还剩30页未读，
继续阅读
湖北省黄石市初中教研协作体2022--2023学年九年级 上学期期末考试 数学试卷(含答案)
展开
这是一份湖北省黄石市初中教研协作体2022--2023学年九年级 上学期期末考试 数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄石市初中教研协作体九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2＝0 B．x（x﹣3）＝x2
C．ax2+5x﹣4＝0 D．3x2＝3（x2﹣1）+3
2．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可投中7次
C．明天太阳从东方升起是随机事件
D．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
6．已知y＝﹣x2﹣2x﹣2，其中x为实数，则y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y＜0 B．y＜0 C．y≤﹣1 D．全体实数
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
8．如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，与x轴交于（1，0）和（m，0），且﹣2＜m＜﹣1．有下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a；④当m＝﹣1.5时，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣0.5．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）
11．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是 ．
12．在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为12个．为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色，然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程100次，其中摸到红球的次数为40次，由此可以估计箱子里红球个数约是 个．
13．如图，若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是 ．
14．已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为160°，68°，则∠APE＝ °．
15．圆锥的底面半径为3cm，侧面积为12πcm2，则这个圆锥的母线长为 cm．
16．过反比例函数（k≠0）的图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，C若△ABC的面积为4，则k的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（4，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．用适当的方法求下列方程：
（1）x2+3＝4（x+2）；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
21．为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2）根据题中信息，估计该校共有 人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 人．
（3）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
22．（1）x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．
（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，s2＝α2+β2，…，sn＝αn+βn．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出s1，s2的值．
②经计算可得：s2＝4，s3＝7，s4＝11，当n≥3时，请猜想sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并给出证明．
23．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
24．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图1，若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图2，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于F，若ED＝DF，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（4，0），此抛物线对称轴为x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x＝7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2＝0 B．x（x﹣3）＝x2
C．ax2+5x﹣4＝0 D．3x2＝3（x2﹣1）+3
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x2﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．方程整理可得3x＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，ax2+5x﹣4＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．3x2＝3（x2﹣1）+3整理后不合未知数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可投中7次
C．明天太阳从东方升起是随机事件
D．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，概率的意义判断即可．
解：A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次不一定投中7次，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起是必然事件，故C不符合题意；
D、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，概率的公式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
6．已知y＝﹣x2﹣2x﹣2，其中x为实数，则y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y＜0 B．y＜0 C．y≤﹣1 D．全体实数
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣2
＝﹣（x2+2x+1）﹣1
＝﹣（x+1）2﹣1，
∴函数的最大值是﹣1，即y≤﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及二次函数的性质，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，则∠CBH＝30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH＝BC＝，BH＝CH＝3，所以OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，于是可写出C点坐标．
解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x＝2时，y＝x＝2，
∴A（2，2），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝30°，
在Rt△CBH中，CH＝BC＝，
BH＝CH＝3，
OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，
∴C（﹣1，）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含30度的直角三角形三边的关系．
8．如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
【分析】甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵AB＝OP＝AP，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠OAP＝∠APB+∠ABP，
∴∠APB＝∠ABP＝30°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，
∵∠BPC＝∠BAP，
∴∠APB+∠BPC＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴OP⊥PC，
∴PC是⊙O的切线，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，与x轴交于（1，0）和（m，0），且﹣2＜m＜﹣1．有下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a；④当m＝﹣1.5时，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣0.5．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线对称性及（1，0）和（m，0）可得抛物线对称轴的位置，由抛物线开口向下，﹣2＜m＜﹣1可得a与b的符号，由抛物线开口向下，抛物线与x轴有2个交点可得c＞0，从而判断①②，由抛物线与直线y＝1有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，可判断③，由m＝﹣可得函数y＝|ax2+bx+c|的对称轴，由函数的对称性可得四个根的和，从而判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣＜＜0，
∴﹣＜﹣＜0，
∴b＜0，
∵（m，0），（1，0），在y轴左右两侧，
∴抛物线与y轴交点在x轴上方，即c＞0，
∴abc＞0，①正确．
∵﹣＜﹣＜0，a＜0，b＜0，
∴b＞a，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴2a+c＜0，②正确．
∵抛物线开口下，
∴抛物线与直线y＝1有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，
即＞1，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根时4ac﹣b2＜4a，③正确．
∵m＝﹣，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣，
