2021-2022学年浙江师范大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江师范大学附属中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知一集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．

【详解】，，

．

故选：D．

2．已知：，：，则是的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．既不充分也不必要 D．充分必要

【答案】B

【分析】求出命题对应的的取值范围，根据集合包含关系即可求出.

【详解】由可得，即，解得或，所以命题对应的的取值范围为，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知，则（    ）

A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值

【答案】B

【分析】利用基本不等式求最值即可．

【详解】，

，

当且仅当，即时取等号，

故最小值为3，无最大值．

故选：B．

4．已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（    ）

A．－ B． C．－ D．

【答案】B

【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b

【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数

∴有：b＝0，且a－1＝－2a

∴a＝

∴a＋b＝

故选：B

【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值

5．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（    ）

A．0 B．1或2 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据函数为幂函数列式，结合单调性求得的值．

【详解】由于函数为幂函数，

所以，解得或，

时，，在上递减，符合题意，

时，，在上递增，不符合题意．

故选：C

6．已知x，y为正实数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果.

【详解】A中，，故A不正确；

B中，，故B正确；

C中，，故C不正确；

D中，，故D不正确.

故选：B.

7．已知函数则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.

【详解】在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，

观察的区域，

由图象可知，在区间和上

，由此的解集.

故选：A

8．在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．

【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，

所以，即，

因为，

所以，解得，

则地疫苗的接种率至少为．

故选：A．

二、多选题

9．二次函数的图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】结合图象，根据二次函数的对称轴得出，可判断A选项；令，代入二次函数解析式即可判断B选项；令，代入二次函数解析式即可判断C选项；由二次函数图象的开口方向，可得出，，再令，得，即可判断D选项；进而得到答案.

【详解】解：二次函数的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，

根据对称轴，得，故A正确；

当时，，故B错误；

当时，，故C正确；

抛物线开口向下，则，，

当时，，故，故D正确.

故选：ACD.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】AB

【分析】根据充分条件，必要条件的定义及集合相等判断各个选项即可．

【详解】解：对于A，，

若，，则，此时不成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

对于B，或，

故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；

对于C，是点的集合，是实数的集合，两者不相等，故C错误；

对于D，或，

故“”是“”的必要不充分条件，D错误．

故选：AB．

11．若定义在上的减函数的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ）

A．

B．

C．不等式的解集为

D．

【答案】BCD

【分析】定义在上的减函数的图象关于点对称，可得为奇函数，且为减函数，再利用已知条件，结合函数的单调性，逐项判断即可求解．

【详解】定义在上的减函数的图象关于点对称，

将的图象向左平移两个单位即可得到函数的图象，

函数的图象关于点对称，即为奇函数，

，

，

，

，故B选项正确；

为减函数，

为减函数，

为减函数，

又，则，故A选项错误；

，且为减函数，

，解得，故C选项正确；

，

，

，故D选项正确．

故选：BCD．

12．已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由题设条件利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可．

【详解】，，且，

，

当且仅当时取“=”，

选项A正确；

又

，选项B正确；

，当且仅当时取“=”，

选项C不正确；

又，

当且仅当时取“=”，

选项D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．__________．

【答案】13

【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．

【详解】

．

故答案为：13．

14．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域．

【详解】解：函数的定义域为，，

∴，解得，

即函数的定义域为．

故答案为：．

15．已知函数（）为偶函数，则函数的值域为__________．

【答案】

【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．

【详解】解：函数（）是偶函数，

，

，易得，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以，

所以函数的值域为．

故答案为：．

16．已知，且，则的最小值为___________．

【答案】.

【分析】设，则动点在单位圆（第一象限弧）上，，所以表示，两点连线的斜率，由数形结合可得结果.

【详解】因为，，且，所以，令，，其中.

设，则动点在单位圆（第一象限弧）上，，如图所示.

所以，表示，两点连线的斜率.

由图可知，当连线与圆弧相切时，斜率最小.

此时，的倾斜角为，其斜率为，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：将求的最小值转化为求斜率的最小值，体现了数形结合的思想方法.

