实数运算及因式分解专题（可用于中考 含答案）

这是一份实数运算及因式分解专题（可用于中考 含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

实数运算及因式分解.



一、选择题
1．A、B、C、D均为单项式，则A+B+C+D为( )．
A．单项式 B．多项式
C．单项式或多项式 D．以上都不对
2．下列计算正确的个数 （ ）
① ；② ； ③ ；
④ ； ⑤
A．2 B．1 C．4 D．0
3．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b，其中a，b为有理数，则3 * 5的值为( )．
A．11 B．12 C．13 D．14
4．化简(n为正整数)的结果为( )．
A．0 B．-2a C．2a D．2a或-2a
5．已知a-b＝-3，c+d＝2，则(b+c)-(a-d)为( )．
A．-1 B．-5 C．5 D．1
6. 有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则 （ ）
A．－2b B．0
C．2c D．2c－2b
7．（•临沂）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…
按照上述规律，第2015个单项式是（　　）
　 A．2015x2015 B． 4029x2014 C． 4029x2015 D． 4031x2015
8．如果是关于的二次三项式，那么m，n应满足的条件是( )．
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠-1，n为大于3的整数 D．m≠-1，n＝5
二、填空题
9．（•大丰市一模）若﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，则m+n=　 　．
10． （1）（___________）；
（2）2a－3（b－c）＝___________．
（3）(________)＝7x+8．
11．当b＝________时，式子2a+ab-5的值与a无关．
12．若，则________．
13.某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第二天比第一天多12件，第三天是第一天的2倍，则该服装店这三天共卖出服装________件.
14.当k=__________时，多项式x2－3kxy－3y2－xy－8中不含xy项.
15．（•河北）若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10=　 　．
16．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
…






三、解答题
17.（春•高密市校级月考）先化简，再求值．
（a2+1）﹣3a（a﹣1）+2（a2+a﹣1），其中a=﹣1．
18．已知：为有理数，，求的值．
19. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中，GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
（1）用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
（2）若x=2cm，求长方形ABCD的面积.





20. 测得一弹簧的长度L(厘米)与悬挂物体的质量x(千克)有下面一组对应值：

试根据表中各对对应值解答下列问题：
(1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L．
(2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？
(3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？
(4)若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？


【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】若A、B、C、D均为同类项，则A、B、C、D的和为单项式，否则为多项式，故选C．
2．【答案】D
3. 【答案】C
【解析】按规定的运算得：3*5＝3×5+3-5＝13．
4. 【答案】A
【解析】分析两种情况，当n为偶数时，，，当n为奇数时，，，无论哪种情况，结果都是0．
5．【答案】C
【解析】(b+c)-(a-d)＝b+c-a+d＝-a+b+c+d＝-(a-b)+(c+d)
当a-b＝-3，c+d＝2时，原式＝-(-3)+2＝5，所以选C．
6．【答案】B
7. 【答案】C．
8．【答案】D
【解析】由题意得：n-3＝2且m+1≠0，得n＝5且m≠-1．
二、填空题
9.【答案】﹣1．
【解析】由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得，解得．m+n=﹣1.
10.【答案】
11.【答案】-2
【解析】2a+ab-5＝(2+b)a-5．因为式子的值与a无关，故2+b＝0，所以b＝-2．
12.【答案】-24
【解析】因为与互为相反数，又因为，
所以，由此可得．
13.【答案】4a+12；
【解析】．
14.【答案】－；
【解析】，解得．
15．【答案】1；
【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10，
把mn=m+3代入得：原式=﹣3m﹣9+3m+10=1，
故答案为：1.
16.【答案】127, .
【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子，
第2个比第1个多12个，即1+6×（1+2）枚，
第3个比第2个多18个，即1+6×（1+2+3）枚，
第4个比第三个多24个，即1+6×（1+2+3+4）=61枚．
……, ∴第n个比第(n-1)个多6n个，即1+6×（1+2+3+4+…+n）=3n2+3n+1枚．
三、解答题
17.【解析】
解：原式= a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1，
当a=﹣1时，
原式=﹣5﹣1=﹣6．
18.【解析】
解：


19.【解析】
解：（1） （或）.
（2）长方形的长为：cm, 宽为：cm. 所以长方形的面积为：.
20.【解析】
解：(1).
(2)将，代入，得（㎝）
∴所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17㎝.
(3)将，代入，得，解得
∴若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为12千克.
(4)∵弹簧的长度不超过20厘米，即L≤20，
∴≤20，得≤16
∴若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过16千克.

