2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一上学期12月阶段性测试数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一上学期12月阶段性测试数学试题

一、单选题

1．设集合， ， ，则

A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}

【答案】D

【分析】先求，再求．

【详解】因为，

所以.

故选D．

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

2．函数的图象恒过定点（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数的图象过定点及函数图象变换求解即可.

【详解】解：因为指数函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位即可得到函数的图象，指数函数过定点，

所以函数的图象恒过定点.

故选：B

3．已知，那么用表示是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数与对数的关系及对数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以

所以==，

故选：A．

4．已知角的终边经过点，那么（       ）

A．-2 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据三角函数终边上点的定义求解即可.

【详解】解：因为角的终边经过点，

所以，

所以.

故选：C

5．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、幂函数和对数函数的单调性，结合临界值和可确定的大致范围，从而得到结果.

【详解】，即

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数和对数函数单调性比较大小的问题，解决此类题的常用方法是利用临界值来确定所比较数字的大致范围.

6．已知，，若，则

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】A

【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.

【详解】由题意，可知，，且，

因为，则，即，

所以，

当且仅当时，等号成立，取得最小值，

故选A．

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的定义域，特定区间的函数值，结合选项得到答案．

【详解】解：函数的定义域为，，故函数为奇函数，

因为，故当时，，当，，

所以结合各选项中的图象可得C是正确的.

故选：C.

8．关于x的不等式对任意的恒成立，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，利用基本不等式得到的范围，把问题转化为对任意的恒成立，也即对任意的恒成立，所以只需，即可求出结果.

【详解】关于x的不等式对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，当且仅当时取等号；

则对任意的恒成立，

也即对任意的恒成立，

所以只需，

所以，

即．

故选：B．

【点睛】关键点睛：令，利用基本不等式得到的范围，把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键.

二、多选题

9．下列说法正确的有（       ）

A．不等式的解集是

B．“，”是“”成立的充分不必要条件

C．命题：，，则：，

D．

【答案】AB

【分析】解分式不等式可知A正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B正确；含有全称量词命题得否定，，故C错误；结合指数幂的运算求解判断D选项.

【详解】解：对于A选项，由，即，，A正确；

对于B选项，时一定有，但时不一定有成立,因此“”是“”成立的充分不必要条件，B正确；

对于C选项，命题，则，C错误；

对于D选项，，故错误.

故选：AB．

10．已知幂函数的图象经过点.则（　　）

A．的定义域为 B．的值域为

C．是偶函数 D．的单调增区间为

【答案】ABD

【解析】先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.

【详解】因为为幂函数，故，所以，故，

故，

所以函数的定义域为，值域为，单调增区间为，

且不是偶函数，

故选：ABD.

11．下列结论中正确的是（       ）

A．终边经过点的角的集合是；

B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；

C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；

D．，，则

【答案】ABD

【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.

【详解】A.终边经过点的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是，所以A正确；

B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为，对应弧度数是，所以B正确；

C.因为是第三象限角，即，所以，当为奇数时，是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；，所以的终边位置在第一或第二象限或轴非负半轴，所以C错误；

D. ，

，易知，所以D正确；

故选：ABD.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（       ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

【答案】BC

【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.

【详解】根据题意知，.

∵，

，

，

∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；

，

∴是奇函数，B正确；

在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；

，，，

，，D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.

三、填空题

13．计算：_____.

【答案】8

【分析】根据指数、对数的运算性质进行计算即可.

【详解】

故答案为：8．

14．若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】令，根据题意，由求解.

【详解】令，

因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，

所以，解得，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

15．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”.设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由题可得：在上有解，即可转化为： 在上有解，且在上恒成立，转化为的值域且，问题得解

【详解】解：由函数为“函数”的定义可得：在上有解.

即：在上有解

则在上有解，且在上恒成立

即：在上有解，且在上恒成立

记，由于函数在上均单调递增，

所以在上单调递增，且

所以

所以，即：，解得：

又在上恒成立，由对勾函数性质得在上单调递增，

所以，解得：

综上所述：实数的取值范围是

故答案为:

四、双空题

16．已知，则____________；___________.

