初中数学中考复习 2020年九年级数学中考综合复习6： 实际应用题 复习讲义

这是一份初中数学中考复习 2020年九年级数学中考综合复习6： 实际应用题 复习讲义，共10页。

应用题是中考试题的经典题型，为了贯彻新课标中“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的学生在数学上得到不同的发展”理念，应用的结构与形式发生了变化，已不再注意计算的难度和解答的技巧，而多以那些时代感强、立意新颖，具有民族的人文气息，极富实际应用价值和德育内涵的生活素材为背景，进行一系列设计创编，形成符合中学生认知水平的新型应用题，这类题取材广泛，涉及的数学知识多，题面有时比较大，不易领会其中的要领，但难度均不大，且计算不复杂。
这类应用题包括数与式的应用、方程（组）与不等式（组）的应用、函数的应用、几何的应用及统计与概率的应用等题型.由于这类题题面的文字材料比较长，所以在解题时，要有耐心，仔细阅读、细心领会，找出其考查的主要内容和主要知识点，然后灵活运用相关的知识和方法，将原题中的实际问题转化为简单的数学模型是解答这类问题的关键，是应用能力的核心。
＆.典型例题剖析：
§.例1、商场购进某种商品件，每件按进价加价元售出全部商品的％，然后将售价下降％，这样每件仍可以获利元，又售出全部商品的％.
（1）试求该商品的进价和第一次的售价；
（2）为了确保这批商品总的利润不低于％，剩余商品的售价应不低于多少元？
思路点拨：本题属于方程（组）应用题.题中相等关系为：（1）第一次售价－进价=元；（2）售价（％）-进价元.题中不等关系为：总利润率％.根据相等关系和不等关系列出方程或不等式。
解：（1）设该商品的进价为元，第一次的售价为元，由题意得：
，解这个方程组得：
即该商品的进价为元，第一次售价为元。
（2）设剩余商品的售价为元，由题意得：
解这个不等式得：
即剩余商品的售价应不低于元。
规律总结：解方程（组）应用题，关键是找出相等关系，根据相等关系列出方程或方程组解题。
常见错误：（1）找不准等量关系，列错方程或方程组；（2）忽视方程的解的检验，尤其是分式方程的解的双检验。
§.例2、某生产“科学计算器”的公司名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售.经公司多方考虑，发现公司的生产能力受到限制，决定引入一条新的计算器生产线生产计算器，并从这名职工中选派一部分人到新生产线工作.分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加％，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的倍.如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于跟工前的年总产值，而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半。
（1）试确定分派到新生产线的人数；
（2）当多少人参加新生产线生产时，公司年总产值最大？相比分工前，公司年总产值的增长率是多少？
思路点拨：本题取材于企业结构调整，人员分流，搞活经营，富有时代气息。题目中最后两句话提出了全年总产值目标，这是列不等式的依据。第（2）问则主要考查了一次函数的性质。
解：（1）设分工前人均年产值为元，分派到新生产线有人，则在原生产线还有（）人，由题意得：
解这个不等式组，得：
所以，取，，，
即分到新生产线的是人或人或人或人.
（2）设公司年总产值为元，则
由于这是关于的一次函数，随的增大而增大，所以当时，公司年总产值最大，
即当时，公司年总产值最大为，相比分工前，年总产值的增长率为.
规律总结：本题属于不等式（组）应用题，关键是从题中找出相应的不等关系，特别是关注几个关键词，如“不大于”、“不小于”等，另外在实际问题中还需要求整数解。
常见错误：（1）解不等式（组）步骤有误；（2）忽略实际问题中的整数解。
§.例3、某班位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示：
（1）从统计图中可知：每人每分钟能擦课桌椅；擦玻璃，擦课桌椅，打扫拖地的面积分别是，，；
（2）如果人每分钟擦玻璃的面积是，那么关于的函数关系式是 ；
图 1
面积（m2）
擦玻璃 擦课桌椅 打扫拖地 项目
每人每分钟完成各项目工作量统计图
（1） （2）
55％
打扫拖地
玻璃
课桌椅
25％
20％
（3）他们先一起完成扫地和拖地任务后，把这人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅.如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能最快地完成任务？
思路点拨：这类题属于统计型应用题，仔细观察图表中信息可以得出答案。
解：（1）由统计图（）可知每人每分钟能擦，由统计图（）可算出擦玻璃的面积为，同理可算出擦课桌椅，打扫拖地的面积分别为，；
（2）易知关于的函数关系式是；
（3）设分配人去擦玻璃，那么（）人去擦课桌椅，根据题意得：
，解这个方程得：
经检验：是原方程的解，且符合题意
所以（人）
即安排人去擦玻璃，人擦课桌椅，才能最快地完成任务。
规律总结：解答这类题关键是分析给出的图表信息，注意有时答案不唯一。
常见错误：（1）给出的答案与图表信息无关；（2）图表信息分析有误。
O A B C D
人数
等数
图 2
§.例4、（2019年内江市实验区）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为（优）、（良）、（合格）、（不合格）四个等级，现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如下统计图（图）。已知图中从左到右四个长方形的高的比为，评价结果为等级的有人。请你回答以下问题。
（1）共抽测了多少人？
（2）样本中等级的频数是多少？等级的频率是多少？
（3）若该校九年级的毕业生共人，“综合素质”等级为或的学生才能报考重点高中。请你估计该校大约有多少名学生可以报考重点高中？
（4）请你对该校九年级学生“综合素质”的整体情况作出简要的评价。
思路点拨：这是一道统计知识的应用题，具体解法如下：
解：（1）：；；
故共抽测（人）.
