2022-2023学年甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．记为等差数列的前项和，公差，、、成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件可得关于的方程，求出的值，即可求得的值.

【详解】由题意可知，即，整理可得，解得，

故.

故选：D.

2．已知数列满足：，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对两边取倒数后，可以判断是首项为1，公差为的等差数列，即可求得.

【详解】由数列满足：，

两边取倒数得：，即，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以，

所以

故选:D

3．从甲､乙､丙､丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出基本事件的总数以及事件甲被选中包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.

【详解】总的基本事件包括（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，丁），（乙，丙，丁）共4个，甲被选中的基本事件有（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，丁），共3个，

故甲被选中的概率为.

故选：D.

4．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学单独正确解决这个问题的概率分别为，，，则有人能够解决这个问题的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用相互独立事件的概率乘法公式求出“三人都未解答这个问题”的概率，利用对立事件的概率公式得到“有人能够解决这个问题”的概率即可．

【详解】三人都未解答这个问题的概率为 （1）（1）（1），

故有人能够解决这个问题的概率为1，

故选：C．

【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件和对立事件的概率公式，考查了正难则反的原则，属于中档题．

5．已知，是不同的直线，，是不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】利用充分条件结线面关系的判定和性质逐个分析判断

【详解】对于A，由，，可得与可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以A错误，

对于B，由，，可得，所以B正确，

对于C，由，，可得与可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，可能在内，所以C错误，

对于D，由，，可得与可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以D错误，

故选：B

6．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ）

A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元

【答案】C

【解析】根据年每年的投资额成等差数列、年每年的投资额成等比数列，利用等差和等比数列求和公式即可求得结果.

【详解】年每年的投资额成等差数列，首项为，公差为，

则年的投资总额为：（万元），

年的投资额为：（万元）

年每年的投资额成等比数列，首项为，公比为，

则年的投资总额为：（万元）；

年的投资总额约为（万元）

故选：C.

7．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，

所以圆锥体的侧面积为，

圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，

所以此陀螺的表面积为（），

故选：C

8．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【分析】根据题意，取的中点，则平面，即就是直线AC与底面BCD所成的角，解三角形即可求得角的大小.

【详解】取的中点，则

因为侧面底面BCD，侧面底面，侧面，所以平面，

因为平面，所以，

所以就是直线AC与底面BCD所成的角，

因为，，，所以，

在直角中，，

在直角中，，即，

所以直线AC与底面BCD所成角的大小为，

故选：.

二、多选题

9．下列说法不正确的是（    ）

A．AB为平面外的线段，若A､B到平面的距离相等，则

B．若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角不一定相等

C．若直线直线b，则a平行于过b的所有平面

D．若直线平面，直线平面，则

【答案】ACD

【分析】由空间中点线面的位置关系逐一判断即可

【详解】对于A：满足条件的点A､B还可以在平面的两侧，故A错误；

对于B：根据等角定理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，两个角相等或互补，故B正确；

对于C：当过直线b平面也经过直线时，a不平行于平面，故C错误；

对于D：若直线平面，直线平面，则直线可能平行或相交或异面，故D错误；

故选：ACD

10．已知数列其前n项和为，则下列选项正确的是（    ）

A．若数列为等比数列，且，则

B．若数列为等差数列，且，则

C．若数列为等差数列，，的最大值在或时取得

D．若数列为等比数列，则也为等比数列

【答案】BC

【分析】根据等比数列和等差数列的下标和性质、等差数列前项和的性质，以及等比数列的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：若为等比数列，设其公比为，则，故可得；

又，故，故错误；

B：若为等差数列，则，故可得，故正确；

：数列为等差数列，设其公差为，由，即，

整理得：，又，则，该数列的前项均为正数，，

故当或时，取得最大值，故C正确；

D：若数列为等比数列，不妨令，是首项为，公比为的等比数列，

此时，其前三项为：，，故该数列不是等比数列，故错误.

综上所述，正确的选项是.

故选：.

11．下列四个命题正确的为（    ）

A．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为

B．新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治､地理､化学､生物四个学科中任选两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为

C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为

【答案】ABD

【分析】由古典概型的计算公式求解可判断AB；由相互独立事件的概率公式求解可判断CD

【详解】对于A：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为：

，

，

，

共36种，

其中向上点数之和不小于10的有，

，，共6种，

则向上点数之和不小于10的概率为，故A正确；

对于B：某同学需要从政治､地理､化学､生物四个学科中任选两科参加高考有种，

选出的两科中含有政治学科的有种，

则选出的两科中含有政治学科的概率为，故B正确；

对于C：该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，

则前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，

所以该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故C错误；

对于D：由题意得，

解得，故D正确；

故选：ABD

12．在棱长为2的正方体中，E､F､G分别为BC､､的中点，则下列选项正确的是（    ）

A． B．直线与EF所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为 D．平面AEF

【答案】BD

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法分别判断ABD即可，根据即可判断C.

