2022-2023学年四川省绵阳市绵阳南山中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省绵阳市绵阳南山中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．在下列函数中，以为周期的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用周期的概念逐一判断即可

【详解】A.，

则，其不是以为周期的函数；

B.，

则

，其不是以为周期的函数；

C.，

则

，其不是以为周期的函数；

D.

则

，其是以为周期的函数；

故选：D.

2．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.

【详解】由，

所以，

∴，

所以.

故选：A．

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性可排除选项A，B；根据函数在上的单调性可排除选项C，进而可得正确选项.

【详解】函数的定义域为且，关于原点对称，

因为，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项A，B，

当时，，

由在上单调递增，在上单调递减，

可得在上单调递增，排除选项C，

故选：D.

4．定义域为的函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又，则 （    ）．

A．在上是增函数且有最大值2 B．在上是减函数且有最大值2

C．在上是增函数且有最小值2 D．在上是减函数且有最小值2

【答案】B

【分析】利用偶函数的性质，结合函数的最值定义进行求解即可.

【详解】因为函数是实数集上偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，

所以函数在上是减函数，在上是增函数，

则，

又因为上是增函数，所以有；

在上是减函数，所以有；

因此当时，有最大值，最大值为，

而函数是实数集上偶函数，

因此函数在实数集上有最大值2

故选：B

5．已知函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断.

【详解】，

，，

，，

根据零点存在性定理可得一定包含零点的区间是.

故选：C.

6．已知函数与分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数的奇偶性得到，，解得答案.

【详解】根据题意：，，即，

解得.

故选：B.

7．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，由与直线有两个交点，可得的取值范围．

【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则

故选：D

8．已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．(-∞,-2]∪[4,+∞) B．(-∞,-4)∪[2,+∞)

C．(-2,4) D．(-4,2)

【答案】D

【解析】由已知条件，利用基本不等式求得，再由恒成立，可得，从而可求出m的取值范围

【详解】解：因为，x>0，y>0，

所以，当且仅当时，取等号，

因为恒成立，

所以，解得，

故选：D

二、多选题

9．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对底数分情况讨论即可得答案.

【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．

当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．

故选：BC

【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.

10．已知函数同时满足下列三个条件：

①该函数的最大值为；

②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；

③该函数图象关于对称.

那么下列说法正确的是（    ）

A．的值可唯一确定

B．函数是奇函数

C．当时，函数取得最小值

D．函数在区间上单调递增

【答案】AC

【分析】根据题目条件求出函数解析式，进一步根据函数的性质，求出各选项.

【详解】由题可知：，,即

∴

又∵该函数图象关于对称

∴，即

又∵

∴当时，

∴

A选项：此时的值可唯一确定，A正确；

B选项：

当时，

∴此时函数不是奇函数，故B错误；

C选项：，

此时函数取得最小值，故C正确；

D选项：已知，

∴

∴在函数在区间上单调递减，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数是上的增函数，则实数的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解.

【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，

因为函数是上的增函数，

所以，解得.

所以实数的取值可以是，.

故选：BD.

12．已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（    ）

A．时，函数解析式为

B．函数在定义域上为增函数

C．不等式的解集为

D．不等式恒成立

【答案】BC

【解析】对于A，利用奇函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.

【详解】对于A，设，，则，

又是奇函数，所以，

即时，函数解析式为，故A错；

对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；

对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即，

所以不等式，转化为，

又在上为增函数，得，解得，

所以不等式的解集为，故C对；

对于D，当时，

，

当时，

不恒大于0，故D错；

故选：BC

【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：

（1）把不等式转化为的模型；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.

考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：

（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；

（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；

（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；

（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；

三、填空题

13．若幂函数的图象关于原点对称，则的取值为__.

【答案】1

【解析】根据幂函数的定义列方程求出的值，再判断函数的图象是否关于原点对称.

【详解】解：幂函数中，

令，

解得或；

当时，，图象关于原点对称；

当时，，图象不关于原点对称；

所以的取值为1.

