初中数学中考复习 专题05 一次函数与反比例函数及其应用（解析版）

专题05   一次函数与反比例函数及其应用

一 填空题

1．（芜湖市一模）函数y＝的自变量x的取值范围为（　　）

A．x≤0 B．x≤1 C．x≥0 D．x≥1

【解析】∵1﹣x≥0，

∴x≤1，即函数y＝的自变量x的取值范围是x≤1，

故选：B．

2.（唐山市遵化市一模）某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金元与其生产的件数件之间的函数关系式，则下列结论错误的是

A.           B.
C. 若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产50件
D. 若工人乙一天生产件，则他获得薪金4m元

【解析】由题意和图象可得，
，故选项A正确，
，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：，故选项C正确，
若工人乙一天生产件，当时，他获得的薪金为：3m元；当时，他获得的薪金为：元，故选项D错误，
故选：D．

3.（合肥市天鹅湖教育集团一模）甲、乙两人在一条长为600m的笔直道路上均匀地跑步，速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是（      ）

A.  B.  C.  D.

【解析】甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，经过50÷（6−4）=25秒，乙追上甲，则相距是0千米，故A、 B错误；

相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是600÷6=100秒，故B.、D错误；

相遇以后两人之间的最大距离是：2×(100−25)=150米．

故选C.

4.（南通市崇川区一模）如果函数b是常数的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是

A. 且 B. 且 C. 且 D. 且

【解析】b是常数的图象不经过第二象限，
     当，时成立；
     当，时成立；
     综上所述，，；
     故选：A．
5.（唐山市遵化市一模）一次函数的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为

A.  B.  C.  D.

【解析】一次函数的图象的y的值随x值的增大而增大，    ，
A、把点代入得到：，不符合题意；
B、把点代入得到：，不符合题意；
C、把点代入得到：，符合题意；
D、把点代入得到：，不符合题意；
故选：C．

6.（合肥168中一模）一次函数的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是

A.     B.      C.      D.

【解析】一次函数的图象经过二、三、四象限，
，
解得，．
故选：D．

7.（宿州市一模）已知点A（x1，m），B（x2，n）都在反比例函数y＝﹣图象上，且0＜x1＜x2则m，n的大小关系是（　　）

A．m＞n B．m＝n C．m≤n D．m＜n

【解析】反比例函数y＝﹣的图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵0＜x1＜x2，

∴点A（x1，m），点B（x2，n）都在第四象限，

∴m＜n，

故选：D．

8.（芜湖市一模）已知抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A．  B．   C．  D．

【解析】∵抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，

∴△＝4﹣4（k+1）＞0，

解得k＜0，

∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限，

反比例函数y＝的图象在第二四象限，

故选：D．

9.（合肥168中一模）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是

A.      B.       C.        D.

【解析】因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为．
故选：C．

10.（江西省初中名校联盟一模）下列函数值y随自变量x增大而增大的是

A.  B.  C.  D.

【解析】A、，，
，y随自变量x增大而减小，故此选项不合题意；
B、，，
，每个象限内，y随自变量x增大而增大，故此选项不合题意；
C、，，
，y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
D、，当时，y随自变量x增大而增大，
当时，y随自变量x增大而减小，故此选项不合题意；
故选：C．

11.（唐山市遵化市一模）如图，一次函数与x轴，y轴的交点分别是，与反比例函数的图象交于点Q，反比例函数图象上有一点P满足：轴；为坐标原点，则四边形PAQO的面积为

A. 7 B. 10 C.  D.

【解析】一次函数与x轴，y轴的交点分别是，，
，，
，
一次函数的关系式为：，
设，
，
解得：，
由题意知，舍去，
把代入反比例函数，
，
反比例函数的关系式为：，
解得，，，
，
四边形PAQO的面积，
故选：C．
二 填空题

12.（无锡市四校联考）函数的自变量x的取值范围是______．

【解析】由题意得，，
解得．
故答案为：．
13.（江西省初中名校联盟一模）在平面直角坐标系xOy中，点在反比例函数的图象上，过点A作直线与反比例函数的图象交于另一点B，则点B的坐标为______．

【解析】把代入，可得，
把代入可得，
   直线为，
  点B与点A关于原点对称，
  ，
  故答案为：．

14.（无锡市四校联考）一次函数与的图象如图所示，则的解集为______．


 

【解析】由图可得，当时，；
当时，；
不等式组的解集为，
故答案为：．

15.（南通市崇川区一模）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点若，则k的值为______．

