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七年级数学下册考点精练专题23 平方差公式与几何图形
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这是一份七年级数学下册考点精练专题23 平方差公式与几何图形，共29页。
专题23 平方差公式与几何图形
【例题讲解】
图①、图②分别由两个长方形拼成：
(1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________．
(2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________．
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：．故答案为：；
（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，
∴得出等式：．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴．
将代入上式，得：，
解得：．
【综合解答】
1．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
4．4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．
6．如图①是将一个边长为a的大正方形的一角截去一个边长为b的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________
(2)根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系___________
(3)利用你发现的结论，求的值
7．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)
(1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：
图①阴影部分面积为： ；
图②阴影部分面积为： ；
(2)请探究并直接写出这三个式子之间的等量关系；
(3)利用(2)中的结论，求的值．
8．如图，在边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形．
(1)余下纸片的面积为_____________
(2)已知，，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．
9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
10．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．
(1)设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝________，S2＝_______________；
(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；
(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．
11．七年级教材下册“第九章 整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．
如课本77页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论： ．
其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．
h^
活动材料：如下图，4张A型直角三角形纸片、1张B型正方形纸片．
活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．
活动内容：
（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明成立的理由．
（2）利用（1）的结论计算：若，，求的值．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
图1 图2 图3 图4
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，
∴S大正方形=9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
13．如图①是将一个边长为的大正方形的一角截去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2）根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系；
（3）利用你发现的结论，求的值．
14．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a＞b），如图①．
（1）由图①得阴影部分的面积为 ．
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 ．
（3）由（1）（2）的结果得出结论： ＝ ．
（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．
15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一： ； 方法二： ；
（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系是： ；
（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式．请画出图形，并写出验证过程．
16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.
（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母、的代数式表示）
（2）由（1）可以得到等式______.
（3）根据所得到的等式解决下面的问题：
①计算：.
②解方程：.
17．【操作发现】如图1，在边长为x的正方形内剪去边长为y的小正方形，剩下的图形面积可以表示为 ；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为 、宽为 ，那么这个长方形的面积可以表示为 ，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.
【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：
（1）
（2）
【思维拓展】（3）利用得到的等式计算…
解：原式=…
请你把接下来的计算过程补充完整.
18．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b） C．a2＋ab＝a(a＋b)
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值．
②计算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．
专题23 平方差公式与几何图形
【例题讲解】
图①、图②分别由两个长方形拼成：
(1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________．
(2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________．
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：．故答案为：；
（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，
∴得出等式：．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴．
将代入上式，得：，
解得：．
【综合解答】
1．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图2长方形面积=图1中阴影部分面积，列式即可得出答案．
【详解】解：由图可得 (a+b)(a-b)= a2-b2，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义，熟练掌握数形结合思想的运用是解题的关键．
2．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积
=（a+b）（a-b）．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】B
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可．
【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是80，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
4．4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用含有m、n的代数式分别表示S2=2mn+2n2，S1=m2-n2，再根据S1=S2，整理可得结论．
【详解】解：由题意可得：S2=4×n（m+n）
=2n（m+n）；
S1=（m+n）2-S2
=（m+n）2-（2mn+2n2）
=m2+2mn+n2-2mn-2n2
=m2-n2；
∵S1=S2，
∴2n（m+n）=m2-n2，
∴2n（m+n）=（m-n）（m+n），
∵m+n＞0，
∴2n=m-n，
∴m=3n．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．
【答案】(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4
【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．
【详解】∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4，
∵图①和图②的阴影面积相等，
∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，
故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键．
6．如图①是将一个边长为a的大正方形的一角截去一个边长为b的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________
(2)根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系___________
(3)利用你发现的结论，求的值
【答案】(1)，
(2)
(3)29400
【分析】（1）方法一：根据图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；方法二：根据②中答长方形的长为，宽为，即可求解；
（2）由（1）种结论，即可求解；
（3）利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：方法一：图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即；
方法二：图②中答长方形的长为，宽为，则大长方形的面积为；
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：；
故答案为：
（3）解：
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
7．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)
(1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：
图①阴影部分面积为： ；
图②阴影部分面积为： ；
(2)请探究并直接写出这三个式子之间的等量关系；
(3)利用(2)中的结论，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）用a为边长的正方形面积减去小正方形面积即可得图①阴影部分面积，直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；
