初中数学中考复习 考点20 尺规作图-中考数学考点一遍过

考点18  尺规作图

一、尺规作图

1．尺规作图的定义

在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．

2．五种基本作图

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；

（4）作一条线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

3．根据基本作图作三角形

（1）已知三角形的三边，求作三角形；

（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；

（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；

（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；

（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

（2）作三角形的内切圆．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．

6．作图题的一般步骤

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．

其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

二、尺规作图的方法

1．尺规作图的关键

 （1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

 （2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．

 2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．

考向一 基本作图

1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．

2．基本作图有五种：学-科网

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；

（4）作一条线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

典例1  已知：线段AB和AB外一点C．

求作：AB的垂线，使它经过点C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】见解析

【解析】如图所示，直线CD即为所求．

典例2  如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．

（1）尺规作图：

①在AN上取一点C，使BC=BA；

②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．

【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；

如图，点C即为所求作；

②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；

1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的

A．角平分线 B．中线 

C．高线 D．都有可能

2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；

（2）∠ADC的度数．

考向二 复杂作图

利用五种基本作图作较复杂图形．

典例2  如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．

（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．

①作射线AC；

②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；

③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．

（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．

【答案】见解析．

【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；

③如图所示，线段CF即为所求；

（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．

故答案为：两点之间，线段最短．学科-网

3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）

1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是

A．用尺规作一条线段等于已知线段   

B．用尺规作一个角等于已知角

C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角   

D．不能确定

2．下列作图属于尺规作图的是

A．画线段MN=3 cm

B．用量角器画出∠AOB的平分线

C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线

D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α

3．如图，用直尺和圆规作∠A′O′B′=∠AOB，能够说明作图过程中△C′O′D′≌△COD的依据是

A．角角边         B．角边角    

C．边角边         D．边边边

4．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧FG是

A．以点C为圆心，OD为半径的弧

B．以点C为圆心，DM为半径的弧

C．以点E为圆心，OD为半径的弧

D．以点E为圆心，DM为半径的弧

5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是

A．作一个角等于已知角

B．作已知直线的垂线

C．作一条线段等于已知线段

D．作角的平分线

6．如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法：

甲：①作∠A的角平分线l；

②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；

乙：①过点B作平行于AC的直线l；

②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．

A．两人都正确        B．两人都错误

C．甲正确，乙错误       D．甲错误，乙正确

7．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．学!科网

8．如图，已知线段a，b，c．请画一条线段，使它的长度等于2a+b–c（不写画法，保留痕迹）.

9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）

已知：线段AB

求作：线段AB的垂直平分线MN．

10．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．

①在射线BM上作一点C，使AC=AB；

②作∠ABM的角平分线交AC于D点；

③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．

1．（2018•大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为

A．45° B．60° 

C．90° D．135°

2．（2018•安顺）已知△ABC（AC<BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是

A． B．

C． D．

3．（2018•舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是

A． B． 

C． D．

4．（2018•河北）尺规作图要求：

Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；

Ⅱ、作线段的垂直平分线；

Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；

Ⅳ、作角的平分线．

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是

A．①–Ⅳ，②–Ⅱ，③–Ⅰ，④–Ⅲ B．①–Ⅳ，②–Ⅲ，③–Ⅱ，④–Ⅰ

C．①–Ⅱ，②–Ⅳ，③–Ⅲ，④–Ⅰ D．①–Ⅳ，②–Ⅰ，③–Ⅱ，④–Ⅲ

5．（2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是

A． B． 

C． D．

6．（2018•鄂尔多斯）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：

①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点M，N；

②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，

则下列说法错误的是

A．∠ABC=60° B．S△ABE=2S△ADE

C．若AB=4，则BE=4 D．sin∠CBE=

7．（2018•郴州）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为

A．6 B．2 

C．3 D．3

8．（2018•河南）如图，已知AOBC的顶点O（0，0），A（–1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为

