2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷

1.  直线的倾斜角等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  抛物线的准线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在空间直角坐标系中，点，，则(    )

A. 直线坐标平面xOy B. 直线坐标平面xOy
C. 直线坐标平面xOz D. 直线坐标平面xOz

4.  在的展开式中，的系数为(    )

A. 6 B. 12 C. 24 D. 36

5.  在长方体中，，，，则二面角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若直线与圆相离，则实数m的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  设，则“”是“直线：与直线：平行”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

9.  如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设点，，直线l：，于点M，则的最大值为(    )

A.  B. 6 C. 4 D.

11.  设，，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为______.

12.  在的展开式中，常数项等于______.

13.  设F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线C上，点，且，则______.

14.  记双曲线C：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______.

15.  如图，在正方体中，，E为棱的中点，F是正方形内部含边界的一个动点，且平面给出下列四个结论：
①动点F的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点F，使得；
③三棱锥的体积的最大值为；
④设直线与平面所成角为，则的取值范围是
其中所有正确结论的序号是______.

16.  从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动．
共有多少种不同的选择方法？
若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？

17.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，
求证：；
求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值．

18.  在平面直角坐标系中，，，曲线C是由满足直线PA与PB的斜率之积等于定值的点P组成的集合．
若曲线C是一个圆或圆的一部分，求的值；
若曲线C是一个双曲线或双曲线的一部分，且该双曲线的离心率，求的取值范围．

19.  已知椭圆C：的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍．
求椭圆C的方程；
记斜率为1且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点A，B？若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由．

20.  如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，E为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．
条件①：；
条件②：
求直线CE与所成角的余弦值；
求点到平面BCE的距离；
已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段CM的长．

21.  已知椭圆C：的焦点在x轴上，且离心率为
求实数t的值；
若过点可作两条互相垂直的直线，，且，均与椭圆C相切．证明：动点P组成的集合是一个圆．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：由直线，可得直线的斜率为，
设其倾斜角为，，
则，
，
即直线的倾斜角的大小为
故选：
由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．
本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：因为抛物线的标准方程为：，焦点在y轴上；
所以：，即，
所以：，
准线方程，
故选：
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程．
本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由，，知，
因为平面xOz的一个法向量为，所以，即，
又平面xOz，
所以直线坐标平面
故选：
平面xOz的一个法向量为，易得，再由线面平行的判定定理，得解．
本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握利用空间向量判断线面平行或垂直的方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：的展开式通项为 ，
令，解得，
故的系数为
故选：
在二项展开式的通项中，令x的指数为2，求出参数值，然后代入通项，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：如图所示，
在长方体中，平面，
平面，所以，又，
所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
所以，
即二面角的余弦值为
故选：
根据条件，可知二面角的平面角为，然后求出即可．
本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：圆的圆心为，半径为1，
因为直线与圆相离，
所以，即得或，
故选：
根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，解出即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：先安排两位老师有种排法，
三位获奖学生有种排法，
共有站法，
故选：
先将两位老师安排，再将学生全排列，即可解出．
本题考查了统计与概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：因为“”时，“直线：与：”
化为：与：，显然两条直线平行；
如果“直线：与：平行”
必有，解得或，
所以“”是“直线：与：平行”的充分不必要条件．
故选：
利用判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出，即可得到答案．
本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．
 

9.【答案】A 

【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，
所以椭圆方程为：，
令得，，故水面的宽度为：，
故选：
根据题意建立平面直角坐标系，得出椭圆的方程，即可解出．
本题考查了椭圆的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：直线l：，
则，
则，解得，，即直线l恒过点，
设，
，，
，
即
故点M的轨迹为，
该轨迹是以为圆心，半径为1的圆，

故选：
先求出直线l过定点，再根据条件求出点M的轨迹方程，再结合轨迹方程求出的最大值．
本题考查的知识要点：定点的直线系，圆的方程，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
则，
则与AB垂直的直线方程的斜率，
线段AB的中点坐标为，
故过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为，即
故答案为：
求出中点坐标公式，直线与直线垂直，点斜式方程即可求出．
本题考查了中点坐标和直线与直线的垂直，属于基础题．
 

12.【答案】15 

【解析】解：展开式的通项为，，得，
故展开式的常数项为第5项：
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为0得常数项．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
 

13.【答案】 

【解析】解：F为抛物线C：的焦点，点A在C上，点，，
由抛物线的定义可知不妨在第一象限，所以
故答案为：
利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
 

14.【答案】内的任意一个值都满足题意 

【解析】解：双曲线C：的离心率为e，，
双曲线的渐近线方程为，
直线与C无公共点，可得，即，即，
可得，
满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值可以为：
故答案为：内的任意一个值都满足题意
求出双曲线渐近线方程，利用直线与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
 