（2）样本等级的频数为人，等级的频率为；
（3）人.
（4）通过分析，该校综合素质优异的占较大程度，绝大多数的学生是优生，全面发展的。同时对极少数差生应该加强培养。
规律总结：解答统计型应用题分析图表是关键。需注意：（1）回答答案应与图表给出的信息一致；（2）应对所有图表进行全面分析，避免以偏概全。
常见错误：未对所给图表全面分析，得出的答案以偏概全。
§.例5、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在千克以上（含千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克元，由基地送货上门；乙方案：每千克元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为元.
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
思路点拨：这是一道“决策型”应用题，这类问题的解决，考生决不能囿于并不熟悉的实际背景，而应撇开现象的东西，把握数学本质，转化、抽象为纯数学问题。
解：（1）（），（）
（2）方法一：当时，即，解得
∴当千克时，两种方案一样；
当时，即，解得
∴当时，选择甲方案付款更少；
当时，即，解得解得
∴当千克时，选择乙方案付款更少.
方法二：图象法.（略）
规律总结：本题属于函数应用题，可以利用方程或不等式解决，如方法一；也可利用函数图象解决，如方法二。各种方法均有优缺点，注意灵活选择。
常见错误：忽略各种方案的具体条件。
§.例6、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力随时间的变化规律如下关系式：
（1）讲课开始后第分钟时与讲课开始后第分钟相比较，何时学生的注意力更集中；
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需要的状态下讲解完这道题目？
思路点拨：本例从心理学的角度，借助于几何分段函数关系式的性质来研究学生注意力的集中程度，尽管试题均未在难度上着墨，但颇感新意，体现出对灵活思维能力的具体要求。
解：（1）当时，；当时，.
故讲课开始后第分钟时学生的注意力比讲课开始后第分钟更集中。
（2）当时，
该图象的对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，所以，当时，有最大值为.
当时，，随的增大而减小，所以当时，有最大值.
所以，讲课开始后分钟时，学生的注意力最集中，能持续分钟。
（3）当时，令，解得：
当时，令，解得
∴学生注意力在以上的持续时间为（分钟）
故老师可以适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.
规律总结：本题属于函数应用题，解题关键是分清各个函数的性质特点及函数图象的特点。
常见错误：忽略分段函数中自变量的取值范围要求。
§.例7、如图，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置点的正北方向海里外的点有一涉嫌走私船只正以海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：
（1）需要几小时才能追上（点为追上时的位置）？
（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到）.
图 3
A B
O
北
东
思路点拨：本题利用解直角三角形和三角函数解应用题。
解：（1）设需要小时才能追上，则，
在中，
即，解得
经检验，不符合题意，舍去.
故，即需要经过小时才能追赶上.
（2）在中，
所以，
即巡逻艇的追赶方向是北偏东.
规律总结：本题属于几何应用题，关键是实际问题中抽象出几何图形，再灵活应用几何知识解决实际问题.
常见错误：读图不够准确，致使思维混乱，出现错解，乱解。
图 4
O
700
250
P
Q
北
东
西
南
H
Q
700
250
P
图 5
O
§.例8、（2019年宜宾市）如图所示，在某海滨城市附近海面有一股台风，据监测，当时强台风中心位于该城市的东偏南方向千米的海面处，并以千米/时的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为千米，且圆的半径以千米/时速度不断扩大。
（1）当台风中心移动小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；当台风中心移动小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米。
（2）当台风中心移动到与城市距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由。（参考数据：，）
思路点拨：台风侵袭的范围是一个圆形区域，并且圆的半径不断扩大，圆心还有移动现象。
解：（1），
（2）如图所示，作于点
在中，，则，（千米）
∴（千米）
设经过小时，台风中心从点移动到，则，解得：（小时）
此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）
台风中心在整个移动过程中与城市相距的最近距离为，（千米）
而台风中心从移动到时，受侵袭地区半径约为千米千米
故城市不会受到台风侵袭。
规律总结：解决此类几何应用题，常常需要构造直角三角形，利用三角函数和方程知识解决问题。
常见错误：常忽略台风中心也在移动的事实。
＆.综合巩固练习：
一、课改区中考试题练习
4m
图 6
30m
1.（2019年安徽）某市社会调查队对城区一个社区居民的家庭经济状况进行调查。调查的结果是，该社区有户，高收入、中等收入和低收入家庭分别有户、户和户。已知该市有万户家庭，下列表述正确的是（ ）
、该市高收入家庭约万户
、该市中等收入家庭约万户
、该市低收入家庭约万户
、因城市社区家庭经济状况较好，所以不能据此估计全市所有家庭经济状况
2.（2019年成都）农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，如果不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积是（ ）
、 、 、 、
3.（2019年济南）某商场计划每月销售台电脑，月日至日黄金周期间，商场决定开展促销活动，月的销售计划又增加了％.已知黄金周这天平均每天销售台，则这个商场本月后天平均每天销售 台才能完成本月计划。
4.（2019年山西）汽车刹车的距离（）与速度（）之间的函数关系式为，在一辆车速为的汽车前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险.（填写“会”还是“不会”）
5.（2019年南宁）某公司销售部有五名销售员，年平均每人每月的销售额分别是6、8、11、9、8（万元）。现公司需增加一名销售员，三人应聘试用三个月，平均每人每月的销售分别为：甲是上述数据的平均数，乙是中位数，丙是众数。最后正式录用三人中平均月销售额最高的人是 .
