8．6　空间直线、平面的垂直

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第2课时　直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理

考点
学习目标
核心素养
直线与平面所成的角
了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法
直观想象、逻辑推理、
数学运算
直线与平面垂直的性质
理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题
直观想象、逻辑推理

问题导学
预习教材P151－P155的内容，思考以下问题：
1．直线与平面所成的角的定义是什么？
2．直线与平面所成的角的范围是什么？
3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？
4．如何求直线到平面的距离？
5．如何求两个平行平面间的距离？

1．直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.
(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言

作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3. 线面距与面面距
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)
(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
答案：D
若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：选B.当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在．
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．

解析：(1)由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，
所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
因为A1O＝A1B，所以∠A1BO＝30°.
(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
又因为AB1∩B1C1＝B1，
所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.
答案：(1)45°　(2)30°　(3)90°


　　　　　　　　直线与平面所成的角
　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
【解】　取AA1的中点M，连接EM，BM.

因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝ ＝3.
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

　
　如图所示，在Rt△BMC 中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．
解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，
所以MC在平面CAB内的射影为AC.
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为.

　　　　　　　　线面垂直的性质定理的应用
　如图，已知正方体A1C.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，
求证：MN∥A1C.
【证明】　(1)如图，连接A1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1.
又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C.
又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.
(2)如图，连接B1A，AD1.
因为B1C1AD，
所以四边形ADC1B1为平行四边形，
所以C1D∥AB1，
因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
所以MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.
同理可得A1C⊥AB1.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1.
所以A1C∥MN.

(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
(2)直线与平面垂直的其他性质
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；
④垂直于同一条直线的两个平面平行；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　
　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

(2)如图，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
所以ONCD.
因为CDAB，
所以ON∥AM.
又因为MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形．
所以ON＝AM.
因为ON＝AB，
所以AM＝AB.
所以M是AB的中点．

　　　　　　　　求点到平面的距离
　如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
【解】　(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．
因为PB＝＝，所以AH＝＝，
所以点A到平面PBC的距离为.

从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．　
　已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝.S是△ ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．

解：法一：如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝＝，
即点P到平面ABC的距离为.
法二：如图，过点A作BC的平行线，
过点B作AC的平行线，两直线交于点D.
因为AC＝BC＝1，AB＝，所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.
易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，
所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的长即点S到平面ABC的距离，
在Rt△SAD中，易得SD＝.
因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为
SD＝.

1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　)
A．60°　　　　　　　　　 B．45°
C．30° D．90°
解析：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.
2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　)
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
解析：选C.PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；
⇒
BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB.
故A正确；同理B正确；C不正确．
3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
解析：选A.显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1.
又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1.
同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．
4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.
求证：BC∥FG.
证明：连接DE.
因为AD⊥AB，AD⊥AC，
所以AD⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，
所以AD⊥BC.又AE⊥BC，
所以BC⊥平面ADE.
因为AF＝AG，D为FG的中点，
所以AD⊥FG.
同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，
所以FG⊥平面ADE.
所以BC∥FG.

[A　基础达标]
1．下列说法中正确的是(　　)
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．
A．①②③　　　　　　　　 B．①③④
C．②③ D．②③④
解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是(　　)
A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C
C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C
解析：选B.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，
BC1∩AB＝B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，
因为点P是线段BC1上任意一点，
所以AP⊥B1C.故选B.
3．下列命题正确的是(　　)
①⇒b⊥α；　　　 ②⇒a∥b；
③⇒b∥α；　　　 ④⇒b⊥α.
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①④
解析：选A.对于命题①，a⊥α，则a垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a∥b，所以b也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a∥b，所以②正确；因为a⊥α，当a⊥b时，则b可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a∥α，a⊥b时，b与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.

所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，
所以△PAO≌△PBO≌△PCO，
所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．
6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．
解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，
连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，
所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.
答案：45°
7．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．

解析：因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．
答案：4
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.
因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，
所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.
答案：4
9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又因为AB1⊂平面AA1B1B，
所以A1C1⊥AB1，
又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
所以sin∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
10.如图，已知四棱锥S­ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
证明：(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，
所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.
又因为SA∩ AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
所以BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，
所以AE⊥平面SBC.
又因为SC⊂平面SBC，
所以AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩ AE＝E，
所以SC⊥平面AEF.
因为AF⊂平面AEF，所以AF⊥SC.
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD.
又AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，
所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC.
因为SD⊂平面SDC，所以AG⊥SD.
[B　能力提升]
11．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.则下列关系一定成立的是(　　)

A．cos θ1cos θ2＝cos θ3　　　 B．cos θ1cos θ3＝cos θ2
C．sin θ1sin θ2＝sin θ3 D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
解析：选B.
⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，
所以cos θ1＝，cos θ2＝，cos θ3＝.
则有cos θ1cos θ3＝cos θ2.
12.如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS.
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，
所以BD⊂平面ABC，
所以SD⊥BD.
因为AC∩SD＝D.
所以BD⊥平面SAC.
[C　拓展探究]
13．如图(1)，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
(3)求点A到平面PBE的距离．
　
解：(1)证明：连接EF，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE.
理由如下：
因为AQ＝AP，AF＝AB，所以FQ∥BP，
又FQ⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以FQ∥平面PBE.
(3)由(1)知PF⊥平面ABED，连接AE，则PF为三棱锥P­ABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得VA­PBE＝VP­ABE，
即×S△PBE×h＝×S△ABE×PF.
又S△PBE＝×6×9＝27，S△ABE＝×12×6＝36，
所以h＝＝＝，
即点A到平面PBE的距离为.