2022-2023学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷

1.  已知集合，，则中元素的个数为(    )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

2.  若，则(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

3.  已知平面向量，的夹角为，且，，则(    )

A. 2 B. 4 C. 1 D.

4.  已知函数的部分图象如图所示，则(    )

A. 1
B.
C.
D.

5.  若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(    )

A.
B. 5
C.
D. 2

6.  如图所示，在四边形ABCD中，，，，，，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，设…，下列说法：
①，
②，
③…，
④展开式中所有项的二项式系数和为
其中正确的个数有(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.  已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若直线l：与圆C：相切，则下列说法正确的是(    )

A.  B. 数列为等比数列
C. 数列的前10项和为23 D. 圆C不可能经过坐标原点

10.  已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间

11.  已知点O为坐标原点，直线与抛物线C：相交于A，B两点，则(    )

A.  B.
C. 的面积为 D. 线段AB的中点到抛物线准线的距离为4

12.  如图，在棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是(    )

A. 平面
B. 三棱锥的体积不变
C. 以D为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
D. 异面直线与所成的角的范围是
 

13.  已知“”是______的充分不必要条件．请在横线处填上满足要求的一个不等式．答案不唯一

14.  已知直线是圆C：的一条对称轴，则的最小值为______.

15.  某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______.

16.  已知函数在上的最大值与最小值分别为M和m，则函数的图象的对称中心是______.

17.  从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线上，并解答．
在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足_____.
求角B的大小；
若，求周长的取值范围．

18.  已知数列是公差大于1的等差数列，，前n项和为，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
令，求数列的前n项和

19.  如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，，，
证明：平面平面ABF；
若平面ABCD，二面角为，三棱锥
的外接球的球心为O，求平面ACD与平面OCD夹角的余弦值．

20.  德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品T的质量采用综合指标值M进行衡量，为一等品；为二等品；为三等品．某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到右边的频率分布直方图．
估计该瓷器产品T的质量综合指标值M的第60百分位数；

根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率某等次产品销量与其对应产量的比值及单件售价情况如下：
根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的全部处理完．已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：
①综合指标值的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表不小于6；
②单件平均利润不低于4元．
若该新型窑炉烧制产品T的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件．

21.  已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且
求椭圆C的方程；
若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22.  已知函数
讨论函数的单调性；
若函数有2个零点，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：法一：由，解得：或，
的元素的个数是2个，
法二：画出圆和直线的图象，如图示：，
结合图象，圆和直线有2个交点，
故中元素的个数为2个，
故选：
解不等式组求出元素的个数即可．
本题考查了集合的运算，是一道基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：
故选：
利用求解即可．
本题考查了向量的模的运算，属于易做题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由题意可知：，解得，所以，
由五点法作图可得，解得
所以，
可得
故选：
利用函数的图象求解，结合五点法作图求解即可．
本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，是基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：由题意设双曲线的焦点为，渐近线方程为，
则点F到渐近线方程的距离为，
所以，则，
所以双曲线的离心率为，
故选：
由题意设出双曲线的焦点和经检查方程，然后求出焦点到渐近线的距离，再由已知即可求解．
本题考查了双曲线的性质和渐近线方程，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体如图，

由已知求得，圆台上底面半径为1，圆台的高为2，，
则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为：

