北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题练习

【精品】7.2 实际问题中的最值问题-1课堂练习

一．填空题

1．当时，恒成立，则实数的取值范围是______________.

2．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是________.

3．已知函数，下列命题：

①为偶函数；②的最大值为2；

③在内的零点个数为18；

④的任何一个极大值都大于1.

其中所有正确命题的序号是_____．

4．已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为_________.

5．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______.

6．若函数在区间内有且仅有1个极值点，则实数的取值范围为______.

7．如图，内接于抛物线的矩形，其中，在抛物线上运动，，在轴上运动，则此矩形的面积的最大值是______.

8．函数的最大值是______________.

9．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是______.

10．若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是_________.

11．已知函数的定义域为R，为的导函数，若对任意，都有成立，且，则不等式的解集为________．

12．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=__________.

13．已知函数（）在不同的两点，处的切线的斜率相等，若不等式（）恒成立，则实数m的取值范围是_______________.

14．函数在上递减，则实数的取值范围是_____.

15．半径为2的球内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为______.

16．已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围为_________．

17．已知函数，若恒成立，则的取值范围为______.

18．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围.

详解：由题意，设，

则，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又由，即，

即函数在区间的最大值为2，

又由当时，恒成立，所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】由于，由题意得关于的方程的两个相异实数根，由此可求得，再将转化为结合韦达定理即可求得的取值范围.

详解：因为，

所以，

又因为函数存在不相等的两个“点”和，

所以，是关于的方程的两个相异实数根．

所以，

又，，

所以，即，

从而，

因为，所以，

即，所以，

因为，

所以

，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思想的应用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题.

3．【答案】①②④

【解析】由于函数，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性．最值．对称性和极值，从而可判断命题的真假．

详解：解：对于①，函数，定义域为，且满足，

所以函数为偶函数，故①正确；

对于②，因为，，所以，

又因为，即当时，取得最大值为2，故②正确；

对于③，的图象如图所示，可知在内有10个零点，

由①可知为偶函数，其零点关于原点对称，

所以在内的零点个数为20，所以③错误；

对于④，由于是偶函数，则只需考虑的情况，

此时，则，

由和的图象可知，

在每一个区间上，时，有2个解，

且当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

而，所以得极大值为，

所以的任何一个极大值都大于1，故④正确.

综上知，正确的命题序号是①②④．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了函数的图象与性质的应用问题，涉及函数的奇偶性．最值．对称性．极值和零点，也考查了推理与判断能力，是中档题．

4．【答案】

【解析】求得函数的导数，把函数有2个极值点，所以有两个不相等的实数根，构造新函数，求得函数的单调性与极值，列出不等式，即可求解.

详解：由题意，函数的定义域为，

则，

因为函数有2个极值点，所以有两个不相等的实数根，

令，则，

若时，，所以函数单调递增，

所以函数在上不可能有两个实数根，（舍去）；

若时，令，即，解得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以当时，函数求得极大值，极大值为，

又由时，，时，，

要使得在区间有两个不相等的实数根，

则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中把函数有两个极值点，转化为有两个不相等的实数根是解答的关键，着重考查了等价转化思想，以及推理与运算能力.

5．【答案】

【解析】当时，，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由时，，作出函数的大致图象，令，将问题转化为方程有两个不等根，且即各有3个根求解.

详解：当时，，

所以，当时，，递增，

当时，，递减，

所以当时， 取得最大值1，

又当时，，

所以的大致图象如图所示：

令，则转化为方程有两个不等根，

且各有3个根，

方程在有两个不同的解，

设，所以，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想．数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】由已知将问题转化为在区间内有1个变号零点，即在区间内有1个变号解，令，运用导函数分析函数的单调性，得出函数的图像的趋势，可得出实数的取值范围.

