2023届高考数学二轮复习专题六第3讲导数的简单应用学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题六第3讲导数的简单应用学案，共15页。学案主要包含了素养提升等内容，欢迎下载使用。

第3讲　导数的简单应用

考情分析
1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．

自主先热身　真题定乾坤
ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身
1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　B　)
A．y＝－2x－1　　 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3　　 D．y＝2x＋1
【解析】　∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，
∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，
因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
2．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　B　)
A．－1　　 B．－　　
C．　　 D．1
【解析】　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，
而f′(x)＝－，
所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，
所以f′(x)＝－＋，
因此函数f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，x＝1时取最大值，满足题意，即有f′(2)＝－1＋＝－.
故选B.
3．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1 【解析】　f′(x)＝2ln a·ax－2ex，
因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2的极小值点和极大值点，
所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上递减，在(x1，x2)上递增，
所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
若a>1时，当x<0时，2ln a·ax>0，2ex<0，
则此时f′(x)>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0 即方程ln a·ax＝ex的两个根为x1，x2，
即函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，
∵0 又∵ln a<0，∴y＝ln a·ax的图象由指数函数y＝ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a|倍得到，如图所示：

设过原点且与函数y＝g(x)的图象相切的直线的切点为(x0，ln a·ax0)，
则切线的斜率为g′(x0)＝ln2a·ax0，
故切线方程为y－ln a·ax0＝ln2a·ax0(x－x0)，
则有－ln a·ax0＝－x0ln2a·ax0，解得x0＝，
则切线的斜率为ln2a·a＝eln2a，
因为函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，
所以eln2a 又0 综上所述，a的范围为.
4．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为__5x－y＋2＝0__．
【解析】　因为y＝，(－1，－3)在曲线上，
所以y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝5，
则曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为：
y－(－3)＝5[x－(－1)]，即5x－y＋2＝0.
5．(2021·全国新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为__1__．
【解析】　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
当0 此时函数f(x)在上为减函数，
所以f(x)≥f＝－2×＋1－2ln ＝2ln 2；
当x>时，f(x)＝|2x－1|－2ln x＝2x－1－2ln x，
则f′(x)＝2－＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当x＝1时f(x)取得最小值为f(1)＝2×1－1－2ln 1＝1.
∵2ln 2＝ln 4>ln e＝1，
∴函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为1.

感悟高考
1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问．

核心拔头筹　考点巧突破
HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　
考点一　导数的计算、几何意义

1．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lnx
f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα-1
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
典例1 (1)已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2016)＋f(－2016)＋f′(2016)－f′(－2016)＝(　C　)
A．0　　 B．2015
C．8　　 D．2016
【解析】∵f(x)＝a sin x＋bx3＋4，
∴f′(x)＝a cos x＋3bx2，
∴f(x)＋f(－x)＝8，f′(x)－f′(－x)＝0，
∴f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 016)－f′(－2 016)＝8.
故选C.
(2)(2021·河南洛阳模拟)已知曲线y＝xlnx－3x2的一条切线在y轴上的截距为2，则这条切线的方程为(　D　)
A．4x－y－2＝0　　 B．5x－y－2＝0
C．4x＋y－2＝0　　 D．5x＋y－2＝0
【解析】函数y＝x ln x－3x2的定义域为(0，＋∞)，
设切点坐标为(x0，x0ln x0－3x)，
因为y′＝ln x－6x＋1，则切线斜率为ln x0－6x0＋1，
所以切线方程为y－x0ln x0＋3x＝(ln x0－6x0＋1)(x－x0)，
将点(0，2)代入切线方程并整理得3x－x0－2＝0，
解得x0＝1，或x0＝－(舍去)，
所以这条切线的方程为y＋3＝－5(x－1)，
即5x＋y－2＝0.
故选D.
(3)(2021·广州市高三二模)若直线y＝－2x＋与曲线y＝x3－ax相切，则a＝__3__．
【解析】　设直线y＝－2x＋与曲线y＝x3－ax相切于点，
由y＝x3－ax得：y′＝x2－a，
∴x－a＝－2，∴a＝x＋2，
又x－ax0＝－2x0＋，
∴x－x0(x＋2)＝－2x0＋，
解得：x0＝－1，∴a＝1＋2＝3.
【素养提升】求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．

1．(1)已知曲线f(x)＝ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)＝ln (ax)的一条切线，则a的值为(　C　)
A．　　 B．　　
C．e2　　 D．
(2)(2021·内江模拟)已知f(x)＝x·(a＋lnx)，f′(e)＝1，则a＝__－1__．
【解析】　(1)∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，f(0)＝1，
∴f′(0)＝1，
∴f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1；
设y＝x＋1与g(x)相切于点(x0，ln (ax0))，
则g′(x0)＝＝1，解得x0＝1，
又＝1，∴ln a－1＝1，解得a＝e2.
故选C.
(2)f′(x)＝x′·(a＋ln x)＋x·(a＋ln x)′＝a＋ln x＋1，
又∵f′(e)＝1，∴a＋ln e＋1＝1，解得a＝－1.
考点二　利用导数研究函数的单调性

