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初中数学中考复习 2020中考数学 专题突破练习：分式与分式方程（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 2020中考数学 专题突破练习：分式与分式方程（解析版），共9页。
【例题1】计算：÷（x﹣）= ．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【答案】
【例题2】关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【例题3】方程=的解为（ ）
A．x=3B．x=4C．x=5D．x=﹣5
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：2（x﹣1）=x+3，
2x﹣2=x+3，
x=5，
令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，
故选（C）
【例题4】2018年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选（A）
【例题5】某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
（1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：
=，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
则x﹣4=6．
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：10m+6n=100，
整理得：m=10﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔1支，购买本子15本．
巩固练习
一、选择题：
1.若a2﹣ab=0（b≠0），则 QUOTE aa+b aa+b=（ ）
A．0B． QUOTE 12 C．0或 QUOTE 12 D．1或 2
【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab=0（b≠0），
∴a=0或a=b，
当a=0时， QUOTE aa+b aa+b=0．
当a=b时， QUOTE aa+b aa+b= QUOTE 12 ，
故选C．
【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况．
2.如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解答】解：﹣=1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x=x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x=2时，m+4=2﹣2，
m=﹣4，
故选D．
3.分式方程=1﹣的根为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
故选C
4. 化简的结果是（ ）
A． B． C．D．
【解析】原式．故选A．
【答案】A
5.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（ ）
A．﹣10=B． +10=
C．﹣10=D． +10=
【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．
二、填空题：
6.若分式有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
7.若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
8.分式与的和为4，则x的值为 3 ．
【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵分式与的和为4，
∴+=4，
去分母，可得：7﹣x=4x﹣8
解得：x=3
经检验x=3是原方程的解，
∴x的值为3．
故答案为：3．
9.若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
10.如果=1，那么m= 2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=m﹣1，
解得：m=2，
经检验m=2是分式方程的解，
故答案为：2
三、解答题：
1.（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．
【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．
【解答】解：原式=×﹣×
=﹣
=
由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，
∴a=1﹣5+3=﹣1
∴原式=﹣=﹣2
2. “2018年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据时间=路程÷速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=210，
经检验，x=210是原方程组的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
（2）小张跑步到家所需时间为2520÷210=12（分钟），
小张骑车所用时间为12﹣4=8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），
∵25＞23，
∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
3.某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
整理得：m=24﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；
∴有两种方案：
①购买排球5个，购买足球16个；
②购买排球10个，购买足球8个．
【例题1】计算：÷（x﹣）= ．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【答案】
【例题2】关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【例题3】方程=的解为（ ）
A．x=3B．x=4C．x=5D．x=﹣5
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：2（x﹣1）=x+3，
2x﹣2=x+3，
x=5，
令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，
故选（C）
【例题4】2018年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选（A）
【例题5】某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
（1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：
=，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
则x﹣4=6．
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：10m+6n=100，
整理得：m=10﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔1支，购买本子15本．
巩固练习
一、选择题：
1.若a2﹣ab=0（b≠0），则 QUOTE aa+b aa+b=（ ）
A．0B． QUOTE 12 C．0或 QUOTE 12 D．1或 2
【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab=0（b≠0），
∴a=0或a=b，
当a=0时， QUOTE aa+b aa+b=0．
当a=b时， QUOTE aa+b aa+b= QUOTE 12 ，
故选C．
【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况．
2.如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解答】解：﹣=1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x=x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x=2时，m+4=2﹣2，
m=﹣4，
故选D．
3.分式方程=1﹣的根为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
故选C
4. 化简的结果是（ ）
A． B． C．D．
【解析】原式．故选A．
【答案】A
5.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（ ）
A．﹣10=B． +10=
C．﹣10=D． +10=
【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．
二、填空题：
6.若分式有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
7.若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
8.分式与的和为4，则x的值为 3 ．
【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵分式与的和为4，
∴+=4，
去分母，可得：7﹣x=4x﹣8
解得：x=3
经检验x=3是原方程的解，
∴x的值为3．
故答案为：3．
9.若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
10.如果=1，那么m= 2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=m﹣1，
解得：m=2，
经检验m=2是分式方程的解，
故答案为：2
三、解答题：
1.（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．
【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．
【解答】解：原式=×﹣×
=﹣
=
由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，
∴a=1﹣5+3=﹣1
∴原式=﹣=﹣2
2. “2018年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据时间=路程÷速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=210，
经检验，x=210是原方程组的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
（2）小张跑步到家所需时间为2520÷210=12（分钟），
小张骑车所用时间为12﹣4=8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），
∵25＞23，
∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
3.某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
整理得：m=24﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；
∴有两种方案：
①购买排球5个，购买足球16个；
②购买排球10个，购买足球8个．
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