2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  过点且与直线垂直的直线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是(    )

A. ；4 B. ；2 C. ；4 D. ；2

3.  将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示如下：则(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4.  某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是(    )

A. 简单随机抽样 B. 先用分层抽样，再用随机数表法
C. 分层抽样 D. 先用抽签法，再用分层抽样

5.  若，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

6.  已知命题p：，，则为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7.  下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则

8.  已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则的方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为39，27，则输出的(    )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

11.  若两个正实数x，y满足，则的最小值为(    )

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

12.  直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果，，M为RS的中点，则(    )

A.  B.  C.  D. 2

13.  以下两个变量成正相关的是______.
①学生的学籍号与学生的数学成绩；
②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
③气温与冷饮销售量；
④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．

14.  若圆与圆外切，则实数______.

15.  若抛物线上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为______.

16.  ，是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是的内切圆圆心，若的面积是的面积的4倍，则椭圆C的离心率为______.

17.  已知直线l：与圆C：交于A，B两点．
求圆C的弦AB的长；
若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程．

18.  已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：
若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
若，为假，为真，求实数m的取值范围．

19.  世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中x表示某种食品所含热量的百分比，y表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

附：相关系数r可以衡量两个变量x和y之间线性关系的强弱，当r为正时，x和y正相关，当r为负时，x和y负相关，统计学认为如果相关性很强，如果相关性一般，如果相关性较弱．，，
参考数据：
试用r对两个变量x，y的相关性进行分析的结果保留两位小数；
求回归方程．

20.  已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，且过点
求椭圆E的标准方程；
过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积．

21.  四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为A、B、C、D、E五等，各等级人数所占比例分别为、、、、现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中生物学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的生物成绩，统计了如下表格：

根据统计表格画出频率分布直方图；
根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中生物成绩的平均分；
根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试生物赋分等级至少为B的大致分数线取整数

22.  已知抛物线C：的焦点为F，过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为
求抛物线C的方程；
证明：抛物线过A，B两点的切线的交点Q在抛物线的准线上．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由题意知与直线垂直的直线的斜率为，
故过点且与直线垂直的直线方程为，即
故选：
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线垂直的性质，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：一个圆的标准方程为，
此圆的圆心与半径分别是，半径为2，
故选：
由题意，根据圆的标准方程的特征，得出结论．
本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由图可知去掉的两个数是87，99，因为七个剩余分数的平均分为91，
所以，解得
故选：
去掉最高分和最低分可以得到剩余的七个数，根据七个数的平均数为91，可以列出关于x的等式，解出x即可．
本题主要考查茎叶图的应用，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：先在高二年级12个班中抽取3个班，宜用抽签法，再按每个班男女生比例抽取样本，适合使用分层抽样，
所以先用抽签法，再用分层抽样．
故选：
根据抽样特点选择抽样方法即可．
本题考查了抽样方法的应用，解题时应该根据抽样特点选择抽样方法，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：，，
根据分条件、必要条件的定义，则“”是“”的必要不充分条件，
故选：
根据充分条件、必要条件的定义可解．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，
故选：
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

7.【答案】D 

【解析】解：对于A，若，则，故，故A错；
对于B，若，当时，则，故B错；
对于C，若，，则当，，，，则，，则，故C错；
对于D，若，则，则，故D正确；
故选：
根据不等式的性质以及取特殊值法可解．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：根据题意可得，，，
，又焦点在y轴上，
双曲线的标准方程为，
故选：
根据双曲线的几何性质即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：因为圆心是坐标原点O，直线方程为，
所以圆心到直线的距离为，
因为圆O被直线截得的弦长为6，弦长的一半为3，
所以圆O的半径，
则圆O的方程为
故选：
本题首先可以求出圆心到直线的距离，然后根据圆O被直线截得的弦长为6求出圆O的半径，即可求出圆O的方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：，，
满足，满足，，
满足，不满足，，
满足，不满足，，
满足，满足，，
满足，满足，，
满足，满足，，不满足，
故输出
故选：
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：，，，则，当且仅当，即，时取等号，
故选：
利用“1”的代换的方法，将化为的形式，再利用基本不等式求最值．
本题考查利用基本不等式求函数最值，属于基础题．
 

12.【答案】A 

【解析】解：如图，由抛物线的定义可知，，
，，
由题意可得，
，，
，
，又过点P作交于点N，
，
在中，，

故选：
根据抛物线的几何性质即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

13.【答案】③④ 

【解析】解：对于①，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；
对于②，一般情况下，坚持每天吃早餐的人患胃病的概率低，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；
对于③，一般情况下，气温低，喝冷饮的人少，气温与冷饮销售量成正相关关系；
对于④，一般情况下，电瓶车越重，每千米的耗电量越高，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
综上，两个变量成正相关的是③④．
故答案为：③④．
利用相关关系的意义可判断①；再利用成相关关系的两个变量中一个变量值变大，另一个变量值是否变大而判断②，③，④作答．
本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
 