中考专练

1．下列运算正确的是
A．x6÷x3=x2 B．（-x3）2=x6
C．4x3+3x3=7x6 D．（x+y）2=x2+y2
2．下列运算正确的是
A．3x+2x=5x2 B．3x-2x=x
C．3x·2x=6x D．3x÷2x
3．若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为
A．4 B．8
C．±4 D．±8
4．如果3ab2m-1与9abm+1是同类项，那么m等于
A．2 B．1
C．-1 D．0
5．当m=-1时，代数式2m+3的值是
A．-1 B．0
C．1 D．2
6．计算2a-3a，结果正确的是
A．-1 B．1
C．-a D．a
7．单项式-5ab的系数是
A．5 B．-5
C．2 D．-2
8．化简（9x-3）-2（x+1）的结果是
A．2x-2 B．x+1
C．5x+3 D．x-3
9．计算下列代数式，结果为x5的是
A．x2+x3 B．x·x5
C．x6-x D．2x5-x5
10．下列运算正确的是
A．2x2y+3xy=5x3y2 B．（-2ab2）3=-6a3b6
C．（3a+b）2=9a2+b2 D．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2
11．下列因式分解正确的是
A．x2-x=x（x+1） B．a2-3a-4=（a+4）（a-1）
C．a2+2ab-b2=（a-b）2 D．x2-y2=（x+y）（x-y）
12．因式分解：ab-7a=__________．
13．若x2+x=1，则3x4+3x3+3x+1的值为__________．
14．分解因式（a-b）2+4ab的结果是__________．
15．因式分解：x3-2x2y+xy2=__________．
16．计算：（-m3）2÷m4=__________．
17．若a+b=5，a-b=3，则a2-b2=__________．
18．若3m=9n=2．则3m+2n=__________．
19．合并同类项：4a2+6a2-a2=__________．
20．单项式x-|a-1|y与2xy是同类项，则ab=__________．
21．化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．
22．先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a+4），其中a．








23．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．







24．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②-①得2S-S=S=22019-1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．




1．【答案】C
【解析】把m=–1代入代数式2m+3中，得2m+3=2×（–1）+3=1．故选C．
2．【答案】C
【解析】A．正确的格式为：，即A项不合题意，
B．正确的格式为：5a，即B项不合题意，
C．符合代数式的书写格式，即C项符合题意，
D．正确的格式为：，即D项不合题意，
故选C．
【名师点睛】本题考查了代数式，正确掌握代数式的书写格式是解题的关键．
3．【答案】A
【解析】与都是三次多项式，只有A是三次多项式，故选A．
4．【答案】C
【解析】A、2a2b与-2b2a不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、πa2b的系数是π，次数是3次，此选项错误；
C、2x2y-3y2-1是三次三项式，此选项正确；
D、x2y3与﹣不是同类项，此选项错误；
故选C．
5．【答案】C
【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…
∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，
∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，
∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．
【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．
6．【答案】
【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴an=，故答案为：．
【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
7．【答案】A
【解析】当有1个黑色纸片时，有4个白色纸片；
当有2个黑色纸片时，有个白色纸片；
当有3个黑色纸片时，有个白色纸片；
以此类推，当有个黑色纸片时，有个白色纸片.
当时，化简得，解得.故选A.
故选C．
8．【答案】A
【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒，
拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒，
拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒，
拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒，
…
拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.
当n=6时，n2+3n=62+3×6=54.
故选A.
【名师点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的关系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.
9．【答案】B
【解析】A、不是同类项不能合并，故此选项错误；
B、a3·a4=a3+4=a7，故此选项正确；
C、不是同类项不能合并，故此选项错误；
D、a3÷a4=a3–4=a–1=，故此选项错误．
故选B．
【名师点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键．
10．【解析】（1）①；
②；
（2）；
（3）∵，
∴2＋p＋5＝2018，
解得：p＝2011．
【名师点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法，正确理解材料中同底数幂乘法的运算性质是解题的关键．
11．【答案】B
【解析】∵长方形的周长为，
∴相邻的两边的和是,
∵一边长为，
∴另一边长为，
故选B.
【名师点睛】由长方形的周长=（长+宽）×2，可求出相邻的两边的和是3a+4b,再用3a+4b减去2a＋3b，即可求出另一边的长.
12．【答案】A
【解析】∵与的和是，∴与是同类项，∴，
∴.故选A.
13．【解析】原式=x3+ax2+bx+3x2+3ax+3b
=x3+ax2+3x2+3ax+bx+3b
=x3+（a+3）x2+（3a+b）x+3b，
由题意可知：a+3=0，3a+b=0，
解得a=–3，b=9．
14．【答案】D
【解析】A．原式=（x+3）（x–3），选项错误；
B．原式=（3x+2y）（3x–2y），选项错误；
C．原式=（x–）2，选项错误；
D．原式=–（x2+4xy+4y2）=–（x+2y）2，选项正确．
故选D．
15．【答案】(a+4)(a-2)
【解析】=.
16．【答案】C
【解析】a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
直通中考