详解：若函数在区间内有有且仅有1个极值点，

则在区间内有1个变号零点，

即在区间内有1个变号解，

令，则，所以当时，，函数单调递减；

当，，函数单调递增，

又当时，，且，当时，，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由函数的极值点的个数求参数的范围的问题，关键在于构造函数，分析其单调性，运用数形结合的思想，属于难题.

7．【答案】

【解析】构造矩形面积的函数，利用导数求解函数的最大值，即为所求.

详解：设，则点的坐标为，点的坐标为，

∴矩形的面积，.

由，得（舍），，

∴时，，单调递增，

时，，单调递减，

故当时，取最大值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最大值，涉及构造函数，属综合中档题.

8．【答案】

【解析】通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.

详解：，

当，，所以在上单调递增；

当，，所以在上单调递减；

所以.

【点睛】

一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

9．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，分类讨论，当，在上单调递增，不满足条件；当时，判断函数的单调性求出最大值，证明函数在上有一个零点，在上有一个零点即可求得a的取值范围.

详解：函数的定义域为，，

①若，则，所以在上单调递增，在不可能有两个零点；

②若，由得，

当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，

所以函数在处有最大值，

设，，所以在定义域上为减函数，

又，所以当时，，

此时，所以在上有一个零点，

设，

设，

当时，，所以在上为减函数，

又，所以当时，，则为减函数，

又因为，所以当时，恒成立，

因为，所以，即，

所以在上有一个零点，

综上所述，a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数在研究函数的性质中的应用．利用导数研究函数的零点，属于较难题.

10．【答案】

【解析】分析：根据函数在区间上是单调增函数，转化为导数不小于0在区间上恒成立，分离参数，利用函数最值求解.

详解：，

函数在区间上是单调增函数，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

由(),

所以，

即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题，二次函数最值，转化思想，属于中档题.

11．【答案】

【解析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.

详解：设，

则，

又，，即

所以，函数在R上单调递减，

又，

不等式，即，

所以，所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了构造函数，判断函数的单调性解不等式，属于基础题.

12．【答案】0

【解析】分析：由题意对已知函数进行二次求导，得出函数关于点中心对称，即，有次即可得到结果.

详解：由可得，，令解得，，由题意可得函数关于点中心对称，所以，所以

.

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查导函数的求法，以及中心对称问题，解题的关键是找出中心对称的对称中心，考查学生的综合分析能力.

13．【答案】

【解析】求出（），将问题转化为，为（c为常数）的两个不等实根，利用韦达定理可得，只需（）恒成立，令，利用导数求出的最小值即可.

详解：由题得（），

由已知得，为（c为常数）的两个不等实根，

所以，

∵恒成立，

∴（）恒成立.

令（），

则，

当，，当，；

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，

∴，∴.故实数m的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．利用导数求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立，属于中档题.

14．【答案】

【解析】求出函数的导数，由函数在上递减，故在上恒成立，即可求出参数的取值范围；

详解：解：因为的定义域为，

又因为在上递减，故在上恒成立，

在上恒成立，

因为在上单调递减，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

15．【答案】

【解析】分析：画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的体积公式，利用求它的导数和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高．

详解：解：设圆锥的高是，过球心的一个轴截面如图：

则圆锥的底面半径，

圆锥的体积，

，由解得，，

由导数的性质知，当时，圆锥的体积最大．最大值为：．

故答案为：．

【点睛】

本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力．

16．【答案】

【解析】由题意知f ′(x)＝x＋2a？≥0在上恒成立，即2a≥？x＋在上恒成立，

∵＝，∴2a≥，即a≥.

17．【答案】

【解析】分析：求函数的导数，根据，利用参数分离法进行转化，然后构造函数，转化为求函数的最值即可．

详解：解：函数的导数，

由在上恒成立得在上恒成立，

即，

得在上恒成立，

设，

则，

当时，恒成立，即在上是增函数，

则当时，取得最小值，

则，

即实数的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．

18．【答案】

【解析】因为，所以，

因为函数在上为增函数，

所以对恒成立，

即对恒成立，从而.

故答案为：