初中数学北师大版九年级下册1 圆课时训练

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2022-2023学年九年级数学中考复习《圆》解答题专题提升训练（附答案）
1．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．

2．如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．
求证：EF与圆O相切．

3．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．



4．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，EF＝5，求⊙O的半径．

5．如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO．延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AE＝DE＝3，求AF的长．

6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
证明：（1）BD＝DC；
（2）DE是⊙O切线．

7．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．

8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．


9．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．


10．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．


11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．

12．如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．

13．已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）求阴影部分面积．

14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若∠D＝60°，AD＝2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC＝，求BD的长．


16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB＝∠BAE＝45°
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若 AB＝AD，AC＝2，tan∠ADC＝3，求CD的长．


17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．


18．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF＝5，cosA＝，求BE的长．

19．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若BC＝15，AD＝20，求AB和CD的长．

20．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？







参考答案
1．（1）证明：如图1，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又DC＝BD，
∴AB＝AC；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AO＝BO，CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，又DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝10，
∴CD＝5，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
在Rt△DEC中，DE＝CD×sinC＝．


2．证明：连接OD，如右图所示，
∵∠FOD＝2∠BAD，AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝2∠BAD，
∴∠EAF＝∠FOD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF+∠EFA＝90°，
∴∠DFO+∠DOF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥EF，
即EF与圆O相切．

3．解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，
∴OC＝2，OP＝2PC＝4，
∴PE＝OP﹣OE＝OP﹣OC＝4﹣2．

4．（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵E为BD的中点，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE＝BE＝DE＝3，
∵EF＝5，
∴CF＝CE+EF＝8，
∵∠ABD＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵∠OCF＝90°，
∴∠EBF＝∠OCF，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△OCF，
∴，
∴，
∴OC＝6，
即⊙O的半径为6．

5．（1）证明：如图，连接OD．
∵BC为圆O的切线，
∴∠CBO＝90°．
∵AO平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠OAF．
∵OA＝OB＝OD，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，
∵∠BOC＝∠OAB+∠OBA，∠DOC＝∠OAD+∠ODA，
∴∠BOC＝∠DOC，
在△COB和△COD中，
，
∴BOC≌△DOC，
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AE＝DE，
∴＝，
∴∠DAE＝∠ABO，
∴∠BAO＝∠OAD＝∠ABO
∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，
∴∠AFE＝90°，
在Rt△AFE中，∵AE＝3，∠DAE＝30°，
∴EF＝AE＝，
∴AF＝＝．

6．证明：如右图所示，
（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝∠AED＝90°，
∴DE是⊙O的切线．

7．证明：过点O作OE⊥AB，

∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD
8．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点C是的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC＝＝4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴＝，
∴AE＝＝．

9．（1）证明：如图，连接OA，

∵∠C＝45°，
∴∠DOA＝90°，
∴AO⊥OD，
∵AB∥OD，
∴OA⊥AB，OA是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵∠C＝45°，CD＝2，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝2，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴AC＝AE+EC＝+．
答：AC边的长为+．
10．解：（1）连接OE，OF，如图，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF＝∠DOE．
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，
∴∠DOF＝2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD＝90°．
∴∠D+∠DOF＝90°，
∴∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴O为AB中点，∠AEB＝90°．
∵M为BE的中点，
∴OM∥AE，
∵∠A＝30°，
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵∠DOF＝2∠A＝60°，
∴∠MOF＝90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM＝OB＝r，
OM＝BM＝r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．
即（r）2+r2＝（）2，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．

11．（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
解得：BE＝12，
∵AC是⊙O的切线，
∴CD2＝CE•CB，
即82＝CE（CE+12），
解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），
即CE的长为4．

12．解：（1）如图所示，连接BO，
∵∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵DE⊥AC，CB＝BD，
∴Rt△DCE中，BE＝CD＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝30°，
∴△BCE中，∠EBC＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝120°，
∴∠EBO＝∠EBC﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）当BE＝3时，BC＝3，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ACB＝30°，
∴AB＝tan30°×BC＝，
∴AC＝2AB＝2，AO＝，
∴阴影部分的面积＝半圆的面积﹣Rt△ABC的面积＝π×AO2﹣AB×BC＝π×3﹣××3＝﹣．

13．解：（1）连接OB、OD、OC，

∵ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∵OC＝OC，OD＝OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，
∴∠OBC＝∠ODC＝90°，
即OB⊥BC，点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
（2）∵ABCD是菱形，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠DOB与∠A所对的弧都是，
∴∠DOB＝2∠A，
由（1）知∠DOB+∠C＝180°，
∴∠DOB＝120°，∠DOC＝60°，
∵OD＝1，∴OC＝2，DC＝
∴S阴影＝2S△DOC﹣S扇形OBD＝2××1×﹣＝﹣π．
14．解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，
∴∠DAM＝∠FAD，
∴∠BAM＝（∠CAD+∠FAD）＝90°，
∴AB⊥AM，
∴AM是⊙O的切线；
（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得BC＝BD，AC＝AD，
∠1＝∠3＝∠CAD，AC＝AD；
②由∠D＝60°°，AD＝2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1＝∠3＝30°；
③由OA＝OC，可得∠3＝∠4＝30°；
④由∠CAN＝∠3+∠OAN＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2；
⑤由△OAN为含有30°的直角三角形，可求ON的长．
附解答：∵AC＝AD，∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AD＝2，
∴CG＝DG＝1，
∴OC＝OA＝，
∵∠3＝∠4＝30°，
∴ON＝2OA＝．

15．解：（1）如图1所示：连接OD．

∵BC与圆O相切，
∴OD⊥BC．
∴∠ODB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC．
∴∠ODA＝∠DAC．
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠OAD＝∠DAC．
∴AD平分∠BAC．
（2）如图2所示：连接ED．

∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，
∴AE＝10，∠EDA＝90°．
∵∠EAD＝∠CAD，sin∠DAC＝，
∴AD＝×10＝4．
∴DC＝×4＝4，AC＝×4＝8．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴，即，解得：BD＝．
16．（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠OAE＝∠OAB+∠BAE＝90°，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：作AF⊥CD于F，如图2所示：
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°，
∵AC＝2，
∴在Rt△AFC中，AF＝CF＝AC•sin∠ACF＝2×＝2，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC＝＝3，
∴DF＝，
∴CD＝CF+DF＝2+＝．


17．解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设OB＝x，
又∵BE＝4，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D＝30°．
18．（1）证明：如图，连接OD．
∵CD＝DB，CO＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB＝2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD＝∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，
∴cos∠FOD＝＝，
设⊙O的半径为R，则＝，
解得R＝，
∴AB＝2OD＝．
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，
∴cosA＝＝＝，
∴AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝﹣＝2．

19．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴BC＝BD；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝25，
∵AB•DE＝AD•BD，
∴×25×DE＝×20×15．
∴DE＝12．
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD＝2DE＝2×12＝24．

20．解：作出弧AB所在圆的圆心O，连接OA、ON，
则NH＝MN＝6＝3，
设OA＝r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣2，AD＝AB＝4，
在Rt△AOD中，
∵OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5（m）
在Rt△ONH中，OH2＝ON2﹣NH2
∴，
∴FN＝DH＝OH﹣OD＝4﹣3＝1（m），
∵1＜1.5，
∴货船不可以顺利通过这座拱桥．