2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期开学数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期开学数学试题

一、单选题

1．椭圆的长轴的长等于（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【解析】根据椭圆的方程，可求出长轴的长.

【详解】椭圆中，，所以长轴的长.

故选：D.

2．已知复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.

【详解】,

所以复数的虚部为.

故选：A.

3．经过两点A(﹣3,1)，B(0,﹣4)的直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由两点坐标求得斜率，由斜截式写出直线方程．

【详解】由已知直线斜率为，

所以直线方程为．

故选：D．

4．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的方程即可求出双曲线渐近线.

【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，所以，即，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：B

5．若两条直线与相互垂直，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.

【详解】因为，则，解得或.

故选：C.

6．作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与m的距离为（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】先求得的方程，根据平行求得，由此求得与的距离.

【详解】圆的圆心为，是圆上一点，

，所以切线的斜率为，

直线的方程为，

由于与平行，所以，

即直线的方程为，

所以直线与的距离为.

故选：A

7．若方程有实数解，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知函数与图象有交点，作函数图象，观察可得实数的取值范围.

【详解】方程 有实数解等价于 与 图像有交点，

即 表示等轴双曲线轴上方的部分，

表示平行直线系，斜率都为2；

当时，把向左平移到 处，有最小值，即，故；

当时，把向右平移到与双曲线相切时有最大值，联立化简可得 ，令方程的判别式得，由题意可得与右支相切时，故

综上：实数的取值范围是

故选：C.

8．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】由题意设椭圆的焦点在轴上，，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.

【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，

设，由，且，

故，，

由点在椭圆上，

故，整理得，

故离心率，

故选：A.

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

二、多选题

9．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】分别计算点M到四条直线的距离,结合点M相关直线的定义，即可得到答案.

【详解】对于A，,直线为,所以点到直线的距离为:,

即点到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点使成立.故A错误，

对于B，,直线为,所以点到直线的距离为,

所以点到直线的最小值距离小于4,

所以直线上存在点使成立.故B正确，

对于C，,直线为,所以点到直线的距离为:,

所以点到直线的最小值距离等于4,

所以直线上存在点使成立，故C正确，

对于D，,直线为,所以点到直线的距离为:,

即点到直线的最小值距离大于4,

所以直线上不存在点使成立.故D错误，

故选：BC.

10．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．在上有2个零点 D．在上单调递增

【答案】BCD

【分析】先求出的解析式，即可判断A;

对于B:利用诱导公式直接证明；

对于C:令 ，直接解方程即可得到答案；

对于D：直接判断单调区间即可.

【详解】曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到；再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以.

故A错误.

对于B: ，而.

因为，所以，即.故B正确；

对于C:当时，令，解得：或.即在上有2个零点.故C正确；

对于D：当时，，所以在上单调递增.故D正确.

故选：BCD.

11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】ABC

【分析】令，，，根据其几何意义求解即可.

【详解】根据题意，方程，即，

表示圆心为，半径为的圆，由此分析选项：

对于A，设，即，

直线与圆有公共点，

所以，解得

则的最大值为，故A正确；

对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，

所以的最大值为，

故的最大值为，故B正确；

对于C，设，则，直线与圆有公共点，

则，解得，

即的最大值为，故C正确；

对于D，设，则，直线与圆有公共点，

则有，解得：，

即的最大值为，故D错误；

故选：ABC

12．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切

C．当时， D．的最小值为4

【答案】ACD

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设，，在准线上的射影为，，，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A；

当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设为1，求得，，的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断B；

以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，，，，求得，，可判断C；

考虑直线垂直于轴，取得最小值，可判断D．

【详解】解：的焦点，准线方程为，

设，，在准线上的射影为，，，

由，，，

可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对；

当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；

当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，

设，，，，

可得，，设，，

可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，

当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错；

以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，

设，，，，可得，，

可得，又，可得，，则，故C正确；

显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知圆和圆外切，则_____

【答案】

【分析】根据两圆外切列方程，化简求得.

【详解】圆的圆心为，半径为.

