2022-2023学年湖南师范大学附属中学高一上学期期末模拟数学试题（一）（解析版）

湖南师范大学附属中学期末模拟（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合，根据交集概念求出，从而可得答案.

【详解】因为，，

所以或或或或或或，

所以,

因为、、、满足，

所以，

所以中元素的个数为.

故选：C

2. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用作差法逐项判断可得答案.

【详解】因为a，b，c满足，所以，，，

对于A，，所以，故A错误；

对于B，，所以，故B错误；

对于C，，所以，故C错误；

对于D，，所以，故D正确；

故选：D.

3. 已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)

A. ∀x∈R，f(－x)≠f(x)

B. ∀x∈R，f(－x)≠－f(x)

C. ∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)

D. ∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.

【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，

∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，

∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.

故选C

【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

4. 若正实数满足，则

A. 有最大值4 B. 有最小值

C. 有最大值 D. 有最小值

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．

考点：基本不等式

5. 已知是第三象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系与二倍角公式即可得解.

【详解】由已知得，，则原式

.

故选：D

6. 已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

【详解】(1)当存使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.

7. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息（    ）（参考数据：，）

A. 4．1小时 B. 4．2小时 C. 4．3小时 D. 4．4小时

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意知经过小时，血液中的酒精含量为，则，解不等式即可.

【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.由，得，则.因为，则，所以开车前至少要休息4.2小时，

故选：B．

【点晴】关键点点晴：实际问题，关键是读懂题意抽象出具体函数.

8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可.

【详解】由知是周期为2的周期函数，

函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点，

①当时,画出函数与的图象如下图所示,

根据图象可得,即.

②当时,画出函数与的图象如下图所示,

根据图象可得,即 .

综上所述,的取值范围是.
 

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列各小题中，是的充要条件的是（    ）

A. p：或；q：有两个不同的零点；

B. p：；q：是偶函数；

C. p：；q：；

D. p：；q：

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项利用判别式进行判断，B选项根据分母不为零容易判断，C选项结合同角三角函数的关系判断，D选项根据集合的包含关系判断.

【详解】A选项，有两个不同的零点，即，即，解得或，于是是的充要条件，A选项正确；

B选项，中所表示的偶函数必须，而中的偶函数的值域无限制，B选项错误；

C选项，无法推出，例如，但，进而无法推出，C选项错误；

D选项，根据集合的包含关系，，，故D选项正确.

故选：AD

10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的最大值为2

C. 在区间上单调递增

D. 为偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】

由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论．

【详解】由图知，的最小正周期，则.

由，得.由，得，则，所以.

当时，，则单调递增.

因为，则不是偶函数，

故选：BC．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 当时，无零点

B. 当时，只有一个零点

C. 当时，有两个零点

D. 若有两个零点，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】

判断函数零点转化为判断方程的根，再转化为考察直线和抛物线的位置关系即可求解.

【详解】令，则，即，即．

考察直线和抛物线的位置关系，由图可知，

当时，无零点；

当或时，只有一个零点，

当且时，有两个零点；

若有两个零点，，则，是方程的两根，

由韦达定理，得，

故选：ABD

12. 若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（    ）

A. a2＋b2＋c2≥1 B. a＋b＋c≤

C. ++ ≤2 D. (a＋b＋c)2≥3

【答案】AD

【解析】

【分析】

先利用均值不等式得到a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，确定A正确，进而推出BD选项正误，再利用特殊值验证C项错误即可.

【详解】由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A正确；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但 ＝3＞2，故C项错误．

故选：AD.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知集合，，则______

【答案】

【解析】

【分析】解不等式求出集合 ,根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意解不等式可得或，则或，

解不等式，即且 ，则 ，

故，

所以，

故答案为：.

14. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数定义，求得，以及，再结合正切的倍角公式，即可求得结果.

【详解】根据题意，，解得或或，又是第二象限角，故；

则，则.

故答案为：.

15. 在等式的等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数的积为______.

【答案】

【解析】

【分析】将题意转化为，，求最小时的值，再根据基本不等式求解即可.

【详解】由题意，即，，求最小时的值.

因为，当且仅当，即时取等号，此时，.

故答案为：

16. 对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使当时，的值域也是，则称函数为“保值”函数，区间称为函数的“等域区间”.

