第3章 圆 北师大版九年级数学下册期末达标检测卷(含答案)

期末达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　　)

A．(3，4)             B．(－3，4) 

C．(3，－4)         D．(－3，－4)

2．已知∠α为锐角，且cosα＝，则∠α等于(　　)

A．30°     B．45°     C．60°     D．90°

3．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线的函数表达式是(　　)

A．y＝(x－2)2－1       

B．y＝(x－2)2＋1 

C．y＝(x＋2)2＋1       

D．y＝(x＋2)2－1

4．【教材P80随堂练习T1变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为(　　)

A．30°     

B．40°     

C．50°     

D．80°

5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为(　　)

A． 

B． 

C． 

D．

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是(　　)

A．图象关于直线x＝1对称

B．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4

C．－1和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根

D．当x＜1时，y随x的增大而增大

7．【教材P96习题T1改编】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长等于(　　)

A．12           B．6 

C．8        D．10

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是(　　)

A．10　　　      B．8 

C．4       D．2

9．如图，客轮在海上以30 km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1 h后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是(　　)

A．15 km 

B．15 km 

C．15(＋)km 

D．5(3＋)km

10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过点A的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(　　)

二、填空题(每题3分，共24分)

11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝________°.

12．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是______________．

13．若二次函数y＝x2－4x＋h的图象与x轴只有一个公共点，则实数h＝________.

14．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕

AB＝________．

15．如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是________cm.

16．已知正三角形ABC的外接圆的半径长为R，那么△ABC的周长是________(用含R的式子表示)．

17．【教材P26复习题T17变式】如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6 m，则旗杆AB的高度为________m.

18．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A，B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM，下列结论正确的是______________________(写出所有正确结论的序号)．

①AM平分∠CAB；②AM2＝AC·AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则长为；④若AC＝3，BD＝1，则CM＝DM＝.

三、解答题(19，20题每题8分，21题10分，22题12分，23，24题每题14分，共66分)

19．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°.

20．【教材P16例1变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且∠B＝45°，c＝.求这个三角形的其他元素．

21．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(5，0)，点A在第一象限，且OA＝OB，sin∠AOB＝.

(1)求经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式；

(2)若反比例函数y＝的图象经过(1)中的抛物线的顶点，求k的值．

22．新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，销售量为200件，销售单价每件降低1元，就可多售出20件．

(1)写出销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式．

(2)写出销售该产品所获利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润．

(3)若商场想获得不低于4 000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，则该商场应该如何确定该产品的销售单价？

23．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC.

(1)求证：EF是⊙O的切线．

(2)求证：AC2＝AD·AB.

(3)若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．

24．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)．

(1)求抛物线的表达式及A，B两点的坐标．

(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求出AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由．

(3)在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的表达式．

答案

一、1．A　2．A　3．A　4．B　5．D 　6．D

7．B　8．D

9．D　点拨：过点B作BD⊥AC于点D.由题意易知：∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，BC＝30 km，则CD＝BD＝15 km，∠DBA＝75°－45°＝30°，

∴AD＝BD·tan 30°＝15×＝5(km)．

∴AC＝CD＋AD＝15＋5＝5(3＋)km.　

10．D

二、11．60　12．－3＜x＜1　13．4

14．2 cm

15．210　点拨：过点B作BD⊥AC于点D，

则AD＝2×30＝60(cm)，BD＝18×3＝54(cm)．

由斜坡BC的坡度i＝1∶5，得CD＝5BD＝5×54＝270(cm)，

∴AC＝CD－AD＝270－60＝210(cm)．

16．3R　点拨：如图，连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D.

∵正三角形ABC的外接圆的半径为R，∴OA＝OB＝OC＝R，∠ABC＝60°，

∴∠OBD＝30°.

在Rt△BOD中，BD＝OB·cos∠OBD＝R·cos 30°＝R.

∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝R.

∴△ABC的周长为3R.

17．14.4　点拨：过点D作DE⊥AB于点E，如图，则∠AED＝90°，则易得四边形BCDE是矩形．

∴BE＝CD＝9.6 m，∠CDE＝∠DEA＝90°.　

∴∠ADC＝90°＋30°＝120°.

∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，

∴∠CAD＝30°＝∠ACD.

∴AD＝CD＝9.6 m.

在Rt△ADE中，∵∠ADE＝30°，∠AED＝90°，　

∴AE＝AD＝4.8(m)．

∴AB＝AE＋BE＝4.8＋9.6＝14.4(m)．

18．①②④

三、19．解：原式＝2×－3×1×＋4×＝3－.

20．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝45°，

∴∠A＝90°－∠B＝45°．

∴a＝b.

∵c＝，a2＋b2＝c2，

∴a＝b＝.

21．解：(1)由题意得OA＝OB＝5.

如图，过点A作AH⊥x轴于点H，

则AH＝OA·sin∠AOB＝3，

∴OH＝4.

∴A(4，3)．

设经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝ax(x－5)．

把点A(4，3)的坐标代入y＝ax(x－5)，得3＝4a(4－5)，解得a＝－.

∴经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝－x(x－5)，

即y＝－x2＋x.

(2)∵y＝－x2＋x＝－×＋，

∴抛物线的顶点坐标为.

∵反比例函数y＝的图象经过该抛物线的顶点，

∴k＝×＝.

22．解：(1)y＝200＋20(40－x)＝1 000－20x.　

(2)W＝(x－20)(1 000－20x)＝－20x2＋1 400x－20 000＝－20(x－35)2＋4 500.

∵－20<0，

∴当x＝35时，W有最大值，最大值为4 500.

∴W＝－20(x－35)2＋4 500，商场获得的最大利润是4 500元．

(3)当W＝4 000时，即(x－20)(1 000－20x)＝4 000，

解得x1＝30，x2＝40.

∴当30≤x≤40时，商场销售利润不低于4 000元．

又∵1 000－20x≥320，解得x≤34，

∴30≤x≤34.

∴该商场确定该产品的销售单价x(元/件)应该为30≤x≤34.

23．(1)证明：连接OC.

∵AD⊥EF，

∴∠ADC＝90°.

∴∠ACD＋∠CAD＝90°.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO.

∵∠DAC＝∠BAC，

∴∠ACD＋∠ACO＝90°，

即∠OCD＝90°.

∴EF是⊙O的切线．

(2)证明：连接BC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵AD⊥EF，

∴∠ADC＝90°＝∠ACB.

又∵∠DAC＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC.

∴＝，

即AC2＝AD·AB.

(3)解：由(1)知∠ACD＋∠ACO＝90°.

∵∠ACD＝30°，

∴∠OCA＝60°.

又∵OC＝OA，

∴△ACO是等边三角形．

∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°.

在Rt△ADC中，∵∠ACD＝30°，AC＝2，

∴AD＝1，CD＝.

∴S阴影＝S梯形OCDA－S扇形COA＝(1＋2)×－＝－.

24．解：(1)由题意可写出抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－(a≠0)．

∵抛物线经过点C(0，2)，

∴a(0－4)2－＝2，

解得a＝.

∴y＝(x－4)2－，

即y＝x2－x＋2.

当y＝0时，x2－x＋2＝0，

解得x1＝2，x2＝6，

∴A(2，0)，B(6，0)．

(2)存在．

由(1)知抛物线的对称轴l为直线x＝4.

易知A，B两点关于l对称，连接CB交l于点P，连接AP，此时AP＋CP的值最小．

∵AP＝BP，

∴AP＋CP＝BC.

∵B(6，0)，C(0，2)，

∴OB＝6，OC＝2.

∴BC＝＝2.

∴AP＋CP的最小值为2.

(3)连接ME.

∵CE是⊙M的切线，

∴CE⊥ME.

∴∠CEM＝90°.

∴∠COD＝∠DEM＝90°.

由题意得OC＝ME＝2，∠ODC＝∠MDE，

∴△COD≌△MED(AAS)．

∴OD＝DE，DC＝DM.

设OD＝x，则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.

在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2，

∴x2＋22＝(4－x)2，

解得x＝.

∴D.

设直线CE的表达式为y＝kx＋d(k≠0)．

∵直线CE过C(0，2)，D两点，

∴解得

∴直线CE的表达式为y＝－x＋2.