圆的圆心为，半径为.

圆心距为，

由于两个圆外切，所以.

故答案为：

14．直线与圆交于两点，则最小值为______.

【答案】

【分析】求出直线过定点，然后结合圆的性质分析出当直线与OA垂直时，弦长最短，然后结合垂径定理即可求解.

【详解】直线过定点过，因为点在圆的内部，且，由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得，

故答案为：

15．直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段的中点为P（﹣1，2），则直线l的斜率为 _____.

【答案】

【分析】先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出A，B两点坐标，即可求出直线l的斜率.

【详解】设直线l与的交点为，直线l与的交点为.

由已知条件，得直线l与的交点为，

联立，

即，解得，

所以，，，

直线l的斜率，

故答案为：.

16．已知是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线的左右支分别交于A、B两点，若＝2a，，则________

【答案】##0.5

【分析】根据双曲线定义得,再根据三角形面积公式得结果.

【详解】因为，所以，

因为,所以,

因为，所以，

因此

故答案为：.

四、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若2bcosC＝2a﹣c，求角B；

(2)若，求证：tanC＝2tanA.

【答案】(1)；

(2)证明见解析．

【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式化简后可得角；

（2）已知代入余弦定理得，再由正弦定理化边为角，由诱导公式、两角和的正弦公式变形后可证．

【详解】（1）∵,∴由正弦定理得，

，

，是三角形内角，，，

是三角形内角，∴；

（2）∵，

所以，

即，∴，

，

，显然，，因此是锐角，，显然，

所以．

18．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.

(1)求点和点的坐标；

(2)求边上的高所在的直线的斜截式方程.

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）联立方程组求解即可；（2）由（1）得直线的斜率为即可解决.

【详解】（1）由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，

由，

得，故，

由，

所以所在直线方程为，

所在直线方程为，

由，得

所以点和点的坐标为，.

（2）由（1）知所在直线方程为，

所以直线的斜率为，

因为，

所以直线所在的方程为，即，

所以直线的斜截式方程为.

19．如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.

【答案】（1）圆 的圆心坐标为，

即抛物线的焦点为,……………………3分

∴ ∴抛物线方程为……………………6分

1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0

设，则，

……………………11分

∴

【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；

（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.

【详解】（1）设抛物线方程为，

圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．

抛物线的方程为：；

（2）依题意直线的方程为

设，，则，得，

，．

．

【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.

20．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.

(1)若，试求点的坐标；

(2)求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

【答案】(1)，或.

(2)证明见解析，定点和

【分析】（1）利用点在直线上及直角三角形中的锐角三角函数，结合两点间的距离公式即可求解；

（2）根据已知条件及经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于的恒等式即可求解.

【详解】（1）设，

因为是圆的切线，，

所以,，

所以，解得， ，

故所求点的坐标为，或.

（2）设，的中点，

因为是圆的切线，

所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。

故其方程为，

化简，得，此式是关于的恒等式，

所以，解得或，

所以经过，，三点的圆必过定点和.

21．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将点代入方程以及即可求解.（2）联立方程得 的坐标，进而根据向量数量积为0证明垂直关系.

【详解】（1）由题知：，

将点代入方程得：，解得，

椭圆C的标准方程为.

（2）由(1)知，.

设，则，

直线的方程为，

令，则，即，

直线的方程为，

令，则，即

，即.

22．已知双曲线的左、右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线与双曲线交于两点（异于），关于原点的对称点为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在双曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值.

【答案】(1)

(2)定值为，证明见解析.

【分析】（1）根据已知条件及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式及点在双曲线上，结合双曲线中的关系即可求解；

（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及三点共线，结合两直线相交及三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线为，则

由题意可知，，解得，

所以双曲线的标准方程为.

（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，,则

，消去，得，，

因为，所以，

所以，

所以

所以，

由题意可知，，

由三点共线可得

即，

由三点共线可得

即，

相交可得

，

所以直线的方程为，

联立，解得，

所以点在定直线上，

则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与双曲线的交点，此时，且.