（1）请写出一个满足条件的“保值”函数：______

（2）若函数是“保值”函数，则实数k的取值范围是______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）单调函数，定义域与值域一样，固然想到

（2）根据判断的单调性，转化为关于的方程的两个实数根.

【详解】（1）由题意得方程至少有两个根，设函数

（2）因为是增函数，

若是“保值”函数，则存在实数，

使即

所以是关于的方程的两个实数根，

从而方程有两个不相等的实数根.

令，则

函数在上单调递减，在上单调递增，

，根据二次函数的图象可知，

当且仅当时，直线与曲线有两个不同的交点，

即方程有两个不相等的实数根，故实数的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数，集合

（1）当时，求函数的最大值；

（2）记集合，若是的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出对称轴，再讨论区间与对称轴的关系，即可求解．

（2）先得到，再分和，分别列出不等式组，求解即可．

【小问1详解】

，，对称轴为，

当时，在上单调递减，，

当时，在,上单调递增，在,上单调递减，，

当时，在,上单调递增，，

综上所述：．

【小问2详解】

是的充分条件，

①当时，，解得，

②当时，由题意得方程，即在,上有两个实根，

令，则，解得，

综上所述：实数的取值范围是．

18. 已知函数.

（1）求证：是奇函数；

（2）求证：；

（3）若，，求，的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3），

【解析】

【分析】（1）由函数解析式可得，求得函数的定义域关于原点对称．再根据，可得是奇函数．

（2）根据对数的运算法则分别求得，，可得要证的等式成立．

（3）由条件利用（2）的结论可得，，由此求得和的值．

【小问1详解】

解：由函数，可得，即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称．

再根据，可得是奇函数．

【小问2详解】

证明：，

而，

成立．

小问3详解】

解：若，，则由（2）可得，，

解得， ．

19. 设．

（1）求使不等式成立的的取值集合；

（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.

（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.

【详解】解：.

（1）即：

，

所以原不等式的解集为：.

（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数，

∴.

设，由可得：，

则原不等式等价于：在上恒成立；

设，，则在递增，在递减，所以，

所以．

【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的求解问题．另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒成立问题.

20. 如图所示，有一块扇形钢板OPQ，面积是平方米，其所在圆的半径为1米，

（1）求扇形圆心角的大小；

（2）现在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大.试问如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？

【答案】（1）   

（2）当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米

【解析】

【分析】（1）利用扇形面积公式列方程，从而求得扇形圆心角的大小.

（2）连接，设，将裁下的钢板的面积用来表示，结合三角函数的性质求得面积的最大值以及此时点的位置.

【小问1详解】

依题意，，

设，则，

即扇形圆心角的大小为.

【小问2详解】

连接，设，过作，垂足为，

在中，，

所以，

设四边形的面积为，

则

，

由于，

所以当时，取得最大值为（平方米）.

所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米.

21. 某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每1件的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；①②③

（2）利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；

（3）设你所选取的函数为，若对任意实数k，关于x的方程恒有两个相异实数根，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；   

（3）

【解析】

【分析】（1）随着时间的增加，的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；

（2）把点代入中，求出函数的解析式，利用配方法，即可求出该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；

（3）由（2）结合题意可得有两个相异的实根，然后由可求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的函数中和都是单调函数，不满足题意，

所以选择

【小问2详解】

把点代入中，得

，

解得，

所以，

所以当时，有最小值26，

所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；

【小问3详解】

由（2）可知，

所以由，得

，

即，

因为方程有两个相异实数根，

所以，

所以，

因为对任意实数k，上式恒成立，

所以，解得，

所以实数m的取值范围为.

22. 设函数.

（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）当时，不等式恒成立，当，由条件可得在，上恒成立，进一步得到，求出的范围即可；（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解，设，然后分和两种情况求出的范围．

【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；

当时，不等式恒成立，则；

当，则在，上恒成立，

即在，上恒成立，

因为在，上单调增，，，

则，解得，；

则实数的取值范围为，；

（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；

设

当时，则，，，且在，上单调递增，

所以，（2），

则当时，原方程有解，则；

当时，，

则在，上单调增，在上单调减，在，上单调增；

①当，即时，（2），，

则当时，原方程有解，则；

②当，即时，，，

则当时，原方程有解，则；

③当时，，，

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

综上，当时，实数的取值范围为，；

当时，实数的取值范围为；

当时，实数的取值范围为，．

【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．