2022-2023学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由直线方程求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得答案

【详解】解：由直线得其斜率为，

设直线的倾斜角为（），则，

所以，所以直线的倾斜角为，

故选：D

【点睛】此题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题

2．已知向量，，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】利用空间向量的模公式求解.

【详解】解：因为向量，，

所以，

则，

故选：B

3．已知直线，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用可求得的值，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为，则，解得或.

当时，直线的方程可化为，直线的方程可化为，此时两直线重合，不合乎题意.

当时，直线的方程可化为，直线的方程可化为，

此时，，合乎题意.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

4．已知两点，，以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则a等于（    ）

A． B．3 C．1 D．

【答案】C

【分析】计算圆心为，根据题意得到，代入计算得到答案.

【详解】的中点坐标为，根据题意得到，

即，解得.

故选：C

5．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】首先利用空间向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解.

【详解】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为.

故选：B

6．若向量是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直

C．直线在平面内 D．相交但不垂直

【答案】D

【分析】利用向量运算法则计算得到与不垂直，与不平行，得到直线和平面的位置关系.

【详解】，，，故与不垂直，即直线与平面不平行；

若，则，无解，故与不平行，即直线与平面不垂直.

故选：D.

7．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，E，F为CD上两个动点，且，则点到平面PEF的距离（    ）

A．等于 B．

C．等于 D．与EF的位置有关

【答案】A

【分析】题目转化为求点到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.

【详解】点到平面的距离，即点到平面的距离，

，，

故.

故选：A.

8．已知点，，，直线将△ABC分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时实数k的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，，结合均值不等式可得当时面积之积取得最大值，即，结合直线的方程求解点坐标，代入直线求解即可.

【详解】

由题意，直线将△ABC分割为两部分，不妨记两部分面积分别为，

故，由，

结合均值不等式可得，即，

当且仅当时等号成立，

即直线将△ABC分割为面积相等的两部分时两个部分的面积之积最大，

由于，故若两部分面积相等，与相交，

设交点为，

故，

由于直线方程为，代入可得，

故，由于在上，解得.

故选：A

二、多选题

9．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则；

B．则，，两两共面，但，，不可能共面；

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使；

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【答案】BC

【分析】所成角不一定为，A错误，，，共面不能构成空间的一个基底，B正确，根据空间向量基本定理得到C正确，，，向量共面，D错误

【详解】，，则所成角不一定为，A错误；

若，，共面，则不能构成空间的一个基底，B正确；

根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，C正确；

，故，，向量共面，不能构成空间的基底向量，D错误.

故选：BC

10．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值可能等于（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】AC

【分析】由点线距离列等式求解即可

【详解】由A、B两点到直线l距离相等得，解得或.

故选：AC

11．已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆M的半径为5

B．圆M关于直线对称

C．点在圆M内

D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5

【答案】ABD

【分析】根据圆的方程可确定圆心与半径即可判断A；根据圆的对称性可判断B；根据点与圆的位置关系可判断C；结合圆外一点与圆上一点求最值即可判断D.

【详解】解：圆M的一般方程为，化为标准方程为

则圆心，半径为5，故A正确；

圆心满足直线方程，则直线过圆心，所以圆M关于直线对称，故B正确；

点到圆心的距离为，故该点在圆外，故C不正确；

实数x，y满足圆M的方程，则为圆上一点与点的距离，又，则在圆外，所以的最小值即，故D正确.

故选：ABD.

12．如图，已知P为棱长为1的正方体对角线上的一点，且，下面结论中正确的有（    ）

A．

B．可能与面APB垂直

C．当取最小值时，

D．若，则

【答案】AC

【分析】以D为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐一分析即可.

【详解】以D为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，

则，设

因为，，

所以 ，即

解得

对于A,因为

所以

则，

所以，故A正确，

对于B,因为

所以

设为面的法向量，则

即 ，令则，

假设与面APB垂直，即与面垂直，

故即

得 ，此方程组无解，

即不可能与面APB垂直，故B错误，

对于C，

，

则当时，取最小值，故C正确,

对于D,因为

所以

则

因为，所以则

则则故D错误.

故选:AC

三、填空题

13．已知向量，，且与相互垂直，则k的值为__________．

【答案】1

【分析】直接根据向量的垂直关系计算得到答案.

【详解】，，

，解得.

故答案为：1

14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________．

【答案】

【分析】先根据两直线平行求出参数，再利用平行线间距离公式求解即可.

【详解】因为直线与直线平行，

则有，解得：，

所以直线可化为，也即，

由两平行线间距离公式可得：，

故答案为：.