 

【解析】设B点坐标为，
和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，即，
，
，
，
．
故答案为：6．
16.（江西省初中名校联盟一模）已知的三个顶点，，，将沿x轴平移m个单位后，某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为______．

【解析】，，，
的中点，BC的中点，AC的中点
当点平移后落在反比例函数的图象上时，
把代入得，，故平移的距离为：；
当点平移后落在反比例函数的图象上时，
把代入得，，故平移的距离为：；
当点平移后落在反比例函数的图象上时，
把代入得，，故平移的距离为：；
综上所述，m的值为或1或．
故答案为：或1或．
17.（南通市崇川区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，则的值为______．


 

【解析】如图1所示，
                                                      
过点O作OG垂直AB于点G，过点C作CD垂直y轴于点D，
令，解得，
，
令，解得，
，
当时，，
，，
，
，
设，则，
则有，
解得，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
18.（合肥168中一模）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若，，则______．

【解析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，

则有．
设点A的坐标为，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
故答案为．
19.（淮北市名校联考一模）如图，反比例函数的图象与直线相交于点A，与直线相交于点B，若的面积为18，则k的值为______．

【解析】：由题意得，
，解得：，舍去，
点，
如图1，当与反比例函数的交点B在点A的下方，
过点A、B分别作轴，轴，垂足分别为M、N，
设点B坐标为，则，，
点，
，；
，
，
解得，，舍去
点，代入得，
；
如图2，当与反比例函数的交点B在点A的上方，
过点A、B分别作轴，轴，垂足分别为M、N，
设点B坐标为，则，，
点，
，；
，
，
解得，，舍去
点，代入得，
；
故答案为：6或．

三 解答题

20.（江西省初中名校联盟一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度与时间分之间的函数关系如图所示，当水的温度为时，饮水机自动开始加热，当加热到时自动停止加热线段，随后水温开始下降，当水温降至时为双曲线的一部分，饮水机又自动开始加热根据图中提供的信息，解答下列问题：
分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？

【解析】设直线AB解析式为：，则，解得：，
温度上升段的解析式为：；
设反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，解得：，
故温度下降段段函数表达式：；
对于反比例函数，
当时，即，解得：，
同理可得：当时，，
水温在，此时x为分．
故大课间30分钟，可以盛到最佳温度水的时间为10分钟，
故有个同学可以盛到最佳温度的水．

21.（唐山市遵化市一模）如图，一次函数与反比例函数其中图象交于，两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

 

【解析】一次函数与反比例函数图象交于，两点．
根据反比例函数图象的对称性可知，，
，解得，
故一次函数的解析式为，
又知A点在反比例函数的图象上，故，
故反比例函数的解析式为；
在中，令，则，
，
；
根据两函数的图象可知：
当或时，一次函数值大于反比例函数值．

22.（宿州市一模）（12分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积；

（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．

【解析】（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），

∵一次函数过A、B两点，

∴，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；

（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），

∵S△AOC＝×OC×|Ax|，S△BOC＝×OC×|Bx|

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝•OC•|Ax|+•OC•|Bx|＝＝6；

（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．

23.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，反比例函数和一次函数相交于点，．

（1）求一次函数和反比例函数解析式；

（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】（1）∵反比例函数和一次函数相交于点，，

∴k=1×3=3，

∴，

∴-3a=3，解得：a=-1，

∴B(-3，-1)，

∴，解得：，

∴；

（2）设P(t，0)，

∵，

∴AP=，OP=，OA=，

∵为以OA为腰的等腰三角形，

∴OA=AP或OA=OP，

当OA=AP时，，解得：（不符合题意，舍去），

∴P(2，0)；

当OA=OP时，=，解得：t=±，

∴P(，0)或P(-，0)，

综上所述：存在点P，使为以OA为腰的等腰三角形，点P坐标为：(2，0) 或(，0)或(-，0)．

24.（合肥168中一模）如图，已知函数与反比例函数的图象交于点将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与x轴交于点C．
求点C的坐标；

若，求反比例函数的解析式．

【解析】的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与x轴交于点C，
直线BC的解析式为，
把代入得，解得，
点坐标为；

作轴于E点，轴于F点，如图，
，
，
∽，
，
设A点坐标为，则，，
，，
，
点坐标为，
点A与点B都在的图象上，
，解得，
点A的坐标为，
把代入得，
反比例函数的解析式为．