1．【答案】B
【解析】∵x6÷x3=x3，∴选项A不符合题意；
∵（-x3）2=x6，∴选项B符合题意；
∵4x3+3x3=7x3，∴选项C不符合题意；
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴选项D不符合题意．故选B．
【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．
2．【答案】B
【解析】A．原式=5x，故A错误；C．原式=6x2，故C错误；D．原式，故D错误，故选B．
【名师点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．【答案】D
【解析】由8xmy与6x3yn的和是单项式，得m=3，n=1．
（m+n）3=（3+1）3=64，64的平方根为±8．故选D．
【名师点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
4．【答案】A
【解析】根据题意可得：2m-1=m+1，解得m=2，故选A．
【名师点睛】此题考查同类项问题，关键是根据同类项的定义得出m的方程．
5．【答案】C
【解析】将m=-1代入2m+3=2×（-1）+3=1，故选C．
【名师点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．
6．【答案】C
【解析】2a-3a=-a，故选C．
【名师点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．
7．【答案】B
【解析】单项式-5ab的系数是-5，故选B．
【名师点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
8．【答案】D
【解析】原式=3x-1-2x-2=x-3，故选D．
【名师点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．【答案】D
【解析】A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；
B、x·x5=x6，故选项B不合题意；
C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；
D、2x5-x5=x5，故选项D符合题意．故选D．
【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变．
10．【答案】D
【解析】A．2x2y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B．（-2ab2）3=-8a3b6，故选项B不合题意；
C．（3a+b）2=9a2+6ab+b2，故选项C不合题意；
D．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2，故选项D符合题意．故选D．
【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．
11．【答案】D
【解析】A、原式=x（x-1），错误；B、原式=（a-4）（a+1），错误；
C、a2+2ab-b2，不能分解因式，错误；D、原式=（x+y）（x-y），正确．故选D．
【名师点睛】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【答案】a（b-7）
【解析】原式=a（b-7），故答案为：a（b-7）．
【名师点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
13．【答案】4
【解析】∵x2+x=1，∴3x4+3x3+3x+1=3x2（x2+x）+3x+1=3x2+3x+1=3（x2+x）+1=3+1=4，故答案为：4．
【名师点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
14．【答案】（a+b）2
【解析】（a-b）2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=（a+b）2．故答案为：（a+b）2．
【名师点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15．【答案】x（x-y）2
【解析】原式=x（x2-2xy+y2）=x（x-y）2，故答案为：x（x-y）2．
【名师点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．【答案】m2
【解析】（-m3）2÷m4=m6÷m4=m2．故答案为：m2．
【名师点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．【答案】15
【解析】∵a+b=5，a-b=3，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=5×3=15，故答案为：15．
【名师点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
18．【答案】4
【解析】∵3m=32n=2，∴3m+2n=3m·32n=2×2=4，故答案为：4．
【名师点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．
19．【答案】9a2
【解析】原式=a2（4+6-1）=9a2，故答案为：9a2．
【名师点睛】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
20．【答案】1
【解析】由题意知-|a-1|0，∴a=1，b=1，则ab=（1）1=1，故答案为：1．
【名师点睛】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
21．【解析】原式=a-2a2+2（a2-1）
=a-2a2+2a2-2
=a-2．
【名师点睛】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．
22．【解析】原式=a2+6a+9-（a2-1）-4a-8
=2a+2．
将a代入原式=2×（）+2=1．
【名师点睛】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变．
23．【解析】（1）第6个等式为：，故答案为：．
（2），
证明：∵右边==左边．
∴等式成立，
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．
24．【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②-①得2S-S=S=210-1，
∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②-①得2S=311-1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=，
故答案为：．
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+an=．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．