微专题 二项式系数和与系数和 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 二项式系数和与系数和 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共22页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：二项式系数和与系数和
【考点梳理】
1.二项式系数的性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C__得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T＋1的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2. ①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.



【典例剖析】
典例1．在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为（       ）
A． B． C． D．
典例2．设，若，则展开式中系数最大的项是（       ）
A． B． C． D．
典例3．若二项式的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含项的系数是（       ）
A．120 B．320 C．100 D．300
典例4．若，且，则实数的值可以为（       ）
A．1或 B． C．或3 D．
典例5．已知，则（       ）
A． B． C． D．

【双基达标】
6．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（       ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
7．已知，若，则（       ）
A．992 B．－32 C．－33 D．496
8．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（       ）
A．299 B． C．300 D．
9．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（       ）
A． B． C． D．
10．若，则的值是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设若，则展开式中二项式系数最大的项是（       ）
A． B． C． D．
12．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（       ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
13．若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是（       ）
A．240 B．－240 C．160 D．－160
14．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（       ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
15．若的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（       ）
A．729 B．64 C．1 D．
16．的展开式中所有不含的项的系数之和为（       ）
A． B． C．10 D．64
17．已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（       ）
A． B． C． D．
18．已知，则（       ）
A． B．
C． D．
19．已知，则（       ）
A．256 B．255 C．512 D．511
20．若，则=（     ）
A．244 B．1 C． D．
21．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于（       ）
A．32 B．64
C．128 D．256
22．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（       ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
23．若，则（       ）
A．40 B．41 C． D．
24．若，则的值为（       ）
A．1 B．-1 C．1023 D．1024
25．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（       ）
A．1 B．243 C．121 D．122

【高分突破】
一、 单选题
26．如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（       ）

A．256 B．512 C．1024 D．1023
27．若（），则（       ）
A． B． C． D．
28．已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（       ）
A．-84 B．-14 C．14 D．84
29．已知，若，则自然数（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3
30．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（       ）
A．10 B．20 C．30 D．120
31．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（       ）
A． B． C． D．
32．如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是（       ）
A．90 B．80 C．-90 D．-92

二、多选题
33．的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．展开式中常数项为3
C．展开式中的系数为30 D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
34．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
35．若，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
36．关于的说法，正确的是
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
37．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（       ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
38．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（     ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若为偶数，则展开式中和的系数相等

三、填空题
39．若 ，则的值 ___________________.
40．若，则_______．
41．若，，则___________.
42．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则该二项式展开式中含有项的系数为__________．
43．若，则_____.
44．设．若，则实数________．

四、解答题
45．已知（）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是.
(1)求二项式系数之和；
(2)求展开式中各项系数的和；
(3)求展开式中含的项.
46．的展开式一共有16项.
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）求展开式中的常数项.
47．已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
48．设.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
49．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
50．已知的展开式中二项式系数和为16．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求．

