高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率一课一练

【精品】6.1.1 函数的平均变化率-3同步练习

一．填空题

1．设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是___________．(用区间表示)

2．已知函数，，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围是___________.

3．设函数可导，则____________．

4．已知函数，若曲线在点处的切线的斜率为2，则数的值是___________.

5．若曲线在点处的切线平行于直线：，则点的坐标为______．

6．已知函数，曲线在点处的切线方程为________

7．已知曲线与轴相切，则___________.

8．曲线在点处的切线方程为___________.

9．曲线在点处的切线方程为___________.

10．设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_________．(用区间表示)

11．曲线在处的切线方程为________.

12．已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_________．

13．已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．

14．曲线在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形面积为______．

15．若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出导数，确定斜率的取值范围，由此得倾斜角的范围．

详解：由题意，即切线斜率，而直线倾斜角在上，

因此倾斜角范围是．

故答案为：．

2．【答案】

【解析】分析：先研究函数的单调性，再讨论表示的直线与相切时参a的值，结合直线特征确定纵截距使得恒在直线上方，即求得参数的取值范围.

详解：令，则，

令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

又，则，

当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，

又，所以，

解得此时纵截距为，

故当纵截距时，可以使恒成立，即；

当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，

又，所以，

解得此时纵截距为，

故当纵截距时，可以使恒成立，即；

由已知对，都有，需.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于确定表示的直线与曲线相切时的临界状态下的纵截距，再结合截距变化确定何时恒在直线上方，即突破难点.

3．【答案】

【解析】分析：利用导数的定义计算即可.

详解：由导数的定义可知：，

所以.

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义进行解题即可.

详解：因为，所以，

又因为曲线在点处的切线的斜率为2，

根据导数的几何意义知：

所以.

故答案为：

【点睛】

导数的几何意义为切线的斜率是解决本题的关键.

5．【答案】

【解析】分析：利用切线与直线平行可得切线斜率，利用导数的几何意义构造方程可求得切点坐标，验证是否与平行后即可得到结果.

详解：设，

，，

在点处的切线平行于直线：，，即，

解得：，

当时，，则切线方程为，即，与重合，不合题意；

当时，，则切线方程为，即，与平行；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

易错点点睛：本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验，从而导致增解．

6．【答案】

【解析】分析：由求出，然后求出，算出，然后可算出答案.

详解：因为，所以，解得

所以，所以

所以

所以曲线在点处的切线方程为，即

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：求出导数，设出切点坐标，利用斜率和点的纵坐标列出两个方程，求解值即可.

详解：设曲线上切点坐标为，

因为，所以，解得，.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：利用切点和斜率求得切线方程.

详解：，即切点为，

，即斜率为，

所以切线方程为，即.

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：利用导数求出切线斜率，然后利用点斜式求解切线方程．

详解：将点代入成立，即点为切点．

因为，所以，

所以切线斜率．

所以切线方程为，

即．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：由点处的切线的斜率等于该点处的导数值，所以求出导数的取值范围，可得切线斜率的取值范围，进而可得倾斜角的取值范围

详解：解：由，得，

因为，所以，

设点处的切线的斜率为，则，

所以，

因为倾斜角的范围为，

所以，

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：先求出函数的导数，由导数的几何意义再求出切线的斜率和切点，最后由直线的点斜式方程求出切线方程即可．

详解：因为，所以，

又因为时，，所以切点为，

所以曲线在处的切线方程为：，

即.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：先用导数求出切线的方程，分析得直线的方程为，求出，表示出，用“设而不求法”表示出，从而求出的范围.

详解：设切点，由抛物线，

∴切线，

同理切线，

又点是两条切线的交点，所以.

所以直线的方程为，即.

此直线恒过，则.

，消去，得，

∴，

∴.

，即，

令，则，

即，解得，

，

即.

故答案为：.

【点睛】

在研究直线与抛物线的位置关系要注意：

（1）可以用导数求切线，有时可以简化运算；

（2）“设而不求法”是研究直线与二次曲线相交的一般方法.

13．【答案】3

【解析】分析：根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.

详解：由，可得．

因为，所以，即，则，

所以，．

故答案为：3.

14．【答案】8

【解析】分析：先求出切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，进而求三角形面积.

详解：由题意可得，则所求切线的斜率，从而所求切线方程为，即．令，得；令，得．则所求三角形的面积为．

故答案为：8

【点睛】

用导数求切线方程常见类型：

(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；

(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 ，再写出切线方程：.

15．【答案】；

【解析】分析：求出及，利用切线与直线垂直斜率乘积等于-1可得答案.

详解：由题意得，，所以，

因为切线与直线垂直，

所以，且，解得.

故答案为：．