专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用（原卷版）

类型一 根的判别式的应用

（1）利用判别式判断方程根的情况

1．（2022•济源校级模拟）定义运算：m△n＝mn²﹣2mn﹣1．例如：4△2＝4×2²﹣2×4×2﹣1＝﹣1．则方程2△x＝0的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．以上结论都不对

2．（2022春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根 B．无实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法判定

（2）利用判别式求字母系数的值或取值范围

3．（2021春•文登区期中）已知关于x的方程（k﹣1）x2x+2＝0有两个实数解，求k的取值范围　  　．

4．（2018•南通）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 　     ．

（3）根据字母系数判断方程根的情况

5．（2022•焦作模拟）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+m不经过第二象限，则关于x的方程x2+2x+m＝0的实数根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法判断

6．（2022秋•福鼎市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：

①若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；

②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；

其中正确的 　   　．

类型二 根与系数关系的应用

（1）利用根与系数关系求代数式的值

7．（2022秋•电白区期中）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

8．（2021秋•余干县校级月考）已知α，β是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的两个实数根，则代数式（α﹣2020）（β﹣2020）＝　 　．

9．（2001•咸宁）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的两实数根，则代数式　 　．

10．（2022秋•新田县期中）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）

A．2026 B．2027 C．2028 D．2029

11．（2022秋•罗庄区校级月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么x1+x2，x1x2．

例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2，x1x2．

请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：

（1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　；

（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2．

①求x12+x22的值；

②求x12﹣5x2+1的值．

（2）利用根与系数关系求待定系数的值或取值范围

12．（2022秋•荔湾区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为（　　）

A．2 B．m＞0 C．1 D．0

13．（2019秋•博白县期中）已知a≥3，m，n为x2﹣2ax+2＝0的两个根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　 　．

14．（2018秋•海淀区期中）已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，则的值为（　　）

A． B．2018 C．3 D．

类型三 一元二次的判别式及根与系数关系的综合应用

15．（2021秋•黔东南州期末）关于x的方程（x﹣1）（x+2）﹣p2＝0（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

16．（2022•泰山区校级二模）如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则直线y＝kx+b必定经过的象限是（　　）

A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四

17．（2020秋•岫岩县月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：

（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝ 　  ，mn＝　　  ；

（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两根x1、x2是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．

19．（2022秋•郾城区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根：

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第二边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

20．（2018秋•嘉善县期末）已知实数a、b，满足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8．

（1）求a+b和ab的值；

（2）求的值．

21．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程（a2﹣1）（）2﹣（2a+7）（）+1＝0有实根．

（1）求a取值范围；

（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且，求a的值．

22．（2022秋•城关区校级期中）阅读理解：

材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：

例：求x2+2x+5的取值范围；

解：令x2+2x+5＝y

∴x2+2x+（5﹣y）＝0

∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0

∴y≥4∴x2+2x+5≥4．

材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：

若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）

则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2

则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1

请根据上述材料，解答下列问题：

（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　 　；

（2）求出代数式的取值范围；

（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值．