四、解答题

17．集合，．

(1)当，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合，当时，得出集合，进而利用交集定义求解即可；

（2）由可得，分两种情况，，分别列出关于的不等式，解之即可

【详解】(1)集合，

当时，；

所以；

(2)因为，所以；

①当时，，解得，此时；

②当时，应满足，

解得，此时；

综上所述，的取值范围是，

即的取值范围是．

18．已知

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）当，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由二次函数的性质：区间单调性及对称轴，即可求参数的取值范围；

（2）应用分类讨论的方法，讨论对称轴与区间的位置，求最值即可.

【详解】（1）由题意，在单调递减，且对称轴为，

∴，即，故.

（2）由题意得：开口向上且对称轴为，

①时，，

②时，，

③时，，

.

19．已知函数f（x）.

（1）判断并用定义证明函数f（x）在（﹣∞，1）上的单调性；

（2）若f（x）在[a，0]（a＜0）上的最大值与最小值之差为2，求a的值.

【答案】（1）f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，证明见解析（2）a＝﹣2

【分析】（1）函数单调递减，设x1＜x2＜1 ，计算f（x1）＞f（x2）得到证明.

（2）根据函数单调性代入数据计算得到答案.

【详解】（1）∵f（x）＝2在（﹣∞，1）上的单调递减，

设x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）0，

∴f（x1）＞f（x2），

故f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，

（2）由（1）可知f（x）在[a，0]上的单调递减，

故当x＝a时，函数取得最大值f（a）＝2；x＝0时，函数取得最小值f（0）＝﹣1，

因此21＝2，a＝﹣2.

【点睛】本题考查了函数单调性的证明，求函数最值，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.

20．已知是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求的解析式；

(2)若使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数的定义可求出时的解析式，即可得到答案；

（2）根据单调性定义证得在上单调递增，进而根据单调性与奇偶性将问题转化为，，再利用分离参变量的方法以及存在性问题转化为，，最后利用一元二次函数的性质求得最大值即可得到的取值范围．

【详解】(1)解：因为当时，，

所以，当，即时，则有，

因为是定义在上的奇函数，

所以，即，

则；

(2)解：当时，，设，则，

由，可得，，

则，即有，

所以在递增，且，

又为定义在上的奇函数，可得在上单调递增；

，

，

，，

，．

，．

令，．

由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，

所以，．

综上，的取值范围为．

21．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．

(Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

(Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．

【答案】（Ⅰ）有效治污的时间可达8天； （Ⅱ）的最小值为1

【详解】试题分析：（Ⅰ）先由可得在水中释放的浓度再分别分段求出水中药剂的浓度不低于4（克/升）时的天数，从而得出有效治污的时间可达8天；

（Ⅱ）先得出模型当时，，然后由基本不等式知，再由，解得，即的最小值为1 .

试题解析：（I）∵ ∴． 2分

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时． 4分

综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．6分

（II）当时，，9分

又 ， ，则．

当且仅当，即时取等号.

令，解得 ，故所求的最小值为1 ． 14分

【解析】1.函数模型的应用；2.基本不等式的应用

22．已知函数与函数，函数的定义域为．

(1)求的定义域和值域；

(2)若存在，使得成立，求的取值范围；

(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）

【答案】(1)，值域为；

(2)

(3)

【分析】（1）写出的解析式，求解即可；

（2）原问题可转化为．利用二次函数性质求解；

（3）设的对称中心为，则函数是奇函数，

即是奇函数，利用奇函数性质列式求解即可．

【详解】(1)由题意可得．

由，得，故．

又，且，

的值域为；

(2)，即，则．

存在，使得成立，

．

而，

当，即时，取得最小值，

故；

(3)设的对称中心为，

则函数是奇函数，

即是奇函数，

则恒成立，

恒成立，

所以恒成立，

所以，

因为上式对任意实数恒成立，

所以，得，

所以函数图象的对称中心为．

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数值域和定义域的计算，考查了不等式恒成立以及对称关系的应用，第（3）问解题的关键是根据题意设的对称中心为，则函数是奇函数，然后列等式求解即可，属于较难题．