参考答案
1．A
【分析】根据二项式系数的和为，可得，再利用展开式的通项，即可得解．
【详解】二项式系数的和为，所以，展开式的通项为，令，则，
所以的系数为．
故选：A
2．B
【分析】利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【详解】因为，所以当时，可得；
当时，可得．
又，所以，得，
所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,
故选：B
3．B
【分析】根据各项系数和，采用赋值法可求得，由此可得展开式的通项，进而得到答案
【详解】解：对，令，得，解得，
二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故展开式中含项的系数为，
故选：B.
4．A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
5．D
【分析】令，则，
令，得；令，可得；令，可得，进而可得结果.
【详解】令，则，
令，则．
令，则，
令，则，
所以，
所以．
故选：D.
6．A
【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出n=10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a= -1,用通项公式求出的项的系数.
【详解】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在的展开式有11项，即n=10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为.
故选：A
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
7．D
【分析】先由求得，再通过赋值法令和求得即可.
【详解】由题意知：，则，解得；令，则，
令，则，两式相加得，则.
故选：D.
8．A
【分析】先，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.
【详解】令，得.
所以的展开式中所有项的系数和为 .
由可以看成是5个因式相乘.
要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.
故选：A
9．A
【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
【详解】由题知，由组合数性质解得n＝8，
∴＝
令x＝1，得展开式各项系数之和为，
故选：A﹒
10．A
【分析】分别把与代入题干所给的式子中，再求出的系数，即可得到答案.
【详解】令，得；
令，得；
展开式中的系数为2，故.
所以.
故选：A.
11．C
【分析】根据已知条件先求解出的值，然后根据二项式系数和求解出的值，从而确定出二项式系数的最大值及其对应的项.
【详解】由题可知，，
当时，，
的展开式中，通项为：，
则常数项对应的系数为：，即，得，
所以，解得：，
则展开式中二项式系数最大为：，
则二项式系数最大的项为：
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于的值的求解以及二项式系数最大值的确定；注意：当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
12．B
【分析】首先利用二项式系数公式求，再将展开成，再分别求常数项.
【详解】由条件可知，，所以，
则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是.
故选：B
13．A
【分析】根据二项式系数和公式可求得，再由二项定理展开式的通项求得常数项.
【详解】由二项式定理性质可知，二项式系数和为，
所以，
根据二项展开式的通项公式为 ，
令，则，
所以展开式中的常数项为240.
故选：A.
14．D
【分析】由题设知，即可求a，再写出展开式通项，即可求其常数项.
【详解】令知：展开式中各项系数和为，
由题设有，即，
∴该展开式中常数项为，
故选：D．
15．C
【分析】先利用通项公式写出第3项，解出，再令，求出各项系数的和.
【详解】因为为常数项，所以，所以．令，得展开式的各项系数和为．
故选：C．
16．A
【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可.
【详解】在的展开式中，通项公式为
若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项.
令，得这些项的系数之和为
故选：
17．A
【分析】由题意可得，即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：，
故选：A.
18．B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.
【详解】依题意，，
当时，，
于是得

.
故选：B
19．D
【分析】令，求得，再分别令和，两式相加，从而可得出答案.
【详解】解：令，①，
令，②，
①+②得：，
∴，
令，，
∴.
故选：D．
20．D
【分析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.
【详解】根据，
令时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得，，所以.
故选：D.
21．D
【分析】根据二项式系数的性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】由题意可知：，，
令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．
故选：D
22．B
【解析】由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
23．B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.

24．C
【分析】利用赋值法求解，先令，求出，再令，求出，从而可求得答案
【详解】解：令，则，
令，则，
所以，
故选：C
25．B
【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.
【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
故选：B.
【点睛】方法点睛：对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
26．B
【分析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.
【详解】由图知，第10行的所有数字之和为，
由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为．
故选：B
27．B
【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.
【详解】令，则，再令，则，
∴.
故选：B.
28．A
【解析】根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含项的系数.
【详解】因为二项式的系数之和等于128，
所以，解得，
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为，
故选：A
【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
29．B
【分析】赋值法可得方程进而求解,
【详解】令，得，
令，得，
所以，.
故选：B.
30．B
【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】根据题意可得，解得，
则展开式的通项为，
令，得，
所以常数项为：.
故选：B.
31．A
【分析】令，根据题意求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得结果.
【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为，
故令，则，解得，
对二项式，其展开式的通项公式，
又其展开式中二项式系数最大的项为第项，
故令，则.
故选：.
32．C
【解析】根据条件求出，然后写出其通项公式，然后可算出答案.
【详解】令，得展开式中各项系数之和为.由，得，
通项公式为，
令，得，所以的系数是
故选：C
33．ABD
【分析】设，分别令和，两式相加减，即可判定A、D正确；令，可判定B正确，结合二项展开式的系数求法，可判定C不正确.
【详解】设，
令，则，……①
令，则，……②
由①②得，所以，解得，
即，
令，可得，即展开式中常数项为3，
由①②得，所以，
即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，
又由展开式中的系数为.
故选：ABD.
【点睛】二项展开式中系数和问题的求解策略：
二项式定理给出的是一个恒等式，对于的一切值都成，因此，可将设定为一些特殊值，在使用赋值法时，令等于多少，应视具体情况而定，一般取“或”，有时也取其他值：
如：（1）形如：的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令即可；
（2）形如：的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令即可.
34．AC
【分析】令、可得答案.
【详解】因为
所以令可得：
令可得
故选：AC
35．ABC
【分析】利用二项展开式的通项公式计算项的系数可得，，判断A，B；利用赋值法计算判断C；计算出可判断D作答.
【详解】二项式的展开式通项公式为，
，，A，B都正确；
显然，展开式中的奇数项系数为正，偶数项系数为负，，C正确；
，，，，
因此，，D不正确.
故选：ABC
36．ACD
【解析】根据二项式系数的性质即可判断选项A；
由为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.
【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；
因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
37．BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,
又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,
所以二项式为,
则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；
由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；
由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,
故选: BCD
【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
38．ACD
【分析】由题意令，可得的值，所以选项A正确；计算得展开式中常数项为，故选项B不正确；即项的各系数和，为，故选项C正确；展开得展开式中和的系数相等，故选项D正确，
【详解】令，可得的展开式中各项系数的和为，，故选项A正确；
，故展开式中常数项为，故选项B不正确；
的展开式中各项系数绝对值的和，即项的各系数和，为，故选项C正确；
根据