故选：
由已知画出图形，再由圆台底面积与侧面积、圆锥的侧面积求解．
本题考查旋转体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：，①对；．
令，…，
所以，②错；
令得，③对；
展开式中所有项的二项式系数和为，④错．
所以正确的说法有2个．
故选：
根据组合数公式的性质即可判断①，利用赋值法可判断②③④．
本题考查二项式定理的应用，是基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：令，，
因为当时，，所以，
所以当时，，所以在上单调递减，
所以，
即，
所以，
即
故选：
令，，由已知可得当时，，函数单调递减，然后利用函数的单调性得答案．
本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了构造函数法比较大小，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：由圆C的方程：可知，圆C的圆心为，半径，
由直线l：与圆相切得，，
，
是首项为，公差为的等差数列，
前10项和为；
令，解得，此时圆C经过坐标原点．
综上所述，AC选项正确，BD选项错误．
故选：
先求得圆心和半径，根据点到直线的距离公式、等差等比数列、圆等知识进行分析，从而确定正确答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查了等差数列与等比数列的基本知识，属于基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：由，得，
函数在处取得极值10，
，，
，解得或，
当，时，，在处不存在极值，舍去；
当，时，，
时，，时，，时，，
适合处取得极值10，则，，则，故A错误，B正确；
此时一定有两个极值点且存在单调递减区间，故CD正确．
故选：
求出原函数的导函数，由题意列关于a，b的方程组，求得a与b的值，验证可得，，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：由题意可得直线过抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，设，，
联立，整理可得，显然，
可得，，
A中，由抛物线的性质可得，所以A正确；
B中，由题意可得，所以，所以，所以不成立，所以B不正确；
C中，O到直线的距离，所以，所以C正确；
D中，由题意可得AB的中点D的横坐标为3，所以D到准线的距离，所以D正确；
故选：
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积．A中，由抛物线的性质可得弦长的大小，判断出A的真假；B中，求出A，B的横坐标之积与纵坐标之积的和，不为0，则OA与OB不垂直，判断B的真假；C中，求出O到直线的距离d，由A中的值，代入三角形的面积公式，可得面积的大小，判断出C的真假；D中，由题意可得AB的中点D的横坐标，进而求出D到准线的距离，判断出D的真假．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A项，如图，

连接，，根据正方体的性质可知，且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面
同理可得，平面因为⊂平面，平面，，
所以平面平面又平面，所以平面，故A项正确；
对于B项，由A知平面，所以点到平面的距离即等于点P到平面的距离，
所以，由正方体的性质可得，平面，
所以，又，所以是个定值，故B项正确；
对于C项，由已知可得，点D到侧面的距离等于设球被侧面截得圆的半径为r，球的半径，
则所以以 D为顶点，为半径的球面与侧面的交线即以 C为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，
BC、中点为E、F，则有，所以交线即所对的圆弧l的长，，所以，故C项不正确；
对于D项，如图，由已知可得，所以，又，
所以异面直线与所成的角即等于直线与所成的角或其补角
显然当点 P为中点时，，此时最大；当点 P在B点时，，当点 P在点时，，此时最小．
所以异面直线与所成的角的范围是，故D项正确．
故选：
通过证明平面平面，即可判断A；
根据平面，可推出，求出，即可判断B；
由已知可得交线即以 C为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，取BC、中点为E、F，求出扇形的弧长即可得出结果，即可判断C；
由，可知异面直线与所成的角即等于直线与所成的角或其补角．根据图象，即可得出点 P为中点以及线段端点时，角最
大或最小，即可判断
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属中档题．
 

13.【答案】““答案不唯一 

【解析】解：，
是的充分不必要条件，
故答案为：““答案不唯一
利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
 

14.【答案】4 

【解析】解：圆C：的圆心为，
因为直线l为圆的一条对称轴，故直线l过圆心，
所以，即，
由于，所以，，
，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为4，
故答案为：
根据直线过圆心求得m，n的关系式，结合基本不等式求得正确答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：被第一代感染者传染的概率，
被第二代感染者传染的概率，
被第三代感染者传染的概率，
所以小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触被感染的概率为
故答案为：
根据全概率计算公式即可求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：



