2022-2023学年湖北省孝感市高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年湖北省孝感市高二（上）期末数学试卷

1.  已知空间向量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设直线：，：则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  将字母a，b，c分别填入标号为a，b，c的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  过点、且圆心在直线上的圆的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  设等差数列的前n项和为，若，，则中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为E：，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是(    )

A. 椭圆C的离心率为
B. M到C的右焦点的距离的最大值为
C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D. 面积的最大值为

9.  已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有(    )

A. 数列的公差为 B.
C. 数列是公差为的等差数列 D.

10.  已知圆C：，直线l：则下列命题中正确的有(    )

A. 直线l恒过定点
B. 圆C被y轴截得的弦长为4
C. 直线l与圆C恒相离
D. 直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为

11.  抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率为k，，且交抛物线C于A、B两点点A在x轴的下方，抛物线的准线为m，交m于，交m于，点，P为抛物线C上任一点，下列结论正确的有(    )

A. 若，则 B. 的最小值为
C. 若，则 D.

12.  如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的有(    )

A. 平面平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥的体积不变
 

13.  已如直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为______.

14.  圆与圆的公切线共有______条．

15.  设数列的前n项和为，点均在函数的图象上．则数列的通项公式为______.

16.  已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，M是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为______.

17.  已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，且三人是否通过测试互不影响．求：
人都通过体能测试的概率；
只有2人通过体能测试的概率．

18.  已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足：，
求数列的通项公式；
若数列是等差数列，且，求非零常数

19.  已知AB为过抛物线C：的焦点F的弦，M为AB的中点，l为抛物线的准线，MN垂直于l于N，点
求抛物线C的方程；
求的面积为坐标原点

20.  已知三棱柱中，，，，
求证：平面平面ABC；
若，在线段AC上是否存在一点P使平面和平面所成角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

21.  已知圆心在x轴上的圆C与直线l：切于点
求圆C的标准方程；
已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆C交于，求的最大值．

22.  已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点
求动点P的轨迹C的方程；
动点P的轨迹C与x轴交于A，B两点在B点左侧，直线l交轨迹C于M，N两点不在x轴上，直线AM，BN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：根据题意，由，设，
即，
解可得：，
则有，由此得
故选：
本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题．
本题主要考查了空间向量平行的坐标关系，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：当时，两直线方程为：，：，满足，
当时，两直线方程为：，：，不满足，
若，则，
解得或舍去，
“”是“”的充分必要条件，
故选：
根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】解：将字母a，b，c填入标号为a，b，c的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性是相等的，故为古典概型，
而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法．
故所求概率
故选：
根据题意，判断古典概型，结合公式计算即可．
本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是，排除A，B选项；圆心在直线上验证，C选项不成立．
故选：
先求AB的中垂线方程，它和直线的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．
本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．
 

5.【答案】A 

【解析】解：解法一：如图所示，设M、N、P分别为AB，和的中点，

则、夹角为MN和NP夹角或其补角因异面直线所成角为，
可知，；作BC中点Q，则为直角三角形；，，中，由余弦定理得：
，，；在中，；
在中，由余弦定理得；
又异面直线所成角的范围是与所成角的余弦值为
解法二：如图所示，

补成四棱柱，求即可；，，，，，

故选：
解法一：可设M、N、P分别为AB，和的中点，从而得出、夹角为或其补角，根据条件可求出，，然后取BC的中点Q，从而可求出PM的长度，然后根据余弦定理即可求出的值，从而得出答案．
解法二：将图形补成一个直四棱柱，然后得出求出即可，可求出，从而可求出的余弦值．
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
当双曲线的焦点在x轴上时，，离心率；
当焦点在y轴上时，，
故选：
分两种情况焦点在x轴上与焦点在y轴上，再根据离心率公式即可得到答案．
本题考查双曲线的离心率，属基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由得：
，
解得：，又，得到，
所以，
由，得到是一个关于n的开口向下抛物线，
当时，有最大值．
故选：
设等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和的公式化简，得到首项与公差的关系式，根据首项大于0得到公差d小于0，所以前n项和是关于n的二次函数，由d小于0得到此二次函数为开口向下的抛物线，有最大值，则根据二次函数的对称性可知当n等于9时，取得最大值．
此题考查了等差数列的性质，考查了二次函数的图象与性质，是一道综合题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：椭圆的蒙日圆为E：，
根据蒙日圆的定义，，得，
椭圆，，，则，
椭圆的离心率，故A正确；
点M是圆E：上的动点，椭圆的右焦点，
则的最大值是，故B正确；
根据蒙日圆的定义可知，则PQ为圆E的直径，PQ与椭圆交于两点A，B，点A，B关于原点对称，
设，，，，故C正确；
D因为PQ为圆的直径，，当点M到直线PQ的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误．
故选：
对于A，根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可求解；
对于B，根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可求解；
对于C，根据PQ为圆的直径，则点A，B关于原点对称，利用点在椭圆上，即可求解；
对于D，利用圆的几何性质，即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：等差数列为递减数列，且，，由题意知，，
，
公差，故A正确；
又，，故B正确；
由上可知，则当时，，
当时，，
数列是首项为4，公差为的等差数列，故C正确；
，，故D错误．
故选：
根据已知条件求出首项和公差，得到通项公式，再依次判断四个选项即可．
本题考查等差数列的通项及性质，属中档题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：将直线l的方程整理为，
令，解得，
则无论m为何值，直线l过定点，故A正确；
令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B错误；
因为，
所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C错误；
圆心，半径为5，，当截得的弦长最短时，，，
则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为，即，故D正确．
故选：
对于A，对直线l的方程整理，列出方程组，即可求解；
对于B，令，则，解出y的取值范围，即可求解；
对于C，结合定点在圆内，即可求解；
对于D，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：如图所示，设直线l交准线m于点Q，，若，则，

