2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高一上学期第一次测试数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高一上学期第一次测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：C

2．下列各图中,可表示函数图像的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义，判断出正确选项.

【详解】由于函数是一一对应或者多对一对应，而A,B,D三个选项都存在一对多对应，不符合函数的定义.

故选C.

【点睛】本小题主要考查函数的定义，考查函数图像正确与否的识别，属于基础题.

3．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的定义求得正确答案.

【详解】的定义域为，值域为，

A选项，的定义域、值域、对应关系与相同，是同一函数，A选项正确.

B选项，的值域是，且对应关系也不同，所以与不是同一函数.

C选项，的定义域是，所以与不是同一函数.

D选项，对于函数，当时，，所以与不是同一函数.

故选：A

4．下列所给关系中，正确关系的个数是（    ）

①；    ②；    ③；    ④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据元素与集合的关系逐项判断可得答案.

【详解】对于①，是无理数，所以，故①错误；

对于②，是无理数，所以，故②错误；

对于③，，故③正确；

对于④，，故④错误.

故选：A.

5．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依次判断每个函数的单调性得到答案.

【详解】在上为减函数，A错误；

在上为减函数，B错误；

在上为减函数，在上为增函数，C错误；

当时，为增函数，D正确.

故选：D

6．若，则实数a的值为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．-1或1

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用两个集合相等列式计算作答.

【详解】在中，且，而，则有，解得，

所以实数a的值为-1.

故选：A

7．已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由图可得阴影部分表示的集合为，即可求出.

【详解】由图可得阴影部分表示的集合为，

，

则可得.

故选：C.

8．集合的元素个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】利用列举法求得正确答案.

【详解】当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

所以，所以有个元素.

故选：B

9．已知函数在区间上的值域为，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得正确答案.

【详解】，

的开口向下，对称轴为，画出的图象如下图所示，

由于区间上的值域为，

由图可知，的取值范围是.

故选：D

10．若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限，得到，由此判断二次函数的图象的开口方向和对称轴，排除可得答案.

【详解】因为一次函数的图象经过二、三、四象限，

所以，

所以二次函数的图象开口向下，对称轴，且过原点，

所以不正确.

故选： C

【点睛】关键点点睛：由一次函数的图象经过二、三、四象限得到是解题关键.

11．已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定和函数的单调性，计算，B正确，，D错误，举反例得到AC错误，得到答案.

【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增.

，故，解得；

，，B正确；

，，D错误；

取，，，满足条件，

，A错误；，C错误；

故选：B

12．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.如：，.已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法和反比例函数的性质得到函数的值域，然后根据高斯函数的定义求函数的值域即可.

【详解】令，则，根据反比例函数的性质可得，所以的值域为.

故选；D.

二、填空题

13．函数的定义域是____________．

【答案】

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】由解得，

所以的定义域.

故答案为：

14．已知函数，则____________．

【答案】

【分析】根据函数解析式的求法求得正确答案.

【详解】由于，

所以.

故答案为：

15．已知定义在上的函数，满足对于任意实数m，n恒有，且，则____________．

【答案】–1

【分析】根据以及列方程，从而求得.

【详解】依题意，，

所以

，

解得.

故答案为：

16．已知函数是上是减函数，则a的取值范围___________

【答案】

【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.

【详解】函数是上的减函数，

所以，

解得.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调.

三、解答题

17．已知集合，．

(1)求；

(2)若非空集合，且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.

（2）由列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】（1）∵．

∴，又，

∴．

（2）由，且集合是非空集合，

∴，即．

∴实数a的取值范围是．

18．已知函数（）．

(1)用分段函数的形式表示函数；

(2)请在方格坐标系中画出函数的图像．

【答案】(1)

(2)作图见解析

【分析】（1）分与0的大小关系去绝对值求解即可；

（2）根据分段函数解析式作图即可.

【详解】（1）当时，；

当时，．

∴．

（2）函数的图像如下图所示．

19．已知函数，．

(1)求和的值；

(2)由（1）所得结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现．

【答案】(1)，

(2)；证明见解析

【分析】（1）直接计算得到答案.

（2）确定，计算得到证明.

【详解】（1），，，

，．

故，．

（2）由（1）所得结果发现．

证明如下：．

20．某企业在现有设备下每日生产总成本q（单位：万元）与日产量x（，单位：吨）之间的函数关系式为：．为了配合国家环境卫生综合整治，防治大气污染，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量吨时，每日生产总成本y为142万元．

(1)求引进除尘设备后，每日生产总成本y（单位：万元）关于日产量x（单位：吨）的函数解析式；

(2)若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少吨时，日利润最大，最大日利润为多少万元？

【答案】(1)（）

(2)引进除尘设备后日产量为9吨时，日利润最大，最大日利润为34万元

【分析】（1）将两种成本相加即可.

（2）确定利润的解析式，根据二次函数的性质得到最值..

【详解】（1），

当日产量吨时，总成本万元，故，解得．

（）．

（2），，

日利润．

引进除尘设备后日产量为9吨时，日利润最大，最大日利润为34万元．

21．已知函数的定义域为．

(1)用单调性定义证明函数在其定义域内单调递增；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用函数单调性定义，直接证明函数在内递增作答.

（2）利用（1）的结论，脱去法则“f”列出不等式组，求解作答.

【详解】（1），且，则

，

因，则，，则，即，

所以函数在其定义域内单调递增.

（2）函数的定义域为，且在内单调递增

因此，解得，

不等式的解集为．

22．已知函数（）的最小值为–1．

(1)求实数a的值；

(2)当，时，求函数的最小值．

【答案】(1)2

(2)答案详见解析

【分析】（1）利用的最小值求得.

（2）对进行分类讨论，从而求得的最小值.

【详解】（1）∵函数，

∴函数的图象开口向上，对称轴为直线．

∴，解得或（舍）．

∴实数a的值为2．

（2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线．

①当，即时，函数在区间上为减函数，

∴；

②当时，函数在区间上为增函数，

∴；

③当，即时，易知．

综上，当时，；

当时，；

当时，．