【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

对于A，，

则，所以不垂直，故A错误；

对于B，，

则，

即直线与EF所成角的余弦值为，故B正确；

对于D，设平面的法向量，

则有，令，则，

所以，

因为，所以，

又平面，

所以平面AEF，故D正确；

对于C，，

则，故C错误.

故选：BD.

三、填空题

13．抛掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则是虚数单位）为实数的概率是___________.

【答案】

【分析】根据题意由表示实数，得到之间的关系，再根据概率公式，即可得到结果.

【详解】，由其为实数，得.

即求两颗骰子点数相同的概率.

基本事件总数是，点数相同有6种，

于是为实数的概率是.

故答案为:

14．等差数列中，，，则数列的前2021项和为___________.

【答案】

【分析】设公差为，根据题意求出首项与公差，从而可求得等差数列的通项，再结合余弦函数的周期性，即可得出答案.

【详解】解：设公差为，

由，，

得，解得，

所以，

则，

因为函数得最小正周期为，

所以数列的前2021项和为

.

故答案为：.

15．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，， ，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是_________．

【答案】

【详解】设点在下底面圆周的射影为，连结，则，

为直线与所成角(或补角)，，

连结，

为正三角形,,

则直线与所成角大小为.

故答案为：.

16．如图，在棱长为1的正方体中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若平面，则的最小值是___________.

【答案】##

【分析】利用面面平行的性质定理确定点轨迹，然后由线面垂直的性质定理求得的最小值．

【详解】解：如图，取中点，中点，连接，

由与平行且相等得是平行四边形，，

平面，平面，所以平面，

同理平面，

与平行且相等，则有平行四边形，，

所以是平面四边形，

是平面内两相交直线，因此平面平面，

因此平面，则，

平面，平面，则，

作，垂足为，连接，是平面内两相交直线，

因此平面，

而平面，所以，此时的长是所求的最小值，

正方体棱长为2，，，

．

故答案为：．

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；

（2）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，

解得，.

（2）解：，且，故数列为等比数列，且首项为，公比为，

因为.

18．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；

(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？

(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．

【答案】(1) (2)1个 (3)

【详解】试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．

（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．

（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．

试题解析：（1）重量在的频率为：；

（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数为：；

（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有，，，，，种情况．

其中符合 “重量在和中各有一个”的情况共有3种;设“抽出的个苹果中，任取个，重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率．

【解析】1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．

【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．

（1）证明：AP∥平面EBD；

（2）证明：BE⊥PC．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）连结AC交BD于点O，连结OE，利用三角形中位线可得AP∥OE，从而可证AP∥平面EBD；

（2）先证明BD⊥平面PCD，再证明PC⊥平面BDE，从而可证BE⊥PC．

【详解】证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE

因为四边形ABCD为平行四边形

∴O为AC中点，

又E为PC中点，

故AP∥OE，

又AP平面EBD，OE平面EBD

所以AP∥平面EBD ；

（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点

所以PC⊥DE

因为平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD平面ABCD＝CD，

又BD平面ABCD，BD⊥CD

∴BD⊥平面PCD

又PC平面PCD，故PC⊥BD

又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE

故PC⊥平面BDE

又BE平面BDE，

所以BE⊥PC．

【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.

20．从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数.

(1)写出此试验的样本空间；

(2)求组成的两位数是偶数的概率；

(3)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)不互相独立

【分析】（1）利用列举法即可得到此试验的样本空间；

（2）利用公式去求组成的两位数是偶数的概率；

（3）利用公式去判断两事件是否独立.

【详解】（1）从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数

则此试验的样本空间为

（2）组成的两位数是偶数的共有8种情况，样本空间共有20种情况，

则组成的两位数是偶数的概率为

（3）组成的两位数是3的倍数的共有8种情况，样本空间共有20种情况，

则组成的两位数是3的倍数的概率为

组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种情况，样本空间共有20种情况，

则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为

记“组成的两位数是偶数” 为事件A； 记“组成的两位数是3的倍数”为事件B

则“组成的两位数是偶数且为3的倍数” 为事件AB

则

由，可得

则事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不互相独立.

21．设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，，成等差数列，可得，再根据与的关系求通项即可；

（2）利用裂项相消法求出，从而可求得的范围，即可求出的范围，即可得解.

【详解】（1）解：因为，，成等差数列，

所以，即，

当时，，

即，

由，得，

所以数列是以为公比的等比数列，

则，即，所以，

所以；

（2）解：，

则，

因为恒成立，所以，

所以的最小值.