，
即，所以，
令，，
则为R上奇函数，
在上的最大值与最小值的和为0，
，
是奇函数，图象的对称中心是，
向左平移1个单位得到，对称中心为，
再横坐标缩小为原来的一半得到，对称中心为，
再向下平移1个单位得到，对称中心为，
所以的对称中心是
故答案为：
先求得，然后构造函数，判断出的奇偶性，由此求得M，m，进而求得的表达式，利用图象变换的知识确定的对称中心．
本题考查了函数的最值计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：选条件①时，，
整理得：，
由于，
所以；
选条件②时，，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以；
选条件③时，，整理得：，
所以，由于，
所以；
在中，，，由余弦定理，
整理得：，当且仅当时取等号，
因此，又，于是得，
所以周长的取值范围为 

【解析】选条件①时，直接利用余弦定理的应用求出B的值；
选条件②时，直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果；
选条件③时，直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出B的值；
利用的结论，结合余弦定理及均值不等式求解作答．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．
 

18.【答案】解：设数列是公差d大于1的等差数列，
，且，，成等比数列，
可得，，即，
由于，
解得，，
则；
，
所以当n为偶数时，；
当n为奇数时，
则 

【解析】由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
求得，对n讨论为奇数和偶数，由数列的裂项相消求和化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：四边形ADEF为正方形，，
，，平面ABF，
平面ADEF，平面平面
平面ABCD，平面ABCD，，
由得平面ABF，且，
平面ABF，是二面角的平面角，
，，
由上述分析知AB，AD，AF两两相互垂直，
可将多面体ABCDEF补形为正方体，如图，

则三棱锥的外接球的球心O是AH的中点，
以A为坐标原点，AB、AD、AF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面OCD的法向量为，
则，取，得，
平面ACD的一个法向量为，
设平面ACD与平面OCD的平面角为，
则
平面ACD与平面OCD夹角的余弦值为 

【解析】通过证明平面ABF，能证明平面平面ABF；
利用二面角为，求出AB，通过补形的方法判定O点位置，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACD与平面OCD夹角的余弦值．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：设该瓷器产品T的质量综合指标值M的第60百分位数为m，由频率分布直方图知，
，解得，
所以该瓷器产品7的质量综合指标值M的第60百分位数的估计值为；
①先分析该窑炉烧制出的产品T的综合指标值的平均数：
由频率分布直方图知，综合指标值的平均数，故满足认购条件①，
②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：
由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品7为一、二、三等品的概率估计值分别为，，，
故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720，1080，
一等品的销售总利润为元；
二等品的销售总利润为元；
三等品的销售总利润为元；
故2000件产品的单件平均利润值的估计值为，满足认购条件②，
综上，该新型窑炉达到瓷器厂的认购条件． 

【解析】根据百分位数的计算方法即可求解；根据频率直方图的平均值和数学期望的计算方法即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：由题知，椭圆C过点和，
所以，解得，，
所以椭圆C的方程为
假设在y轴上存在定点P，使得恒成立，
设，，，

由，得，，，
，
，，，
点P在以EF为直径的圆上，即，
，，




，
恒成立，
，解得，

存在定点，使得恒成立． 

【解析】直接由椭圆C过点和解方程即可；
先联立直线和椭圆，通过得到点P在以EF为直径的圆上，即，表示出，由解出点P的坐标即可．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：的定义域为R，，
①当时，由得，
随着x的变化，、的变化情况如下表

所以，当时在单调递减，在单调递增，
   ②当时，，在R上单调递减，
综上：当时在单调递减，在单调递增，当时，在R上单调递减．
由知当时，，在R上单调递减，函数不可能有2个零点，故，
当时在单调递减，在单调递增，，
要使函数有2个零点，则必有，
令，g则，可得到在单调递增，
又，所以时，可得，
 当时，，且，
所以在上有且仅有一个零点，
令，，
可得在单调递减，在单调递增，
所以，即，
 因为，即，
又

，
所以在上有且仅有一个零点，
综上，当函数有2个零点时，实数a的取值范围为 

【解析】，分，讨论即可；
由知，当时在单调递减，在单调递增，，要使函数有2个零点，则必有，可得，再通过，即可求解．
本题考查了考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，属于难题．