（2）根据与表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；
（3）根据进行计算即可求解．
【详解】（1）解：(1)；
；
（2）；
（3）原式．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
8．如图，在边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形．
(1)余下纸片的面积为_____________
(2)已知，，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．
【答案】(1)a2-4b2
(2)176
【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可；
（2）利用平方差公式分解因式后代入计算即可．
【详解】（1）解：余下纸片的面积是a2-4b2，
故答案为：a2-4b2；
（2）解：能，
∵a=14.4，b=2.8，
∴a2-4b2
=（a+2b）（a-2b）
=（14.4+2×2.8）（14.4-2×2.8）
=20×8.8
=176．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，利用平方差公式分解因式，正确理解平方差公式及因式分解的方法是解题的关键．
9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
【答案】(1)
(2)
(3)C
(4)答案见解析
【分析】（1）用半径为r的半圆的面积减去直径为r的圆的面积即可；
（2）用直径为（a+b）的半圆的面积减去直径为a的半圆的面积，再减去直径为b的半圆的面积即可；
（3）（4）将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S2，然后与S1比较即可．
（1）
解：S1＝；
（2）
解：S2＝
，
，
故答案为：；
（3）
解：选：B；
（4）
解：将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S2，得：
S2＝，
∵c＞0，
∴r2＞r2﹣c2，
即S1＞S2．
故选B．
【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的面积公式．
10．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．
(1)设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝________，S2＝_______________；
(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；
(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形直接求面积；
（2）根据（1）中的得出等量关系；
（3）根据（2）中的公式逐步运算即可．
（1）
解：图①中的面积S1＝，
图②中面积S2＝；
故答案为：，
（2）
由（1）可知（1），
∴，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查平方差公式，数形结合思想，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
11．七年级教材下册“第九章 整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．
如课本77页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论： ．
其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．
h^
活动材料：如下图，4张A型直角三角形纸片、1张B型正方形纸片．
活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．
活动内容：
（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明成立的理由．
（2）利用（1）的结论计算：若，，求的值．
【答案】；（1）；（2）
【分析】先用大小正方形的面积差表示第一图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可；
活动内容：（1）根据大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积等于中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；
（2）用（b-a）2及a2+b2=c2求得ab，再由（a+b）2求得a+b，进而由平方差公式求得结果．
【详解】解：第一图的阴影部分面积为：a2-b2，
第二图阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
∴重要的结论为：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（1），
（2）解：由题意知：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
图1 图2 图3 图4
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，
∴S大正方形=9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）（a+b）2 =a2＋2ab+b2；（a－b）2 =a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）= a2－b2；（2）10；（3）7
【分析】（1）图1和图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论；
（2）仿照“方法一”进行计算求解即可；
（3）根据（2）介绍的方法求出AC和CF边的乘积关系，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：（1）图1：阴影部分面积等于两个较小正方形面积和两个相同长方形面积之和，
即：（a+b）2 =a2＋2ab+b2；
图2：阴影部分面积等于大正方形面积减去最小正方形的面积以及两个小长方形的面积，
即：（a－b）2 =a2－2ab+b2；
图3：左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，
即：（a+b）（a－b）= a2－b2；
故答案为：图1：（a+b）2 =a2＋2ab+b2 ；
图2：（a－b）2 =a2－2ab+b2；
图3：（a+b）（a－b）= a2－b2．
（2）∵（5﹣x）+（x﹣1）＝4，
∴，
即：，
∵（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，
∴，
故答案为：10；
（3）设AC=x，则BC=CF=10-x，
由题意，，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为7．
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键．
13．如图①是将一个边长为的大正方形的一角截去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2）根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系；
（3）利用你发现的结论，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）708000
【分析】（1）方法1：用a为边长的正方形面积减去小正方形面积即可；方法2：直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；
（2）根据a2-b2和（a+b）（a-b）表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；
（3）根据a2-b2=（a+b）（a-b），进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知，
方法1：图②中大长方形的面积为：a2-b2，
方法2：图②中大长方形的面积为：（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由图可得，
这三个式子之间的等量关系是：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（3）解：原式=
=
=708000
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
14．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a＞b），如图①．
（1）由图①得阴影部分的面积为 ．
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 ．
（3）由（1）（2）的结果得出结论： ＝ ．
（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．
【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）4041
【分析】（1）根据阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；
（4）根据（3）所得的结论进行求解即可．
【详解】解：（1）由图①得：阴影部分的面积为a2﹣b2．
故答案为：a2﹣b2；
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为：
（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）的结果得出结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（4）20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041．
【点睛】此题考查了列代数式和含乘方的有理数混合运算，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一： ； 方法二： ；
（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系是： ；
（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式．请画出图形，并写出验证过程．
【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）证明见解析
【分析】（1）方法一：根据大正方形面积公式可得；方法二：等于两个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的和；
（2）根据（1）中两种表示方法可以得到（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系；
（3）拼成一个正方形和一个梯形，根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：（1）由题意可得，
方法一：（a+b）2；
方法二：a2+ ab×4+b2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2；
（2）由题意可得，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（3）用两个完全一样的直角梯形拼成如下两个图形，
阴影部分的面积=a2-b2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）．
所以．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式、平方差公式及应用．由面积相等得到代数式相等是解决本题的关键．
16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.