导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
考向1　讨论函数的单调性
典例2已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若过点P(1，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a＋＝，
①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a＜0时，－>0，
令f′(x)＞0可得0 令f′(x)＜0可得x>－，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)设切点为Q(m，am＋ln m)(m＞0)，
则点Q处的切线方程为y－(am＋ln m)＝(x－m)，
将点P(1，0)代入切线方程可得－(am＋ln m)＝(1－m)，
整理可得＋ln m＝－a＋1，
令g(x)＝＋ln x，x>0，
过点P(1，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且仅有两条等价于函数y＝g(x)的图象和直线y＝－a＋1有两个交点，
g′(x)＝－＋＝，
易知函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝1，且x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
作出g(x)的大致图象如下图所示，

由图可知，－a＋1＞1，解得a＜0，
故实数a的取值范围为(－∞，0).
【素养提升】求解或讨论函数单调性问题的解题策略
讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：
(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
考向2　利用函数的单调性求参数取值(范围)
典例3 (1)(2021·贵州贵阳高三模拟)已知函数f(x)＝2x2＋2x＋4lnx－ax，若当m＞n＞0时，f(m)－f(n)＞m－n，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(0，9)　　 B．(－∞，9]
C．(－∞，8]　　 D．[8，＋∞)
【解析】因为f(m)－f(n)＞m－n，即f(m)－m＞f(n)－n，
令g(x)＝f(x)－x＝2x2＋x＋4ln x－ax，
由题意得g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
即g′(x)＝4x＋1＋－a≥0，即a≤4x＋1＋在(0，＋∞)上恒成立，
由基本不等式得4x＋＋1≥2＋1＝9，
当且仅当4x＝，即x＝1时等号成立，则a≤9.
故a的范围为(－∞，9].
(2)(2021·辽宁高三模拟)若函数f(x)＝x＋asin2x在上单调递增，则实数a的取值范围是____.
【解析】　f′(x)＝1＋2a cos 2x，
由题意知f′(x)＝1＋2a cos 2x≥0在上恒成立且不恒为0，
显然x＝时，f′(x)＝1＋2a cos 2x＝1>0恒成立，
所以只需f′(x)＝1＋2a cos 2x≥0在上恒成立且不恒为0，
即2a≥－在上恒成立且不恒为0，
所以只需当x∈时，2a≥，
又当x∈时，有0 所以－≤－1，即－有最大值－1，
所以2a≥－1，即a≥－.
故答案为.
【素养提升】已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．

2．(1)已知函数f(x)＝ex，函数g(x)与f(x)的图象关于直线y＝x对称，若h(x)＝g(x)－kx无零点，则实数k的取值范围是(　D　)
A．　　 B．
C．(e，＋∞)　　 D．
(2)设f(x)＝ex(lnx－a)，若函数f(x)在区间上单调递减，则实数a的取值范围为__[e－1，＋∞)__.
【解析】(1)由题知g(x)＝ln x，
h(x)＝g(x)－kx＝0⇒k＝，
设F(x)＝⇒F′(x)＝，
当F′(x)＜0时，x∈(e，＋∞)，此时F(x)单调递减，
当F′(x)＞0时，x∈(0，e)，此时F(x)单调递增，
所以F(x)max＝F(e)＝，F(x)的图象如下，

由图可知，当k>时，y＝F(x)与y＝k无交点，即h(x)＝g(x)－kx无零点．
故选D.
(2)由题意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立．
因为ex>0，所以只需ln x＋－a≤0，
即a≥ln x＋在上恒成立．
令g(x)＝ln x＋.
因为g′(x)＝－＝.
由g′(x)＝0，得x＝1.
x

(1，e)
g′(x)
－
＋
g(x)
↘
↗
g＝ln ＋e＝e－1，g(e)＝1＋，
因为e－1>1＋，
所以g(x)max＝g＝e－1.
故a的取值范围为[e－1，＋∞).
考点三　利用导数研究函数的极值与最值

可导函数的极值与最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
典例4(2022·山东潍坊高三模拟)已知函数f(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，a∈R.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)当|a|≥1时，求f(x)在[0，|a|]上的最小值．
【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝2x3－3x2，
f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
故当x∈(－∞，0)，(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
故当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，
则f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．
所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(1)＝－1.
(2)因为f(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，
所以f′(x)＝6x2－2(a＋3)x＋2a＝2(x－1)(3x－a)，
①当a＞3时，f(x)在[0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)min＝min
＝min＝
②当a＝3时，f(x)在[0，3]上单调递增，
f(x)min＝f(0)＝0.
③当1≤a＜3时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，a)上单调递增，
所以f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－1}＝0.
④当a≤－1时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，|a|)上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝a－1，
综上f(x)min＝g(a)＝
【素养提升】(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当Δ>0时，应通过求根公式求出其根．
(2)涉及含参数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值．

3．已知函数f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a≥0).
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝.
因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，
所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，
解得a＝－(舍去)或a＝1.
经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点，
所以a＝1.
(2)当a＝0时，f(x)＝ln x，显然在定义域内不满足f(x)<0恒成立；
当a>0时，令f′(x)＝＝0，得
x1＝－(舍去)，x2＝，
所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x



f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)max＝f＝ln <0，所以a>1.
综上可得，a的取值范围是(1，＋∞).