6.（2019年重庆）由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电。规定：在每天的至为用电高峰期，电价为元/度；每天至为用电平稳期，电价为元/度.下表为某厂、月份的用电量和电费情况统计表：
（1）若月份在平稳期的用电量占当月用电量的，月份在平稳期的用电量占当月用电量的，求，的值；
（2）若月份该厂预计用电万度，为将电费控制在万元至万元之间（不含万元和万元），那么该厂月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？
7.（2019年河北）某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家.经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为角时，每天卖出个.在此基础上，这种面包的单价每提高角时，该零售店每天就会少卖出个，考虑了所有因素后，该零售店每个面包的成本是角。
设这种面包的单价为（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）。
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
8.（2019年河南）某公司为了扩大经营，决定购进台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不超过万元。
（1）按该公司要求可以有几种购买方案；；
（2）若该公司购进的台机器的日生产能力不能低于个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
9.（2019年武汉）某加工厂以每吨元的价格购进吨原料进行加工.若进行粗加工，每吨加工费用为元，需天，每吨售价为元；若进行精加工，每吨加工费用为元，需天，每吨售价为元.现将这吨原料全部加工完。
（1）设其中粗加工吨，获利元，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果必须在天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
10.（2019年黄冈）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多米.现已知购买这种铁皮每平方米需元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
图 7
80cm
45cm
（1）
80cm
45cm
（2）
11.（2019年黄冈）如图，蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长，宽的长条形桌面。现只有长，宽的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）
12.（2019年长沙）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共台，其中甲种机器产量要比第一季度增产，乙种机器产量要比第一季度增产，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
13.（2019年济南）小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成、、方向推了三次。铅球推出后沿抛物线形运动.如图，小明推铅球时的出手点距地面，以铅球出手点所在竖直方向为轴、地平线为轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：
（1）请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；
（2）请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.
图 8
P1
2
x （m）
O
y （m）
P2
P3
图 9
14.（2019年济南）如图，某种旅行帽的帽沿接有两个塑料帽带，其中一个塑料帽带上有个等距的小圆柱体扣，另一个帽带上扎有七个等距的扣眼，下表列出的是用第一扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关数据（单位：）；
（1）求帽圈直径与扣眼号数之间的一次函数关系式；
（2）小强的头围约为，他将第一扣扣到第号扣眼，你认为松紧合适吗？
15.（2019年广东）如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任意取一点，再在河另一岸取两点、，测得，，量得的长为米。
（1）求小河的宽度（使用计算器的地区，结果保留三位有效数字）；
图 10
A
B C
（2）请再设计一种测量河宽的方案，画出设计草图并作简要说明。
二、经典题练习
1.有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能人通过道口.此时，自己前面还有个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需分钟到达学校。
（1）此时，若绕道而行，要分钟到达学校.从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
2.高致病性禽流感是比病毒传染速度更快的传染病。
（1）某养殖场有万只鸡，假设有只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第天将新增病鸡只，到第天又将新增病鸡只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点千米范围以外为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路通过禽流感病区，如图，为疫点，在扑杀区内的公路长为千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？
3.在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，（，）、（，）、（，），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。
（1）求圆形区域的面积（取）；
（2）某时刻海面上出现一渔船，在观测点测得位于北偏东，同时在观测点测得位于北偏东，求观测点到船的距离（，保留三个有效数字）。
图 11
O
免
疫
区
扑杀区
A C D B
O
C
B
x
y
（6，8）
（6，0）
北
图 12
（3）当渔船由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答。月份
用电量（万度）
电费（万元）
4
12
6.4
5
16
8.8
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（个）
100
60
推铅球的方向与水平线的夹角
铅球运行所得到的抛物线解析式
估测铅球在最
高点的坐标
(，)
(，)
(，)
铅球落点到小明站立处的水平距离
扣眼号数（）
1
2
3
4
5
6
7
帽圈直径（）
22.92
22.60
22.28
21.96
21.64
21.32
21.00