2022-2023学年安徽省淮北市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省淮北市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知扇形的弧长为2，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】设扇形的圆心角弧度数为，半径为r，根据扇形的弧长为2，求得半径r,然后根据扇形面积是1，由求解.
【详解】设扇形的圆心角弧度数为，半径为r，
因为扇形的弧长为2，
所以，
又因为扇形面积是1，
所以，
解得．
故选：B
【点睛】本题主要考查扇形弧长公式及面积公式，属于基础题.
2．已知角α的终边过点，则角α为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】根据，即可得答案；
【详解】，
点在第三象限，
角α为第三象限角.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力，属于基础题.
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用和的单调性可得到，，然后利用的单调性可得到，即可得到答案
【详解】设，因为在上为增函数，且，
所以，即；
因为在上为减函数，，所以，即；
因为在上为减函数，，所以，即，
综上可得，
故选：A．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．已知则满足不等式的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析的单调性，结合单调性解不等式.
【详解】由解析式可知，
在为常函数，在上单调递增，
且，故在R上连续，
若，
则，得；
或，得；
综上，，
故选：C.
6．关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式化为，讨论和时，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．
【详解】原不等式可化为，
若，则不等式的解是，，
不等式的解集中不可能有4个正整数，
所以，不等式的解是，；
所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；
令，解得；
所以的取值范围是，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．
7．标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 （）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，对取对数可得，即可得，分析选项即可得答案．
【详解】据题意，对取对数可得，即可得
分析选项：B中与其最接近，
故选B.
【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．
8．已知函数的值域是全体实数R，则实数m的取值范围是（ ）
A．(-4，+∞)B．[- 4，+∞)C．(-∞，-4)D．(-∞，-4]
【答案】D
【解析】根据的值域是全体实数，以及，求得实数的取值范围.
【详解】由于.要使函数的值域是全体实数R，则需，解得.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的值域求参数的取值范围，考查基本不等式求最值，属于基础题.
二、多选题
9．下列说法正确的有( )
A．命题“”的否定是“”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．
【详解】命题“”的否定是“”，故A正确；
∵命题“，”为假命题，则关于x的方程无实数根，故，解得，故B正确；
∵可得；但当，时，有；∴“若，则”是“”的充分不必要条件，故C错误；
当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD﹒
10．定义在上的函数，对任意的，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．D．对，恒成立
【答案】AC
【分析】由已知可确定在上单调递增且图象关于对称；
由函数图象平移可知关于对称，知A正确；由偶函数的性质知B错误；
由对称性可确定在上单调递减且，由此可确定C正确；
若在处不连续，则未必成立，知D错误.
【详解】对任意的，都有，
在上单调递增；
为偶函数，图象关于轴对称，图象关于对称；
对于A，将向右平移个单位长度后，得到，图象关于对称，A正确；
对于B，为偶函数，图象关于轴对称，B错误；
对于C，图象关于对称，；
又在上单调递增，在上单调递减，，
即，C正确；
对于D，在上单调递增，在上单调递减，但对于处未定义，若不连续，则对，未必成立，D错误.
故选：AC.
11．下列各式中，值为的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】对A，由诱导公式及倍角公式化简求值；
对B，由诱导公式及和差公式化简求值；
对C，由正切倍角公式化简求值；
对D，由正切和差公式化简求值.
【详解】对A，，A错；
对B，，B对；
对C，，C对；
对D，,
∵，∴，D对.
故选：BCD
12．已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则下列正确的是（ ）
A．的范围B．+++的范围
C．的取值范围 D．的范围
【答案】AC
【分析】根据给定的分段函数，作出函数的图象，把函数零点问题转化为直线与函数图象交点求解，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】函数有四个零点，等价于直线与函数的图象有4个交点，其横坐标依次为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，，由得，，
由，即得，且有，
因此的范围是，A正确；
由得，，显然在上递减，
因此，则，B不正确；
，显然函数在上单调递减，则，当且仅当时取等号，C正确；
因为，，则有，
当时，，当时，，即的取值范围是，D不正确.
故选：AC
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
三、填空题
13．函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】根据对数的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】根据题意得，，即，
所以，
所以函数的定义域.
故答案为：
14．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是___________
【答案】
【分析】先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
取等号时，即，
所以，解得，
故答案为：.
15．已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为________________．
【答案】
【分析】把函数两点零点都在转化为函数值正负,列不等式求解即可.
【详解】因为函数的两个零点都在内，
所以即
解得，所以的取值范围为
故答案为:
16．已知函数，则方程的根的个数为 ________．
【答案】4
【分析】作出函数的大致图象，根据与的图象交点个数即可得出结果.
【详解】方程的根的个数，
即函数与函数的图象交点个数，
在同一坐标系中作出两个的图象，如下：

由图象可知，方程的根的个数为4.
故答案为：4
四、解答题
17．已知：集合集合
（1）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
（2）若,求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先解出集合，由条件可知，列不等式求的取值范围；（2）由条件可知，再分和两种情况列式求的取值范围.
【详解】解：（1），
因为是的充分不必要条件，所以.
即：，（等号不能同时取）
故m的范围为
（2）因为所以
①当时：，
②当时：
， 即
综上可得：m的范围为
【点睛】本题考查根据充分必要条件，以及集合的包含关系求参数的取值范围，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
18．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】利用诱导公式即可化简求值得解；将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求的值，即可化简所求计算得解.
【详解】（1）
.
（2）∵，
∴，∴，
∴.
【点睛】本题需要熟练运用诱导公式进行化简，熟记化简方法：奇变偶不变，符号看象限，在求同角三角函数值时注意公式的运用，以及对已知条件的化简.
19．（1）设，且求角的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角差公式求解；(2)利用正弦的两角和、差公式化简证明即可.
【详解】（1），且
，，
，
又因为，所以，
由得，
则，
即有．
20．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若任意的，恒有，求m的范围.
【答案】(1)，对称中心
(2)
【分析】（1）直接根据周期公式求最小正周期，通过可求得对称中心；
（2）先根据正弦函数的性质求出的值域，再将恒成立问题转化最值问题来求解m的范围.
【详解】（1）,
则，
令，得，即对称中心为
故函数的最小正周期为，对称中心为；
（2）当时，，
，
，
又由得，
根据已知任意的，恒有，
则，解得
即m的范围为.
21．已知函数是奇函数，且．
(1)求实数k的值；
(2)若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质进行求解即可.
（2）利用复合函数的单调性的性质，结合奇函数的性质、正弦函数的值域进行求解即可.
【详解】（1）因为是奇函数，
所以有
，
由，
所以；
（2）由（1）可知，
由复合函数的单调性的性质可知：函数在上是减函数．
由，即，因为在上是减函数，所以，对任意的有解，
即，有解，
由，则，所以，所以，
故得实数的取值范围．
【点睛】关键点睛：根据函数单调性的性质，结合同角的三角函数关系式是解题的关键.
22．若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数其中为常数.
（1）若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集；
（2）已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，
（i）求函数的值域；
（ii）对于上的任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.
【解析】（1）根据局部奇函数性质得，进而，即，由于，，故的解集为；
（2）（i）由题得，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数的值域；（ii）根据题意分当时，当时，当时三种情况讨论求解.
【详解】解：（1）对上成立，即，
所以，故等价于，
令，即，解得或，
又，，，又
的解集为.
（2）（i）
①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以；
②当，令，为对勾函数，，所以.
的值域为
（ii）①当时，， ，
②当时，， 成立，
③当时，， ，
综上，的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当时，当时，当时三种情况讨论求解.