A．（–1，2） B．（，2） 

C．（3–，2） D．（–2，2）

9．（2018·巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是

A．CF=FG B．AF=AG 

C．AF=CF D．AG=FG

10．（2018·百色）已知∠AOB=45°，求作∠AOP=22.5°，作法：

（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点N，M；

（2）分别以N，M为圆心，以OM长为半径在角的内部画弧交于点P；

（3）作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，可得∠AOP=22.5°．

根据以上作法，某同学有以下3种证明思路：

①可证明△OPN≌△OPM，得∠POA=∠POB，可得；

②可证明四边形OMPN为菱形，OP，MN互相垂直平分，得∠POA=∠POB，可得；

③可证明△PMN为等边三角形，OP，MN互相垂直平分，从而得∠POA=∠POB，可得．

你认为该同学以上3种证明思路中，正确的有

A．①② B．①③ 

C．②③ D．①②③

1．【答案】B

【解析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线，故选B．

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°．

3．【解析】首先作一条射线，进而截取AB=A′B′，∠CAB=∠C′A′B′，进而截取AC=A′C′，进而得出答案．

如图所示：△A′B′C′即为所求．

1．【答案】C

【解析】根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C．

2．【答案】D

【解析】选项A，画线段MN=3 cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；选项B，用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；选项C，用三角尺作过点A垂直于直线l的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；选项D，正确．故选D．

3．【答案】D

【解析】由题意可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，

在△COD和△C′O′D′中，，

∴△COD≌△C′O′D′（SSS），故选D．

4．【答案】D

【解析】作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选D．

5．【答案】C

【解析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C．

6．【答案】A

【解析】（甲）如图一所示，

∵△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BEA=90°，

∴∠BED=90°，∴∠BEA=∠BED=90°，由甲的作法可知，AB=BD，

∴∠ABC=∠DBC，在△ABC与△DBC中，，

∴△ABC≌△DBC，故甲的作法正确；

（乙）如图二所示，

∵BD∥AC，CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，

在△ABC和△DCB中，，

∴△ABC≌△DCB（ASA），∴乙的作法是正确的．故选A．

7．【答案】40°

【解析】∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，

∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，

∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∴∠C=40°，

故答案为：40°．

8．【解析】利用尺规作图，作一条线段等于已知线段，即可求解．

如下图所示，线段OD即为所求．

9．【解析】作法：

（1）分别以A，B点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

（2）作直线MN，MN即为线段AB的垂直平分线．

10．【解析】（1）如图所示：

（2）BD=DE，

证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠ABC．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠4．∴∠1=∠4．

∵CE=CD，∴∠2=∠3．

∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=∠4．∴∠1=∠3．∴BD=DE．

1．【答案】A

【解析】如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=45°，∵l∥l'，∴∠α=∠1=45°，故选A．

2．【答案】D

【解析】A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；

B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；

C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；

D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；

故选D．

3．【答案】C

【解析】A、由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确；

B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；

C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；

D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；

故选C．

5．【答案】B

【解析】已知：直线AB和AB外一点C．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．

（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，

（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．故选B．

6．【答案】C

【解析】由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；

∵AB=2DE，∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；

作EH⊥BC交BC的延长线于点H，如图，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1，EH=CH=，

在Rt△BEH中，BE==2，所以C选项的说法错误；

sin∠CBE===，所以D选项的说法正确．故选C．

7．【答案】C

【解析】过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，

则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选C．

8．【答案】A

【解析】∵AOBC的顶点O（0，0），A（–1，2），∴AH=1，HO=2，

∴Rt△AOH中，AO=，由题可得，OF平分∠AOB，∴∠AOG=∠EOG，

又∵AG∥OE，∴∠AGO=∠EOG，∴∠AGO=∠AOG，

∴AG=AO=，∴HG=–1，∴G（–1，2），故选A．

9．【答案】A

【解析】根据作图的步骤得到：BF是∠CBG的平分线，

A、因为BF是∠CBG的平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；

B、AF是直角△AFG的斜边，AF＞AG，故本选项错误；

C、BF是∠CBG的平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本选项错误；

D、当Rt△ABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；

故选A．学-科网