15.【答案】②③④ 

【解析】解：对于①，分别取和的中点N，M，连接MN，，，

由正方体的性质知，，平面，、平面，
，平面，
又MN，平面，，
平面平面，
当F在MN上运动时，有平面，
动点F的轨迹是线段MN，故①错误；
对于②，当F为线段MN中点时，
，，
又，，故②正确；
对于③，三棱锥的体积，
又，
三棱锥的体积最大值为，故③正确；
对于④，连接，，则与平面所成角，
则，
，
的范围是，故④正确．
故答案为：②③④．
对于①，利用线线平行能证明平面平面，由此能求出点F的轨迹；
对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；
对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；
对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解．
本题考查线面平行、线线垂直的判定与性质、三棱锥体积公式、线面角定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】解：由题意可知选取的方法共有种选法，
由题意选取的人为1女2男，2女1男，
共有种选法． 

【解析】利用排列，组合的简单计数原理对各个问题逐个求解即可．
本题考查了排列，组合的简单计数原理的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又底面ABCD为正方形，所以，
又，且PA，平面PAB，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以
以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，
则，，
设平面PBD的一个法向量为，
则，即，令，可得，
易知是平面PAB的一个法向量，
所以，，
所以平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为 

【解析】根据线面垂直的性质定理，可得，再根据底面是正方形可证明线面垂直，由线面垂直的性质，即可得；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB与平面PBD的法向量，由向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．
本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查转化思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设点P的坐标为，，，
，
则，其中，
当曲线C是一个圆或圆的一部分时，则，此时圆的方程为，；
曲线C是一个双曲线或双曲线的一部分，由可得，
焦点在x轴上，此时，，
则，
则，
解得，
故的取值范围为 

【解析】根据斜率公式即可求出点的轨迹方程，根据轨迹方程，即可求出，此时圆的方程为，；
由轨迹方程可得焦点在x轴上，此时，，根据离心率公式即可求出．
本题考查了点的轨迹方程，双曲线的性质和圆的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：由题意可得，，解得，，
所以椭圆C的方程为：；
由题意可得直线l的方程为，
假设存在A，B满足条件，则可得直线l为线段AB的中垂线，所以直线AB的斜率为，
设直线AB的方程为，设则AB的中点，
由题意可得D在直线l上，
联立，整理可得：，
可得，即，即，
，，
所以，
将D的坐标代入直线l上，可得：，可得，不符合，
所以椭圆上不存在关于直线l的对称A，B两点． 

【解析】由离心率可得a，b的关系，再由长轴长是短轴长的2倍，可得a，b的关系，两式联立求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得直线l的方程，假设存在满足题中的条件，可得直线l为线段AB的中垂线，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，进而求出AB的中点D的坐标，可得D点在直线l上，可得参数的值，不符合的条件．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，点关于直线的对称的性质的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：选择条件①：，
由平面ABCD，且平面ABCD，知，
因为，，，平面，所以平面，
所以，
故以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线CE与所成角为，
则，，
所以直线CE与所成角的余弦值为

选择条件②：，
过点C作，交AB于点F，
因为，所以四边形ADCF为平行四边形，所以，，
所以，
因为，所以，即，所以，
故以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线CE与所成角为，
则，，
所以直线CE与所成角的余弦值为
，，
所以，，
设平面BCE的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
所以点到平面BCE的距离
设，，则，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
因为直线EM与平面所成角的正弦值为，
所以，，即，
所以，化简得，解得或，
所以或，
故线段CM的长为或 

【解析】选择条件①：由，，可证平面，从而有，故以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE与所成角为，由，，得解；
选择条件②：过点C作，交AB于点F，可证四边形ADCF为平行四边形，再结合勾股定理证明，从而知，故以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE与所成角为，由，，得解；
求得平面BCE的法向量，由，即可得解；
设，，求得平面的法向量，由，，可得关于的方程，解之即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求异面直线夹角、线面角以及点到面的距离的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知得，解得，
且，，故，
故，解得；
证明：由知椭圆方程为，
当一条切线的斜率存在且不为0时，设其方程为，，代入椭圆的标准方程化简后得：
，
因为是切线，故，化简得①，
设该切线过点，故，得，代入①式化简得②，
再将代入上式整理得③，
②+③得，故④，
当或不存在时，两切线只能是，且，
它们的交点为，显然满足方程④，
故动点P组成的集合是以原点为圆心，半径为的圆． 

【解析】利用离心率的计算公式直接求解；
根据写出，的点斜式方程，与椭圆的方程联立，利用得到，k，d的关系式①，再将代入切线方程，整理后代入①式，找到m，n的一个关系式②，再利用是另一条切线的斜率，替换②式中的t，得到另一个m，n的关系式③，最后结合②③两式不难得到结论，最后验证斜率不存在的情况．
本题考查椭圆的标准方程和离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系问题的解题思路，属于难题．