2022-2023学年河南省周口市川汇区恒大中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年河南省周口市川汇区恒大中学高二（上）期末数学试卷

1.  已知双曲线，点F为其上焦点，过点F作一条与双曲线的渐近线相垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，其中点M为垂足，点M在第二象限，且点N在第一象限，若满足为坐标原点，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D. 3

2.  已知双曲线的右顶点为A，直线与双曲线相交，从A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于点Q、若O为坐标原点，，则双曲线的离心率为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

3.  设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则的面积为(    )

A. 2 B.  C.  D. 4

4.  已知抛物线C：上的点到其准线的距离为4，则(    )

A.  B. 8 C.  D. 4

5.  已知、是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以为直径的圆上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  方程表示的曲线关于成轴对称图形，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  直线被中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的标准方程为(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

8.  在空间直角坐标系中，若点，，则(    )

A. 2 B.  C. 6 D.

9.  如图，已知正方体的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，的中点，点P在上，平面EFG，则以下说法正确的是(    )

A. 点P为的中点
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面EFG所成的角的正弦值为
D. 过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是
 

10.  已知曲线C：，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C. 若，则C是圆，其半径为
D. 若，，则C是两条直线
 

11.  某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆地球看作是球体，测得近地点A距离地面mkm，远地点B距离地面nkm，地球半径为Rkm，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(    )

A. 长轴长为
B. 焦距为
C. 短轴长为
D. 离心率

12.  已知点，A，B是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使(    )

A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

13.  设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是______.

14.  过点作圆圆的切线l，则l的方程是______.

15.  平面区域的外接圆的方程是______.

16.  已知直线l与直线互相垂直，直线l与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为______.

17.  已知，，以AB为直径的圆记为圆
求圆C的标准方程；
试判断圆M：与圆C的位置关系．

18.  如图，在三棱锥中，底面ABC为直角三角形，，且，
证明：平面平面ACD；
为BD上一点，且，求二面角的余弦值．

19.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，M是PD中点．
求直线AD与平面ACM的夹角余弦值；
求点P到平面ACM的距离．

20.  在平面直角坐标系中，已知，，，线段AC的中点M；
求过M点和直线BC平行的直线方程；
求BC边的高线所在直线方程．

21.  已知圆及其上一点
设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且，求直线l的方程；
设圆与圆外切于点A，且经过点，求圆的方程．

22.  已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点．
求椭圆C的方程；
为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，不与点A重合两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为，，k，若，证明：三角形的周长为定值，并求出定值．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：由题意可知，，：，，
所以，所以，
又，，
所以由角平分线定理可得，
所以由勾股定理可得，即，即，
所以
故选：
先利用点到直线的距离公式求得，然后结合图形和角平分线定理可得，然后可解．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：由题意，，
AR所在直线方程为，
联立，解得，即，
同理可得，
则，
由题意知，
，解得或舍去

故选：
由题意画出图形，分别求出AR、AQ所在直线方程，与直线联立求得R、Q的坐标，结合，即可求解双曲线的离心率．
本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，考查数形结合思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：，焦点，
又P为C上一点，，可得，
代入抛物线方程得：，

故选：
根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用，求得P点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算即可得到．
本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键，是基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：抛物线C：开口向上，准线方程为，
抛物线C：上的点到其准线的距离为4，
可得：，
解得
故选：
利用抛物线的定义，列出方程，求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：如图，
双曲线，，
则，又，
解得，，
，即，可得，
，
，
故选：
由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解c，再由余弦定理求，进一步得，则答案可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：曲线关于成轴对称图形，即圆心在上．圆心坐标是，所以
故选：
由圆的方程一般式求出圆心，代入对称轴方程即可．
本题考查圆的一般式方程，求圆心等，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由直线被双曲线截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，可得双曲线的焦点在x轴上．
不妨设双曲线方程为
直线被双曲线截得的线段长为所以当时，，①
由双曲线的渐近线方程为，直线被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，
所以对于，当时，，即，②
联立①②可得，故双曲线方程为，
故选：
由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组确定a，b的值即可求得双曲线的方程．
本题主要考查双曲线方程的求解，待定系数法的应用等知识，属于中等题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：由题意得，
故选：
直接由空间两点的距离公式求解即可．
本题考查了空间两点间距离公式，属于基础题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面EFG的法向量为，
则，取，
对A选项，设，则，
平面EFG，，
，
，，
，，
，点P为的中点，选项正确；
对B选项，设P点到平面EFG的距离为d，
则，
又，，，
即，
又，
，，
，
三棱锥的体积，选项正确；
对C选项，，平面EFG的法向量，
设直线与平面EFG所成的角为，
则，
直线与平面EFG所成角的正弦值为，正确；
对D选项，取的中点Q，的中点H，的中点K，连接GQ，QH，HK，KF，
则过点E、F、G作正方体的截面，截面是边长为的正六边形EFKHQG，
正六边形EFKHQG的面积为，截面面积为，错误．
故选：
A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点P为的中点；
B选项，求出P点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积；
C选项，利用空间向量求解线面角的大小；
D选项，作出辅助线得到过点E、F、G作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可．
本题考查向量法求解线面平行问题，向量法求解点面距问题，向量法求解线面角问题，正方体的截面问题，属中档题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：曲线C：
若，方程化为，得，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A正确；B错误；
若，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；
若，，方程化为，即，则C是两条直线，故D正确．
故选：
化方程为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查圆锥曲线的方程及几何性质，是基础题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：由题意可得，可得，，
所以长轴长，焦距，故A，B正确；
可得短轴长，可得C不正确；
离心率，所以D正确；
故选：
本题考查同样的远日点和近日点的应用，求出a，c的值，进而求出b的值，判断所给命题的真假．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
 