15．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值是__________．

【答案】##2.25

【分析】根据题意可知直线过圆心，得，结合基本不等式即可求的最小值.

【详解】解：，圆心为，半径

若圆关于直线（，）对称，则直线过圆心

则，，，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.

故答案为：.

16．如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为__________．

【答案】

【分析】由已知得，，，长度为2，且两两夹角已知，可用三个向量表示出，表示出模长即可得到最小值.

【详解】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形，

则，且，，

所以即为二面角的平面角，即.

因为，，设，

则，且，，

则

则，

，

则，当时，有最小值为.

所以，.

所以，线段MN长的最小值为.

四、解答题

17．在中，已知顶点，，．

(1)求AB边上中线的方程：

(2)求过点B，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程．

【答案】(1)

(2)直线的一般式方程为或

【分析】（1）求得线段的中点坐标，再结合点的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；

（2）分两类：①当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，代入点，求出的值；②当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，代入点，求得的值，得解．

【详解】（1）解：，，则中点坐标为

则，故AB边上中线的方程为，即

（2）解：当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，

代入点，则，解得，

所以所求直线的方程为，即；

当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，

代入点，则，解得，

所以所求直线的方程为，即，

综上所述，该直线的一般式方程为或．

18．已知平行六面体中，各棱的长为，底面是正方形，且，设，，．

(1)用，，表示并求的值；

(2)求异面直线AC与所成角的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接利用向量的加减运算得到的表达式，在根据计算得到答案.

（2）计算，，再根据向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）.

根据题意：，，

.

（2），，

，

异面直线AC与所成角的余弦值为.

19．求下列圆的方程

(1)圆经过坐标原点，和；

(2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆的方程为，依题意得到方程组，解得即可；

（2）设圆心坐标为，半径为，则其标准方程为，根据圆过和两点得到方程组，解得、，即可得解.

【详解】（1）解：设圆的方程为，

依题意可得，解得，

所以圆的方程为，即.

（2）解：根据题意，设圆心坐标为，半径为，

则其标准方程为，

由于点和在圆上，则有①，

②，

解可得，，

故圆的标准方程为；

20．在四棱锥中，面面ABCD，，，，，，，M是棱PA上一点且．

(1)求证： 平面PCD；

(2)求直线BM与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)见详解

(2)

【分析】（1）取AD中点为O点，连结PO、CO，易证PO、CO、OA两两垂直.建立空间直角坐标系，利用空间坐标求得平面的法向量，由，可得，进而证得；

（2）求得平面的法向量，由即可得解.

【详解】（1）取AD中点为O点，连结PO、CO，则.

由已知，，，则有，.

又，在平面ABCD中，有，

由已知可得，为直角三角形，则.

又面面ABCD，面面ABCD=AD，

则面ABCD ，面ABCD ，.

所以，PO、CO、OA两两垂直.

如图建立空间直角坐标系，由题意得，

，，，，.

，，，，故.

设平面的法向量为，则

，即

令，则.

∴.

∴，

∴，又平面，

∴平面.

（2）由（1），， .

则，

设平面的法向量为，则

，即，

令，则.

所以.由（1）知.

所以直线BM与平面PBC所成角的正弦值.

21．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且．

(1)求证：面；

(2)在线段PD上是否存在点E，使平面PAB与平面ACE所夹角的余弦值为？若存在，找出点E的位置：若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，是中点

【分析】（1）证明平面，得到，同理得到，得到线面垂直.

（2）如图所示建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，利用向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），，，故平面，平面，

故，同理可得，，故面.

（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

设，则，，

平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，

则，

取得到，，即，

，解得，

即存在点满足条件，是中点.

22．已知曲线C的方程为

(1)判断曲线C的形状；

(2)设直线与曲线C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点），求曲线C的方程．

(3)已知点，，若点P为（2）中所求曲线上一动点，且满足，求的取值范围．

【答案】(1)曲线是以点为圆心，以为半径的圆

(2)曲线的方程为

(3)

【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；

（2）由圆过坐标原点，且，可得圆心在的垂直平分线上，从而求出，再判断不合题意即可；

（3）设，可得，又，即，可得，把两式转化为圆与圆有公共点问题，即可得的取值范围．

【详解】（1）解：将曲线的方程化为

可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆．

（2）解：圆过坐标原点，且，

圆心在的垂直平分线上，，，

当时，圆心坐标为，圆的半径为，

圆心到直线的距离，

直线与圆相离，不合题意舍去，

，这时曲线的方程为．

（3）解：设，由于点在圆上，所以①

若，则，即②，

要满足①②两式，即以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以，所以，又，解得.