（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母、的代数式表示）
（2）由（1）可以得到等式______.
（3）根据所得到的等式解决下面的问题：
①计算：.
②解方程：.
【答案】（1）；（2）；（3）①3550；②x=-1
【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出答案；
（2）根据阴影部分面积相等即可得出答案；
（3）①运用平方差公式计算即可得出答案；②先用平方差公式将左边展开即可得出答案.
【详解】（1）图2中的阴影部分的面积为.
（2）.
（3）①
.
②，
，
，
.
【点睛】本题考查的是平方差公式的计算与应用，需要熟练掌握平方差公式的特征.
17．【操作发现】如图1，在边长为x的正方形内剪去边长为y的小正方形，剩下的图形面积可以表示为 ；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为 、宽为 ，那么这个长方形的面积可以表示为 ，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.
【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：
（1）
（2）
【思维拓展】（3）利用得到的等式计算…
解：原式=…
请你把接下来的计算过程补充完整.
【答案】（1）9999.75；（2）199；（3）9999
【分析】利用割补法求得图形面积;
利用上一问得到的等式进行计算.
【详解】解：
图1中剩下图形面积为大正方形面积-小正方形面积，即 ；
图3长方形中，长为（x+y）,宽为(x-y)，所以这个长方形的面积为 ，因此得到一个等式为：=
（1）
（2）
（3）…
原式=…
【点睛】利用面积法推出平方差公式，利用平方差公式使得计算简便是本题的解题关键.
18．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b） C．a2＋ab＝a(a＋b)
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值．
②计算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．
【答案】(1) B ;(2)① 3； ②.
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【详解】解：（1）根据图形得：a2-b2=（a+b）（a-b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为B；
（2）①∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=12，x+2y=4，
∴x-2y=12÷4=3；
②（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）
=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）（1－）（1+）
=××××××…××××
=×
=.
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
专题23 平方差公式与几何图形
【例题讲解】
图①、图②分别由两个长方形拼成：
(1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________．
(2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________．
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：．故答案为：；
（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，
∴得出等式：．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴．
将代入上式，得：，
解得：．
【综合解答】
1．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
4．4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．
6．如图①是将一个边长为a的大正方形的一角截去一个边长为b的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________
(2)根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系___________
(3)利用你发现的结论，求的值
7．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)
(1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：
图①阴影部分面积为： ；
图②阴影部分面积为： ；
(2)请探究并直接写出这三个式子之间的等量关系；
(3)利用(2)中的结论，求的值．
8．如图，在边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形．
(1)余下纸片的面积为_____________
(2)已知，，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．
9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
10．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．
(1)设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝________，S2＝_______________；
(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；
(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．
11．七年级教材下册“第九章 整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．
如课本77页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论： ．
其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．
h^
活动材料：如下图，4张A型直角三角形纸片、1张B型正方形纸片．
活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．
活动内容：
（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明成立的理由．
（2）利用（1）的结论计算：若，，求的值．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
图1 图2 图3 图4
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，
∴S大正方形=9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
13．如图①是将一个边长为的大正方形的一角截去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2）根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系；
（3）利用你发现的结论，求的值．
14．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a＞b），如图①．
（1）由图①得阴影部分的面积为 ．
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 ．
（3）由（1）（2）的结果得出结论： ＝ ．
（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．
15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一： ； 方法二： ；
（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系是： ；
（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式．请画出图形，并写出验证过程．
16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.
（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母、的代数式表示）
（2）由（1）可以得到等式______.
（3）根据所得到的等式解决下面的问题：
①计算：.
②解方程：.
17．【操作发现】如图1，在边长为x的正方形内剪去边长为y的小正方形，剩下的图形面积可以表示为 ；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为 、宽为 ，那么这个长方形的面积可以表示为 ，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.
【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：
（1）
（2）
【思维拓展】（3）利用得到的等式计算…
解：原式=…
请你把接下来的计算过程补充完整.