12.【答案】ABC 

【解析】解：设，且，
 ①，
将A点坐标代入椭圆，可得，
则代入①可得，，
故，，对照选项， 可以取
故选：
根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式，以及二次函数的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由椭圆与抛物线的对称性，不妨设点P在x轴的上方，
又抛物线方程为，，
，
，将其代入抛物线方程中，可得，
，将其代入椭圆方程中，
解得，
，，，
，
故答案为：
先算出点P的坐标，进而求出椭圆的方程，即可求得面积．
本题考查椭圆与抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：当直线l无斜率时，方程为l：，显然与圆不相切，
故直线l有斜率，设斜率为k，则直线方程为：，
由l是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
故直线方程为：
故答案为：
根据圆心到直线的距离等于半径即可列方程求解．
本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可知不等式组，
表示的平面区域为，
联立；；
可得，，，
故可设圆的方程为：；
把A，B，C三点坐标代入得：；解得：，，
则所求圆的方程为：；
故答案为：
根据已知和图形可知，不等式组围成的平面区域是一个三角形，分别求出外接圆的圆心和半径即可得到圆的方程．
本题主要考查学生会根据二元一次不等式组得到一个平面区域，会根据条件求圆的方程．学生做题时应注意利用数形结合的思想解决数学问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线l与直线互相垂直，直线l与的斜率为，
由于它与直线在y轴上的截距相等，则直线l经过点，
故它的方程为，即，
故答案为：
由题意利用两直线垂直的性质求出要求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．
本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
 

17.【答案】解：根据题意，，，则AB的中点为，，
以AB为直径的圆记为圆C，则圆C的圆心为AB的中点，即，半径，
故圆C的标准方程为；
根据题意，圆M：，即，圆心为，半径，
两圆圆心距，
有，则两圆相交． 

【解析】根据题意，求出AB的中点坐标和，即可得圆C的圆心和半径，由圆标准方程的形式分析可得答案；
根据题意，求出圆M的圆心和半径，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查圆的标准方程，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
 

18.【答案】证明：由题意可知，≌，所以，
又是直角三角形，所以，
取AC的中点O，连结DO，BO，
所以，，
又因为，，所以为正三角形，
所以，
因为，，，
故，
所以，
因为，OB，平面ABC，所以平面ABC，
又平面ADC，所以平面平面ACD；
解：由题设以及可知，OA，OB，OD两两垂直，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
又，即，
所以点E时BD的中点，设，
则，，，，，
则，
设平面CAE的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面BAE的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
故，
由图可知，二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为 

【解析】利用三角形全等以及直角三角形可得，，再由为正三角形，得到，结合勾股定理可得，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角角的求解问题，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
 

19.【答案】解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，则有，，，，
是PD的中点，，
，，，
设平面ACM的一个法向量为，
则有，取，得，
设直线AD与平面ACM所成的角为，则有
，

故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为；
，平面ACM的一个法向量为，
设点P到平面ACM的距离为d，则有

故点P到平面ACM的距离为 

【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线AD与平面ACM所成角的正弦值，进一步得到直线AD与平面ACM的夹角余弦值；
求得的坐标，由可得平面ACM的一个法向量，由求点P到平面ACM的距离．
本题考查空间角及空间距离的计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：因为，，，
所以，，
所以过M点和直线BC平行的直线方程为，
即；
因为，
所以BC边的高线的斜率为，
所以BC边的高线所在直线方程，
即 

【解析】根据，，，求得点M的坐标，和直线直线BC的斜率，写出直线方程；
根据，得到BC边的高线的斜率，写出直线方程．
本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为直线，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为，
则圆心到直线l的距离，
则，
又，
所以，解得或，
故直线l的方程为：或；
因为圆与圆外切于点A，
所以圆心在直线上，
由两点式得直线方程为，
又因为圆经过点A和P，
所以圆心在AP的中垂线上，AP中点为，
所以AP中垂线方程为，即，
由解得圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为 

【解析】由题意可设直线l的方程为，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；
由题意可知圆心在直线上也在在AP的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力了，属于中档题．
 

22.【答案】解：设由已知椭圆C的方程为，
代入，两点坐标得，得，，
椭圆C的方程为
证明：设直线l：，设，，
由，得，
，，
又，，

，
由，得，
故，，，
①当时，直线l：，过定点，与已知不符，舍去，
②①当时，直线l：，过定点，即直线l过左焦点，
三角形的周长为定值． 

【解析】设由已知椭圆C的方程为，由已知可求椭圆C的方程；
设直线l：，设，，联立直线方程与椭圆方程得，，进而由已知可得，，分类讨类可得三角形的周长为定值．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的关系，考查运算求解能力，属中档题．