定义法：

如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

【考点剖析】

考点一：直译法

例1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于；求动点的轨迹方程，并注明的范围；

变式训练1：已知，，动点满足与的斜率之积为，记的轨迹为曲线；求点的轨迹方程；

变式训练2：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．

(1)求动点的轨迹方程；

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为；求点的轨迹方程；

例2．已知平面上动点到的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程．

变式训练1：已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线；求的方程；

变式训练2：已知点，平面上的动点到的距离是到直线的距离的倍，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程；

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程；

例3．在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为；求的方程；

变式训练1：在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率；求动点的轨迹的方程；

变式训练2：设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点；求动点的轨迹的方程；

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线；求曲线的方程；

考点二：相关点法

例1．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足；求点的轨迹方程；

变式训练1：圆的方程为：，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在上，且；求点的轨迹的方程；

变式训练2：已知圆：与轴交于点，过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，是的中点，记的轨迹为曲线；求曲线的方程；

变式训练3：圆上的动点在轴、轴上的射影分别是，点满足；求点的轨迹的方程；

例2．已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值；求线段的中点的轨迹方程；

变式训练1：如图，分别在轴､轴上运动，点满足点的轨迹为曲线；求曲线的方程；

变式训练2：已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C；求曲线C的方程；

变式训练3：已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线；求曲线的方程，

考点三：定义法

例1．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线；请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；

变式训练1：动点满足；求点的轨迹并给出标准方程；

变式训练2：已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为；求的方程；

变式训练3：已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是；求曲线的方程；

例2．如图，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点；求点的轨迹的方程；

变式训练1：已知点为圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线交于点；求点的轨迹的方程；

变式训练2：已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点；求点的轨迹的方程；

变式训练3：设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

例3．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切；求动圆圆心的轨迹的方程；

变式训练1：已知圆与圆：外切，同时与圆：内切；说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；

变式训练2：在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线；求曲线的轨迹方程；

变式训练3：已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线；求曲线的方程；

考点四：交轨法

例1．已知点，，，，动点S，T满足，，直线MS与NT交于一点P．设动点P的轨迹为曲线C；求曲线C的方程；

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线的定义和简单性质；

（2）直译法，相关点法求解轨迹方程；

（3）定义法求解椭圆的轨迹方程；

2、易错点：通过定义，性质进行对应的分析，找寻关系求解；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．在平面直角坐标系中，已知，，是一个动点，分别为线段的中点，且直线的斜率之积是，记的轨迹为；求的方程；

2．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为；求点P的轨迹方程；

3．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为；求动点P的轨迹E的方程；

4．已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W；求曲线W的方程；

5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程；

6．在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线；求曲线的方程；

7．设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为；求的方程；

8．线段的长等于3，两端点，分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线；求曲线的方程；

9．已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为；求的方程；

10．已知是轴上的动点（异于原点），点在圆：上，且.设线段的中点为；当点移动时，求点的轨迹方程.

11．已知：如图，两同心圆：和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为；当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；

12．半圆的直径的两端点为,点在半圆及直径上运动,若将点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点,记点的轨迹为曲线；求曲线的方程;

13．已知点M是圆与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦，并使弦的中点恰好落在y轴上；求点N的轨迹E的方程；

14．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为；求轨迹的方程；

15．已知圆：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q；求点Q的轨迹方程；

16．在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切；求动点的轨迹的方程；

17．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为；求曲线的轨迹方程；

18．如图：、是两个定点，且，动点到点的距离是4，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为3；建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；

19．在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，；求动点的轨迹的方程；

20．已知定点，为轴上方的动点，线段的中点为，点在轴上的射影分别为，是的平分线，动点的轨迹为；求的方程；