【答案】          -0.1

【分析】结合，将所求式子化弦为切后再将代入即可求解

【详解】解：，

，

故答案为：；

五、解答题

17．已知半径为6的圆中，弦的长为6.

(1)求弦所对圆心角的大小；

(2)求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据三角形形状得圆心角的大小；（2）根据扇形的弧长以及面积公式求解.

【详解】(1)解：半径为6的圆中，弦的长为6，

所以三角形为正三角形，

所以弦所对圆心角为，

(2)解：由弧长公式得：

扇形的面积

又，

所以，即弧所在的弓形的面积.

18．已知函数的定义域为集合，集合.

（1）当时，求；

（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）先求得集合A，当时，可求得集合B，根据并集的运算法则，即可求得答案；

（2）根据题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系，即可求得答案.

【详解】由题意得：，所以集合，

（1）当时，集合，

所以.

（2）若是的必要条件，则，

当时，，解得，符合题意，

当时，则，解得，

综上的取值范围为

【点睛】易错点点睛：当出现，即B集合为小范围，且B集合含有参数时，需讨论B集合是否为空集，再进行求解，考查分析理解的能力，属基础题.

19．已知，.

(1)求角的集合：

(2)求角的终边所在的象限；

(3)试判断的符号.

【答案】(1)

(2)第二、四象限

(3)正号

【分析】（1）根据条件判断出所在象限，即可写出α的集合；

（2）由（1）求出范围，即可判断象限；

（3）根据的象限即可判断函数值正负.

【详解】(1)由，知在第三、四象限或y轴的负半轴上，

由，知在第二、四象限，故角在第四象限，

其集合为；

(2)由（1）知，

故，

故的终边在第二、四象限；

(3)当在第二象限时，，

，，

所以，

当在第四象限时，，

，，

所以，

综上，取正号.

20．已知函数为偶函数，为奇函数，且.

(1)求函数和的解析式；

(2)若在恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据函数为偶函数，为奇函数，结合求解；

（2）将在恒成立，转化为在恒成立求解.

【详解】(1)解：因为函数为偶函数，为奇函数，

所以，

又，则，

即，

两式联立解得；

(2)由（1）知：，

因为在恒成立，

所以在恒成立，

令，则，

由对勾函数的性质得函数y在上递增，

所以，

所以，

所以实数的取值范围.

21．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%．

（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？

（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？

【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到万元

【解析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；

（2）由，解不等式即可.

【详解】（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数，

在且对，恒有且．

①对于函数，当时，，不符合要求；

②对于函数为减函数，不符合要求；

③对于函数在，

显然为增函数，且当时， ；

又因为；

而，所以当时，．

所以恒成立；

因此，为满足条件的函数模型．

（2）由得：，所以，

所以公司的投资收益至少要达到万元．

【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力.

22．已知函数且.

(Ⅰ) 若1是关于x的方程的一个解，求t的值；

(Ⅱ) 当且时，解不等式；

(Ⅲ)若函数在区间（-1,2]上有零点，求t的取值范围.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ)或

【详解】试题分析：（Ⅰ）由，即可求得的值；

(Ⅱ)当时，当时，即，利用对数函数的单调性可得真数间的大小关系，注意对数函数的定义域；

(Ⅲ)分情况讨论：若，则在上没有零点，当时，分在内有重根，则△=0,解得的值；在上只有一个零点，且不是方程的重根时；在上有两个相异实根三种情况，根据函数零点判定定理可得不等式，解出即可；

试题解析：（Ⅰ）∵若1是关于的方程的解，，又.

(Ⅱ)时，，又，∴解集为：；

（Ⅲ）若，则在上没有零点.下面就时分三种情况讨论：方程在上有重根，则，解得；①

在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有，解得，又经检验：时，在上都有零点，.②;在上有两个相异实根，则有：

或，解得，③;综合①②③可知的取值范围为或

【解析】函数的零点.不等式的解法

【名师点睛】

本题考查函数零点判定定理、对数不等式的解法，属中档题，解对数不等式要注意考虑对数函数定义域．分情况讨论时要注意分类标准，做到不重不漏.