18．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b） C．a2＋ab＝a(a＋b)
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值．
②计算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．
专题23 平方差公式与几何图形
【例题讲解】
图①、图②分别由两个长方形拼成：
(1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________．
(2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________．
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：．故答案为：；
（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，
∴得出等式：．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴．
将代入上式，得：，
解得：．
【综合解答】
1．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图2长方形面积=图1中阴影部分面积，列式即可得出答案．
【详解】解：由图可得 (a+b)(a-b)= a2-b2，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义，熟练掌握数形结合思想的运用是解题的关键．
2．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积
=（a+b）（a-b）．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】B
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可．
【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是80，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
4．4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用含有m、n的代数式分别表示S2=2mn+2n2，S1=m2-n2，再根据S1=S2，整理可得结论．
【详解】解：由题意可得：S2=4×n（m+n）
=2n（m+n）；
S1=（m+n）2-S2
=（m+n）2-（2mn+2n2）
=m2+2mn+n2-2mn-2n2
=m2-n2；
∵S1=S2，
∴2n（m+n）=m2-n2，
∴2n（m+n）=（m-n）（m+n），
∵m+n＞0，
∴2n=m-n，
∴m=3n．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．
【答案】(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4
【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．
【详解】∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4，
∵图①和图②的阴影面积相等，
∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，
故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键．
6．如图①是将一个边长为a的大正方形的一角截去一个边长为b的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________
(2)根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系___________
(3)利用你发现的结论，求的值
【答案】(1)，
(2)
(3)29400
【分析】（1）方法一：根据图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；方法二：根据②中答长方形的长为，宽为，即可求解；
（2）由（1）种结论，即可求解；
（3）利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：方法一：图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即；
方法二：图②中答长方形的长为，宽为，则大长方形的面积为；
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：；
故答案为：
（3）解：
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
7．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)
(1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：
图①阴影部分面积为： ；
图②阴影部分面积为： ；
(2)请探究并直接写出这三个式子之间的等量关系；
(3)利用(2)中的结论，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）用a为边长的正方形面积减去小正方形面积即可得图①阴影部分面积，直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；
（2）根据与表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；
（3）根据进行计算即可求解．
【详解】（1）解：(1)；
；
（2）；
（3）原式．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
8．如图，在边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形．
(1)余下纸片的面积为_____________
(2)已知，，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．
【答案】(1)a2-4b2
(2)176
【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可；
（2）利用平方差公式分解因式后代入计算即可．
【详解】（1）解：余下纸片的面积是a2-4b2，
故答案为：a2-4b2；
（2）解：能，
∵a=14.4，b=2.8，
∴a2-4b2
=（a+2b）（a-2b）
=（14.4+2×2.8）（14.4-2×2.8）
=20×8.8
=176．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，利用平方差公式分解因式，正确理解平方差公式及因式分解的方法是解题的关键．
9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
【答案】(1)
(2)
(3)C
(4)答案见解析
【分析】（1）用半径为r的半圆的面积减去直径为r的圆的面积即可；
（2）用直径为（a+b）的半圆的面积减去直径为a的半圆的面积，再减去直径为b的半圆的面积即可；
（3）（4）将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S2，然后与S1比较即可．
（1）
解：S1＝；
（2）
解：S2＝
，
，
故答案为：；
（3）
解：选：B；
（4）
解：将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S2，得：
S2＝，
∵c＞0，
∴r2＞r2﹣c2，
即S1＞S2．
故选B．
【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的面积公式．
10．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．
(1)设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝________，S2＝_______________；
(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；
(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形直接求面积；
（2）根据（1）中的得出等量关系；
（3）根据（2）中的公式逐步运算即可．
（1）
解：图①中的面积S1＝，
图②中面积S2＝；
故答案为：，
（2）
由（1）可知（1），
∴，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查平方差公式，数形结合思想，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
11．七年级教材下册“第九章 整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．
如课本77页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论： ．
其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．
h^
活动材料：如下图，4张A型直角三角形纸片、1张B型正方形纸片．
活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．
活动内容：
（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明成立的理由．
（2）利用（1）的结论计算：若，，求的值．
【答案】；（1）；（2）
【分析】先用大小正方形的面积差表示第一图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可；
活动内容：（1）根据大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积等于中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；
（2）用（b-a）2及a2+b2=c2求得ab，再由（a+b）2求得a+b，进而由平方差公式求得结果．
【详解】解：第一图的阴影部分面积为：a2-b2，
第二图阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
