2023高三数学二轮热点题型专项突破专题12 三角形中的最值与范围（新高考全国通用）

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三角形中的最值与范围 专题解析 1、求边的最值范围 2、求角的最值范围 3、求面积的最值范围 4、其他目标的最值范围 解题策略 利用函数思想与不等式的思想求最值与范围 专项突破 类型一、边范围与最值（函数思想） 例1-1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的值； （2）若，当边c取最小值时，求的面积． 练．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________. （1）求； （2）若的面积为，的中点为，求的最小值. 练.(2021·济南模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ccos A＋(a＋2b)cos C＝0. (1)求C的大小； (2)△ABC的面积等于4eq \r(3)，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长. 例1-2．记的内角的对边分别为．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题． ①；②（其中为的面积）；③． （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 例1-3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，． （1）若，求c的值； （2）求的最大值． 练．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 练、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 练．（2021•浙江模拟）已知中，边上的高为2，为上一动点，满足，则的最小值是　　． 类型二、边范围与最值（不等式思想） 例2-1.（广东省湛江市湛江一中2021届高三下学期3月模拟T17）．在中，内角的对边分别为,已知. （1）求的值； （2）若为钝角，，求的取值范围． 练. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 类型三、求角范围与最值（函数思想） 例3-1（广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考15）．一条形“标语”挂在墙上，把“标语”看作线段AB，射线AB与地面交点为D，且AB与地面垂直，米，米，某人直立看“标语”AB，眼睛C距离地面1米，当最大时，此人的脚到D点的距离为______米． 练．（2021•平阳县模拟）在中，，点在线段上，且满足，则的最小值为　　 A．0 B． C． D． 练、 (2021·安徽高三一模(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝csin B，则tan A的最大值为(　　) A. 1 B. eq \f(5,4) C. eq \f(4,3) D. eq \f(3,2) 例3-2．已知，，分别是的内角，，所对的边，，再从下面条件①与②中任选个作为已知条件，完成以下问题． （1）证明：为锐角三角形； （2）若，为的内角平分线，且与边交于，求的长． ①；②． 类型四、角范围与最值（不等式思想） 例4-1．在中，内角所对边分别为，若. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 练. (2021·南京、盐城一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C. (1)求sin C的取值范围； (2)若c＝6b，求sin C的值． 类型五、面积范围与最值（函数思想） 例5-1、(2021·广东揭阳高三一模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2＋c2，则△ABC的面积的最大值为________． 练．（2021春•昆明期末）已知中，，是的中点，，则面积的最大值为　　 A． B．3 C． D．6 练．已知分别为三个内角的对边，且满足记的面积为S. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，，且恒成立，求实数的范围. 练、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 练．已知△ABC的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）在中，为边上一点，且，，求面积的最大值． 练．已知，，令其中，满足. （1）求的解析式； （2）在锐角中，角所对边分别为，且，求的面积的取值范围． 练．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答 在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的最值 练．在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，已知． （1）求； （2）若是角的平分线，且，求的面积的最小值． 练．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的周长为，求面积的最大值． 练．（2021•浙江模拟）在中，，为的中点，，则　　，面积的最大值为　　． 类型六、其他目标最值与范围 例6-1．（2021春•台州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）记边上的高为，求的最大值． 练．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且. （1）求A的值； （2）若的外接圆直径为1，求的取值范围. 练. (2021·徐州联考)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acos B＝1，bsin A＝2. (1) 求sin(A＋C)的值和边长a的值； (2) 当b2＋c2取最小值时，求△ABC的面积． 例6-2．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 练．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答 在中，角，，的对边分别为，，且______，求的取值范围. 练. (2021·安徽蚌埠高三二模(文))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos C＋eq \r(3)asin C－b－c＝0，则△ABC外接圆周长与△ABC周长之比的最小值为________． 练. (2021·安徽蚌埠高三二模(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos C＋2eq \r(3)sin C－b－c＝0，且a＝2，则△ABC内切圆半径的最大值为________． 类型七、寻找函数关系 例7-1．（2021•平湖市模拟）已知中，，，为边上的点．若平分，求线段长的取值范围． 练．如图，已知平面四边形中，． （1）若，，求的面积； （2）若，，，求的最大值． 练．已知中，，是的中点，，则面积的最大值为　　 A． B．3 C． D．6 练．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3． （1）证明：3cosA－4cosC＝1； （2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12＋S22的最大值．