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2022-2023学年辽宁省沈阳市第八十三中学高二上学期开学考试数学试题 （Word版）
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2022-2023（上）学期期初考试高二数学试题 一、单选题 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 与两平行线：，：等距离的直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 5. 已知两点，直线与线段相交，则直线斜率取值范围是 A B. C. D. 6. 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则 B. 若直线l方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 7. l1，l2是分别经过，两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 16 二、多选题 9. 已知直线：和直线：，则（ ） A. 若，则或 B. 若在轴和轴上的截距相等，则 C. 若，则或2 D. 若，则与间的距离为 10. 下列四个命题中，正确命题的有（ ） A. 若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为； B. 若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； C. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为； D. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. 11. 下列说法中，表述正确的是( ) A. 向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B. 若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C. 若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D. 若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线AP与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 13. 设空间向量，，若，则 ___． 14. 已知直线的方程为，直线的方程为，若，则直线与的交点坐标为______． 15. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________. 16. 设，求的最小值是___________. 四、解答题 17. 已知直线. （1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： （2）当直线l不通过第四象限时，求实数a取值范围. 18. 如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且． （1）求证：平面ACF： （2）求点B到平面ACF的距离． 19. 已知直线l：x+2y-2=0．试求： （1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标； （2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程． 20. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）若棱上存在一点，满足，求的长； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 21. 已知直线过点（1，2）. （1）若直线与平行，求直线的方程； （2）若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值. 22. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值． 答案 1-8 DABDA BAB 9.CD 10.CD 11.AC 12.AB 13. 14. 15. 16. 17.（1）由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得 ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. （2）当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限； 当时，直线/的方程为：. l不通过第四象限，即，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为 18.（1）以坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则, 设面的一个法向量为，， 可得，即，不妨令则, 平面. （2），则点到平面的距离为. 19. （1） 设点关于直线的对称点为， 则线段中点在对称轴上,且. ∴即的坐标为. (2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由 将的坐标代入直线的方程得. ∴直线方程为. 20.（1）连接，交于点N，连接，如图 直三棱柱中，是的中点，又是中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， 设，所以，， 因为，所以，解得，所以. （3）因为，，设平面的法向量为， 则有，得， 令，则，，所以取， 因为平面，取平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 21.（1）解：因为直线与平行，所以直线的斜率为2， 又直线过点（1，2）， 所以直线的方程为，即； （2）解：由题意，直线的斜率存在，设，且， 令，可得，令，可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最小值为4. 22.（1）由题设，△为等边三角形，则， 又四边形为梯形，，则， 在△中，，即， 面面，面面，面，则面， 又面，故. （2）若为中点，，则， 面面，面面，面，则面， 连接，则，且面，故， 综上，，两两垂直， 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 所以，，，，若且，则， 而面的一个法向量为，， 所以，可得，故， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取， 若是面的一个法向量，则，取， 所以， 由图知：锐二面角的余弦值.
2022-2023（上）学期期初考试高二数学试题 一、单选题 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 与两平行线：，：等距离的直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 5. 已知两点，直线与线段相交，则直线斜率取值范围是 A B. C. D. 6. 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则 B. 若直线l方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 7. l1，l2是分别经过，两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 16 二、多选题 9. 已知直线：和直线：，则（ ） A. 若，则或 B. 若在轴和轴上的截距相等，则 C. 若，则或2 D. 若，则与间的距离为 10. 下列四个命题中，正确命题的有（ ） A. 若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为； B. 若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； C. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为； D. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. 11. 下列说法中，表述正确的是( ) A. 向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B. 若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C. 若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D. 若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线AP与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 13. 设空间向量，，若，则 ___． 14. 已知直线的方程为，直线的方程为，若，则直线与的交点坐标为______． 15. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________. 16. 设，求的最小值是___________. 四、解答题 17. 已知直线. （1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： （2）当直线l不通过第四象限时，求实数a取值范围. 18. 如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且． （1）求证：平面ACF： （2）求点B到平面ACF的距离． 19. 已知直线l：x+2y-2=0．试求： （1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标； （2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程． 20. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）若棱上存在一点，满足，求的长； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 21. 已知直线过点（1，2）. （1）若直线与平行，求直线的方程； （2）若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值. 22. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值． 答案 1-8 DABDA BAB 9.CD 10.CD 11.AC 12.AB 13. 14. 15. 16. 17.（1）由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得 ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. （2）当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限； 当时，直线/的方程为：. l不通过第四象限，即，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为 18.（1）以坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则, 设面的一个法向量为，， 可得，即，不妨令则, 平面. （2），则点到平面的距离为. 19. （1） 设点关于直线的对称点为， 则线段中点在对称轴上,且. ∴即的坐标为. (2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由 将的坐标代入直线的方程得. ∴直线方程为. 20.（1）连接，交于点N，连接，如图 直三棱柱中，是的中点，又是中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， 设，所以，， 因为，所以，解得，所以. （3）因为，，设平面的法向量为， 则有，得， 令，则，，所以取， 因为平面，取平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 21.（1）解：因为直线与平行，所以直线的斜率为2， 又直线过点（1，2）， 所以直线的方程为，即； （2）解：由题意，直线的斜率存在，设，且， 令，可得，令，可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最小值为4. 22.（1）由题设，△为等边三角形，则， 又四边形为梯形，，则， 在△中，，即， 面面，面面，面，则面， 又面，故. （2）若为中点，，则， 面面，面面，面，则面， 连接，则，且面，故， 综上，，两两垂直， 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 所以，，，，若且，则， 而面的一个法向量为，， 所以，可得，故， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取， 若是面的一个法向量，则，取， 所以， 由图知：锐二面角的余弦值.
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