14.【答案】5 

【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为3，
，且两圆外切，，解得，
故答案为：
由两圆的方程分别求得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求解．
本题考查圆与圆的位置关系的判定及应用，是基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：抛物线方程为，，
又点M到焦点距离为8，
，
，，
点M到y轴距离为
故答案为：
根据抛物线的几何性质，方程思想，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设椭圆方程为：，
点P是椭圆C上异于顶点的一点，，是椭圆C的两个焦点，
设，，，的周长为l，
由椭圆的定义可得，
的内切圆半径，，
，
解得：，即离心率，
故答案为：
设，的周长为l，由椭圆的定义可得，根据面积法求得的内切圆半径r，又的面积是的面积的4倍，列出方程可得a，c的关系，从而可得离心率．
本题考查了椭圆的离心率的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：由圆C：，得圆C：，可得圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，可得；
直线m与直线l平行，可设直线m的方程为：，
又直线m与圆C相切，有，可得或，
直线m的方程为：或 

【解析】先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可得解；
由平行关系设出直线m的方程，再根据圆心到直线m的距离等于半径，即可得解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属基础题．
 

18.【答案】解：由方程表示焦点在x轴上的双曲线，可得，
是q的充分不必要条件，，，
经检验，满足题意，实数a的取值范围为：；
易得p：，q：，又假，为真，，q一真一假，
当p真q假时有：，且或，得，
当p假q真时有，或，且，得，
综上所述，实数m的取值范围为： 

【解析】利用焦点在x轴上的双曲线的特点：项对应的分母为正，项对应的分母为负确定范围；假，为真，可得p，q一真一假，从而确定实数m的取值范围．
本题考查双曲线方程，考查简易逻辑，属于基础题．
 

19.【答案】解：由图表可得，，
，，
，
，
为正且接近于1，两个变量x，y之间成正相关，并且有相当强的相关性；
易得，则，
回归方程为 

【解析】利用已知条件以及相关系数的公式即可求解，进而可以判断；求出回归方程的系数b的值，由此求出a的值，进而可以求解．
本题考查了回归直线方程的求解以及回归直线方程系数的判断，属于基础题．
 

20.【答案】解：已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，且过点，
则，，
又，得，
椭圆E的标准方程为：；
过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，
易得过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线方程为，
由，得，
设，，有，，
，
又点P到直线AB的距离，
面积 

【解析】根据椭圆的定义得到，根据椭圆的焦点坐标得到，即可求解；
直线与椭圆联立得到，设，，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得点P到直线AB的距离，即可求解．
本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据统计表格画出频率分布直方图，如图：

根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中生物成绩的平均分为
；
等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为A、B、C、D、E五等，各等级人数所占比例分别为、、、、
则此次考试生物赋分等级至少为B所占比例为，即求原始成绩的百分之五十分位数，
根据直方图可知，对应频率为，对应频率为，对应频率为，
故原始成绩的百分之五十分位数位于区间内，
，
故此次考试生物赋分等级至少为B的大致分数线为76分． 

【解析】根据题意，画出频率分布直方图即可；根据平均数的求法，求解即可；根据统计数据结合等级赋分的办法，此次考试生物赋分等级至少为B所占比例为，即求原始成绩的百分之五十分位数，根据百分位数的定义，求解即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

22.【答案】解：设，，
线段AB的中点为，直线AB的斜率为1，
，，
又A，B两点在抛物线上，
，，
相减得：，
，即，
抛物线C的方程为
证明：易得过A，B两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，
不妨设过的抛物线的切线方程为：，，即，
由，化为，
，
又，整理得，解得
过的抛物线的切线方程为：，整理得；
同理可得过的抛物线的切线方程为：，
设两切线的交点为，由
可得，
直线AB的方程为：，
由，化为，
，，
即两切线的交点Q在抛物线的准线上． 

【解析】，，根据线段AB的中点为，直线AB的斜率为1，可得，，由，，相减化简整理即可得出
易得过A，B两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，不妨设过的抛物线的切线方程为：，，即，与抛物线方程联立，结合，可得过的抛物线的切线方程，同理可得过的抛物线的切线方程，即可得出两切线的交点Q，结合根与系数的关系即可证明结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切、根与系数的关系、直线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．