设，易知∽，所以，，，
设直线倾斜角为，则，，则，故A正确；
容易判断点E在抛物线外，设点P在准线上的投影为点，由抛物线的定义可知，，
则当P，E，三点共线时，其最小值为，故B正确；
，，易知直线l的斜率为1，将l：代入抛物线方程化简得，
则，由抛物线焦点弦公式可得：，故C错误；
由，可知，，，
所以，，故D正确．
故选：
作出图形，进而结合抛物线的定义和三角形相似判断ABD，再由焦点弦公式判断C，可得答案．
本题考查抛物线的方程，解题中需要理清数量关系，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，易知平面，平面，从而平面平面，A正确；
对于B，易知平面平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，与所成角即为与的所成角，，当P与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当P与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围是，故C不正确；
对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，三角形为底面，则三棱锥的体积不变，又，所以三棱锥的体积不变，故D正确．
故选：
利用项目垂直判断平面与平面垂直判断A；平面与平面平行的性质判断B；求出异面直线所成角的范围判断C；几何体的体积判断
本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的体积以及直线与平面的位置关系的应用，是中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：根据题意，设直线l的方程为，
所以，且，解得或，
所以直线l的方程为或，即或
故答案为：或
设直线l的方程为，根据题意可得，且，从而求出a与b的值即可得到直线方程．
本题考查直线方程的截距式的应用，考查学生的直观想象和运算求解的能力，属于基础题．
 

14.【答案】4 

【解析】解：，即，圆心坐标为，半径为2，
，即，圆心坐标为，半径为1，
两圆圆心距为4，两圆半径和为3，
因为，
所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条．
故答案为：
根据已知条件，结合两圆的位置关系，即可求解．
本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为在的图象上，
所以将代入到函数中得到：，即，
则且时，，
故答案为：
因为已知的点在函数上，所以把点的坐标代入到函数解析式中，化简得到的通项公式，然后利用即可求出的通项公式．
此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，灵活运用求出等差数列的通项公式，是一道综合题．
 

16.【答案】 

【解析】解：已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，M是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，
不妨设M为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，，
所以，，，
在中，，由余弦定理得，
化简得，即，
所以，
从而，当且仅当，时等号成立．
故答案为：
利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解．
本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题．
 

17.【答案】解：设事件“甲通过体能测试”，事件“乙通过体能测试”，事件“丙通过体能测试”，
则，，，
设表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即，
则由A，B，C相互独立，可得
故3人都通过体能测试的概率为；
设表示“只有2人通过体能测试”，则，
事件，，两两互斥，事件A与B，A与C，B与C均相互独立，
则
故只有2人通过体能测试的概率为 

【解析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式直接计算作答．
把只有2人通过体能测试的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的加法公式、乘法公式求解作答．
本题考查了相互独立事件的概率的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：为等差数列，，，
又
，是方程的两个根，
，

，

由知，

，，，
是等差数列，，，
舍去 

【解析】利用等差数列的性质可得，联立方程可得，，代入等差数列的通项公式可求
代入等差数列的前n项和公式可求，进一步可得，然后结合等差数列的定义可得，从而可求c
本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，以及构造法的运用，是一道综合性很好的试题．
 

19.【答案】解：依题意准线l的方程为，
，解得，
抛物线的方程为
设AB的方程为，，，
由，得，
，
，则，
，
，
O到AB的距离，
的面积 

【解析】依题意准线l的方程为，可得，解得p，即可得出抛物线的方程．
设AB的方程为，，，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、抛物线中的弦长公式、根与系数的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形，
而，则平行四边形是菱形，连接，如图，

则有，因，，，平面，
于是得平面，
而平面，则，由，
得，，AC，平面，
从而得平面，又平面ABC，
所以平面平面
解：在平面内过C作，由知平面平面ABC，平面平面，
则平面ABC，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，，则，
假设在线段AC上存在符合要求的点P，设其坐标为，，
则有，设平面的一个法向量，
则有，
令得，而平面的一个法向量，
依题意，，化简整理得：
而，解得，
所以在线段AC上存在一点P，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为 

【解析】连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答．
在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答．
本题主要考查面面垂直的判断定理，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：已知圆心在x轴上的圆C与直线l：切于点，
由圆心在x轴上的圆C与直线l：切于点，设，
直线l：的斜率为，
则，所以，
所以，所以，，即，
所以圆C的标准方程为；
已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆C交于，，
设直线：与圆联立方程组可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为 

【解析】根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C的标准方程．
设出直线l的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值．
本题考查直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，属中档题．
 

22.【答案】解：的垂直平分线交于点P，，
动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，
，，动点P的轨迹C的方程为；
证明：设直线l的方程为，，，
则由，得，由根与系数的关系得，①，
由题意M，N两点不在x轴上，所以，，，
又点，，所以，，由，得，
由已知得，即②，
又，③，将③代入②得，
将①代入上式并整理得
，，
整理得，，故直线l恒过定点 

【解析】，进而可得动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆，可求动点P的轨迹C的方程；
设直线l的方程为，，，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，，进而由已知可得，进而可得，可得直线l过定点．
本题主要考查椭圆中的轨迹问题，直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于较难题．