高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推练习题

【特供】5.1.2 数列中的递推-1优质练习

一．填空题

1．已知数列满足，则______.

2．数列中，，，则______．

3．数列满足，，写出数列的通项公式__________．

4．已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________.

5．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1（n∈N），则a5=______.

6．已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.

7．如下图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列的前4项，则__________.

8．已知数列{an}的前项和为，，则数列的通项公式为_____________

9．数列的通项，则前10项的和______

10．已知数列满足，，，则该数列的通项公式 ____________

11．若集合至少含有两个元素（实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“成功集合”，已知集合，则的子集中共有__________个“成功集合”．

12．已知数列满足，，则的最小值为______.

13．已知，，，则_____．

14．已知数列，，且，则______．

15．已知数列的前项和为，，，，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】2020

【解析】因为，所以，

式子两端除以，整理得：，即为常数列.

因为，所以，所以，所以.故答案为：2020

2．【答案】0

【解析】利用数列的递推关系式，结合余弦函数的性质和列出数列的和，即可求解.

详解：由题意，数列中，，，

所以

．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数列求和问题，其中解答中根据数列的递推关系式，结合余弦函数的值求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

3．【答案】

【解析】因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此

点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

4．【答案】

【解析】分析：利用公式求解即可

详解：解：当时，，

当时，，

且当时，，

据此可得，数列的通项公式为：.

故答案为：.

5．【答案】31

【解析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.

详解：因为，,

所以，，，.

故答案为：31.

【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．【答案】(或其他合理)

【解析】分析：由四项找出共同的规律，可得通项公式

详解：解：，，，，故.

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：依题意可得，，且，再依次计算可得；

详解：解：依题意可知，，，，且

所以，

故答案为：

8．【答案】

【解析】利用数列中和之间的关系，即可求出数列的通项公式.

详解：当时，；

当时，，而.

故数列的通项公式为.

【点睛】

本题主要考查数列中和之间的关系，属于基础题.

9．【答案】5

【解析】利用的周期性求解即可.

详解：的周期，当时的值为1,0，-1,0,

则前10项的和，

故答案为：5

【点睛】

本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.

10．【答案】

【解析】变换得到，构造，利用累加法计算得到的通项公式，进而得到答案.

详解：，故，，

设，则，，

，故，

当时验证满足，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了求数列的通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用，构造数列是解题的关键.

11．【答案】49

【解析】分析：设集合的子集中有个成功集合，则，，当时得递推关系，进而根据递推关系得.

详解：设集合的子集中有个成功集合，则，．

对于时，可将满足要求的子集分为两类：

一类是含有的子集，去掉后剩下小于的单元素子集或满足要求的子集，前者有个，后者有个；

另一类是不含的子集，即满足要求的子集，有个．

于是，．

从而根据递推关系得：，，，，，．

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推关系问题，考查逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于设集合的子集中有个成功集合，则，，进而根据题意得递推关系，再计算即可.

12．【答案】6

【解析】分析：根据题意，利用叠加法求得，得到，结合基本不等式和，进行验证，即可求解.

详解：由题意，数列满足，，

可得

，则

，

当且仅当时，即时，等号成立，

又因为，当时，；

当时，，

所以的最小值为.

故答案为：6

13．【答案】

【解析】由递推公式可得数列具有周期性，且，则，进而求得即可.

详解：解：由题知，所以，

，所以数列具有周期性，且，

因为，则，

当时，，所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的周期性的应用，考查运算求解能力，属于基础题型.

14．【答案】

【解析】分析：首先根据题意得到，再根据求解即可.

详解：

.

故答案为：

15．【答案】4

【解析】分析：归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.

详解：由题得，

，

，

,

,

,

所以数列的周期为6，，

，

所以.

故答案为：4

【点睛】

关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期.