∴重要的结论为：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（1），
（2）解：由题意知：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
图1 图2 图3 图4
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，
∴S大正方形=9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）（a+b）2 =a2＋2ab+b2；（a－b）2 =a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）= a2－b2；（2）10；（3）7
【分析】（1）图1和图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论；
（2）仿照“方法一”进行计算求解即可；
（3）根据（2）介绍的方法求出AC和CF边的乘积关系，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：（1）图1：阴影部分面积等于两个较小正方形面积和两个相同长方形面积之和，
即：（a+b）2 =a2＋2ab+b2；
图2：阴影部分面积等于大正方形面积减去最小正方形的面积以及两个小长方形的面积，
即：（a－b）2 =a2－2ab+b2；
图3：左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，
即：（a+b）（a－b）= a2－b2；
故答案为：图1：（a+b）2 =a2＋2ab+b2 ；
图2：（a－b）2 =a2－2ab+b2；
图3：（a+b）（a－b）= a2－b2．
（2）∵（5﹣x）+（x﹣1）＝4，
∴，
即：，
∵（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，
∴，
故答案为：10；
（3）设AC=x，则BC=CF=10-x，
由题意，，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为7．
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键．
13．如图①是将一个边长为的大正方形的一角截去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2）根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系；
（3）利用你发现的结论，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）708000
【分析】（1）方法1：用a为边长的正方形面积减去小正方形面积即可；方法2：直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；
（2）根据a2-b2和（a+b）（a-b）表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；
（3）根据a2-b2=（a+b）（a-b），进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知，
方法1：图②中大长方形的面积为：a2-b2，
方法2：图②中大长方形的面积为：（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由图可得，
这三个式子之间的等量关系是：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（3）解：原式=
=
=708000
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
14．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a＞b），如图①．
（1）由图①得阴影部分的面积为 ．
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 ．
（3）由（1）（2）的结果得出结论： ＝ ．
（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．
【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）4041
【分析】（1）根据阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；
（4）根据（3）所得的结论进行求解即可．
【详解】解：（1）由图①得：阴影部分的面积为a2﹣b2．
故答案为：a2﹣b2；
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为：
（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）的结果得出结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（4）20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041．
【点睛】此题考查了列代数式和含乘方的有理数混合运算，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一： ； 方法二： ；
（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系是： ；
（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式．请画出图形，并写出验证过程．
【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）证明见解析
【分析】（1）方法一：根据大正方形面积公式可得；方法二：等于两个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的和；
（2）根据（1）中两种表示方法可以得到（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系；
（3）拼成一个正方形和一个梯形，根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：（1）由题意可得，
方法一：（a+b）2；
方法二：a2+ ab×4+b2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2；
（2）由题意可得，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（3）用两个完全一样的直角梯形拼成如下两个图形，
阴影部分的面积=a2-b2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）．
所以．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式、平方差公式及应用．由面积相等得到代数式相等是解决本题的关键．
16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.
（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母、的代数式表示）
（2）由（1）可以得到等式______.
（3）根据所得到的等式解决下面的问题：
①计算：.
②解方程：.
【答案】（1）；（2）；（3）①3550；②x=-1
【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出答案；
（2）根据阴影部分面积相等即可得出答案；
（3）①运用平方差公式计算即可得出答案；②先用平方差公式将左边展开即可得出答案.
【详解】（1）图2中的阴影部分的面积为.
（2）.
（3）①
.
②，
，
，
.
【点睛】本题考查的是平方差公式的计算与应用，需要熟练掌握平方差公式的特征.
17．【操作发现】如图1，在边长为x的正方形内剪去边长为y的小正方形，剩下的图形面积可以表示为 ；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为 、宽为 ，那么这个长方形的面积可以表示为 ，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.
【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：
（1）
（2）
【思维拓展】（3）利用得到的等式计算…
解：原式=…
请你把接下来的计算过程补充完整.
【答案】（1）9999.75；（2）199；（3）9999
【分析】利用割补法求得图形面积;
利用上一问得到的等式进行计算.
【详解】解：
图1中剩下图形面积为大正方形面积-小正方形面积，即 ；
图3长方形中，长为（x+y）,宽为(x-y)，所以这个长方形的面积为 ，因此得到一个等式为：=
（1）
（2）
（3）…
原式=…
【点睛】利用面积法推出平方差公式，利用平方差公式使得计算简便是本题的解题关键.
18．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b） C．a2＋ab＝a(a＋b)
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值．
②计算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．
【答案】(1) B ;(2)① 3； ②.
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【详解】解：（1）根据图形得：a2-b2=（a+b）（a-b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为B；
（2）①∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=12，x+2y=4，
∴x-2y=12÷4=3；
②（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）
=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）（1－）（1+）
=××××××…××××
=×
=.
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
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