可得若为偶数，则展开式中和的系数相等，故选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是最快速度判断选项C的真假，直接求解比较复杂，转化为项的各系数和，简洁高效.
39．
【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.
【详解】令，得，令，得，所以
故答案为：
40．243##
【分析】根据二项展开式可得，令，即可得解.
【详解】解：的展开式得通项为，
则，
令，则，
即.
故答案为：243.
41．
【解析】本题首先可令，得出，然后令，得出，最后两者相减，即可得出结果.
【详解】令，则，即，
令，则，
即，
故，
故答案为：.
42．
【解析】令，可得解得，再写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于即可求解.
【详解】令，可得，解得：，
所以的展开式通项为：，
令可得，
所以该二项式展开式中含有项的系数为.
故答案为：.
43．
【分析】利用赋值法可求代数式的和.
【详解】令，得，
所以.
故答案为：
44．
【分析】令，即可求出的值.
【详解】令，则
解得：.
故答案为：.
45．(1)256；
(2)1；
(3).

【分析】（1）利用通项公式求出第五项的系数与第三项的系数，可得的值，进而即求；
（2）利用赋值法可得展开式中各项系数的和;
（3）利用通项公式，令的指数等于，求通项中的，可得答案．
(1)
由题意知：展开式的通项为，
所以第五项系数为，第三项系数为，
则，
解得：，或（舍去）．
所以二项式系数之和为；
(2)
令可得展开式中各项系数的和为；
(3)
二项式的通项公式为，
令，则，
∴展开式中含的项为．
46．（1）；（2）.
【分析】（1）先由的展开式一共有16项得，即可求得展开式中二项式系数之和；
（2）根据展开式的通项，令，即可求出常数项.
【详解】（1）由的展开式一共有16项得，
得展开式中二项式系数之和为：；
（2）由得展开式的通项为：
，
令，得，
展开式中的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理及其应用，其中的展开式通项的熟练运用是关键，是基础题.
47．(1)49
(2)301
(3)179

【分析】（1）由二项式定理求解
（2）由赋值法求解
（3）由赋值法求解
(1)
就是项的系数，所以．
(2)
令，得，
令，得，
所以．
(3)
令，得，       ①
令，得，       ②
由②－①可得，所以．
48．（1）1；（2）；（3）.
【分析】（1）令可得所求的值；
（2）再令，结合（1）可得所求的值.
（3）根据通项公式可判断出项的系数的正负，利用（2）中的结果可得所求的值.
【详解】（1）令，得，
故.
（2）令，得，
故即.
（3）∵，
故当为偶数时，，为奇数时，，
故.
49．(1)210
(2)1
(3)29，29
(4)奇数项系数和为，偶数项系数和为

【分析】（1）二项式系数的和直接使用公式进行求解；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和，直接利用公式进行求解；第（2）问和第（4）问：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）
二项式系数的和为.
（2）
令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
（3）
奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.
（4）
设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10
令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
其中①＋②得：，∴奇数项系数和为；①－②得：，∴偶数项系数和为.
50．(1)
(2)

【分析】（1）由二项式系数和的性质得出，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）由通项得出，利用赋值法得出，再求解．
(1)
由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；
(2)
，其展开式的通项为
，令，得．
∴常数项
令，可得展开式中所有项系数的和为，∴．