故答案为：1.

14．已知，则＝_____.

【答案】

【解析】根据指数与对数之间的关系,求出,利用对数的换底公式,即可求得答案.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:是解本题的关键.属于基础题.

15．设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为______．

【答案】8

【分析】利用函数的性质，在同一坐标系下分别画出函数和的图像，将函数的零点转化为两个函数图像的交点问题，利用对称性，即可求解零点的和.

【详解】首先由条件可知，函数关于轴对称，

又因为，所以函数关于直线对称

再根据当时，，可以画出函数的图像，

同一坐标系下再画出函数的图像，

由图可知，时，两个函数有8个交点，根据对称性可知，所有交点关于对称，所以所有零点和为8.

故答案为：8

16．若函数在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______.

①；②；③；④.

【答案】②③

【解析】根据新定义解方程，判断方程是否有非零实数根，对函数逐一判断即可.

【详解】对于①，的定义域为，由，得，平方得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”；

对于②，的定义域为，由，得，即，解得，则是“壹函数”；

对于③，的定义域为，由，得，可得，即，解得，则是“壹函数”；

对于④，的定义域为，由，得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”.

故答案为：②③.

四、解答题

17．化简求值：

（1） ；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解；

（2）利用对数的性质、运算法则直接求解．

【详解】（1）

；

（2）

.

【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．已知函数，，

(1)求函数的单调递减区间；

(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；

(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.

【答案】(1).

(2)时，  ； 时，.

(3)

【分析】(1)根据复合函数单调性的求法，使即可；

(2)根据余弦函使其交集不为空集

(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.

【详解】（1），解不等式得： ，

所以函数的单调递减区间为.

（2），即时，  ，

，即 时，；

（3）时，，，

时， ， ，

要使得，只需， .

19．集合，.

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）或.

【分析】（1）解分式不等式求集合，解绝对值不等式求集合，再求集合的并集；（2）

先求集合的补集，再根据交集和空集的定义求解.

【详解】（1）由得即，

解得或，所以或；

当时，

由得，即，

所以，

所以或.

（2）由得，即，

所以，

由（1）得或，

所以，

若，则或，

即或，

所以，的取值范围是或.

【点睛】本题考查分式不等式和绝对值不等式的解法，集合的运算，注意端点值.

20．已知函数．

(1)令，求t的取值范围并将化为关于t的函数；

(2)求的最小值；

(3)若在上有零点，求a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）将两边同时平方得到，即可求得，再结合的范围求出的范围；

（2）按照对称轴和区间的位置分，和三种情况求解；

（3）令，参变分离得到，借助单调性的定义判断出单调性，即可求得a的取值范围.

【详解】（1）由，得，

，，

将代入得）；

（2）当即时在上单调递增，.

当即时在上单调递减在上单调递增，，

当即时在上单调递减，，

；

（3）由得，

，

记，设且，

当时，在上单调递减，

同理，在上单调递增.，

又，

所以a的取值范围是.

21．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.

（1）把利润表示为产量的函数.

（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；

（3）产量为多少时，企业所得利润最大？

【答案】（1）；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.

【分析】（1）依题意对与分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；

（2）要使企业不亏本，则，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；

（3）根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）设利润为y万元，当时，，当时，

综上可得 ；  

（2）要使企业不亏本，则.

即或

得或，即.

即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.

（3）显然当时，企业会获得最大利润，

此时，，

，即年产量为475台时，企业所得利润最大.

22．已知函数在时有最大值为1，最小值为0.

（1）求实数的值；

（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题得，解方程组即得解；

（2），在上恒成立，设，则，，再求最大值即得解.

【详解】（1）函数，∴在区间上是增函数，

故，解得.

（2）由已知可得，则，

所以不等式，转化为，

在上恒成立.

设，则，即，在，上恒成立，

即：，∵，∴，

∴当时，取得最大值，最大值为，则，即，∴的取值范围是.

【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，考查对数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于较难题.