方程|ax2+bx+c|＝1的根为函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝1的交点横坐标，
由函数的对称性可得x1+x2+x3+x4＝2×（﹣）+2×（﹣）＝﹣1．
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）
11．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是 ﹣1 ．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
12．在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为12个．为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色，然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程100次，其中摸到红球的次数为40次，由此可以估计箱子里红球个数约是 8 个．
【分析】利用摸球100次，红球出现的频率来估计总体中红球的概率，列方程计算即可．
解：设箱子里有x个红球，由题意得，
＝，
解得，x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，
即箱子里有红球8个，
故答案为：8．
【点评】本题考查利用频率估计概率，理解频率、概率的意义及其相互联系与区别是解决问题的前提．
13．如图，若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是 2≤m≤4 ．
【分析】根据题意和函数图象，可以直接写出当直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点时．常数m的取值范围．
解：由图象可得，
直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点时．常数m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点评】本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
14．已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为160°，68°，则∠APE＝ 24 °．
【分析】连接OD，OC，根据圆周角定理得出∠AOD＝68°，∠AOC＝160°，进而得出∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝92°，∠COP＝180°﹣∠AOC＝20°，根据等腰三角形的性质得出∠OCD＝44°，根据三角形外角性质求解即可．
解：如图，连接OD，OC，
根据题意得，
∠AOD＝68°，∠AOC＝160°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝92°，∠COP＝180°﹣∠AOC＝20°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝×（180°﹣92°）＝44°，
∵∠OCD＝∠COP+∠APE，
∴∠APE＝24°，
故答案为：24．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
15．圆锥的底面半径为3cm，侧面积为12πcm2，则这个圆锥的母线长为 4 cm．
【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•3•l＝12π，然后解方程即可．
解：设圆锥的母线长为lcm，
根据题意得•2π•3•l＝12π，
解得l＝4，
所以圆锥的母线长为4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
16．过反比例函数（k≠0）的图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，C若△ABC的面积为4，则k的值为 ±8 ．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到|k|＝4，然后解方程即可．
解：根据题意得|k|＝4，
解得k＝±8．
故答案为±8．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（4，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为 （3，） ．
【分析】根据菱形的性质，中点坐标公式分别求出前9秒时，D点的坐标，再根据规律求得结果．
解：如图，连接OD，过点C作CH⊥OB于H，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，OC＝BC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝4，
∵点D是BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝2，
∴OD＝BD＝2，
∵CH⊥OB，∠COB＝60°，
∴OH＝BH＝2，CH＝OH＝2，
∴点C（2，﹣2），
∵点D是BC中点，
∴点D（3，﹣），
∵将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，
∴第1秒后，点D1坐标为（0，﹣2），第2秒后，点D2坐标为（﹣3，﹣），第3秒后，点D3坐标为（﹣3，），第4秒后，点D4坐标为（0，2），第5秒后，点D5坐标为（3，），第6秒后，点D6坐标为（3，﹣），…
由上可知，点D的坐标每6个为一组依次循环着，
∴2021÷6＝371…5，
∴第2021秒时，点D的坐标为（3，），
故答案为：（3，）．
【点评】本题考查了菱形形的性质，点的坐标特征，求中点坐标，数字规律探索，关键是求出前面6秒时D点的坐标，找出规律．
18．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 4.8 ．
【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．
解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ是⊙F的直径，
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．
∴FC+FD＝PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值
∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．
故答案为4.8．
【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．用适当的方法求下列方程：
（1）x2+3＝4（x+2）；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0．
【分析】（1）先变形得到x2﹣4x﹣5＝0，再利用因式分解得到（x﹣5）（x+1）＝0，则原方程化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用公式法求解．
【解答】解（1）x2+3＝4（x+2），
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝9+32＝41＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝42°，求得∠CAE＝∠BAD，根据全等三角形的性质得到BD＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝DAE＝21°，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵∠BAC＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝DAE＝21°，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝21°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 75分 ，众数是 76分 ．
（2）根据题中信息，估计该校共有 500 人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 30 人．
（3）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【分析】（1）先把这组数据从小到大排列，然后直接得到中位数和众数；
（2）由选择A课程的学生数是100，占20%，即可得出该校的总人数；用选择A课程的学生乘以成绩在80≤x＜90的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩第二次同时选择课程A或课程B的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）把这些数从小到大排列为72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75分，
众数是76分；
故答案为：75分，76分；
（2）估计该校共有学生人数有：100÷20%＝500（人），
选A课程学生成绩在80≤x＜90的有100×＝30（人）；
故答案为：500，30；
（3）根据题意列树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
则他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．（1）x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．
（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，s2＝α2+β2，…，sn＝αn+βn．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出s1，s2的值．
②经计算可得：s2＝4，s3＝7，s4＝11，当n≥3时，请猜想sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并给出证明．
【分析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2，再变形已知条件得到k2+2+2（k+1）+1＝8，解得k1＝﹣3，k2＝1，然后根据判别式的意义确定k的值．
（2）①此小题只需对x2﹣x＝1配方解得x的值即为α，β的值，再由s1＝α+β，s2＝α2+β2求得s1，s2的值；
②此小题可猜想得到sn＝sn﹣1+sn﹣2，再根据根的定义证明即可．
解：（1）由已知定理得：x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2，
∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝2（k+1）+k2+2+1＝8，
即k2+2k﹣3＝0，解得：k1＝﹣3，k2＝1，
当k1＝﹣3时，Δ＝4（k+1）2﹣4（k2+2）＝42﹣4×11＜0，
∴k1＝﹣3舍去，
当k2＝1时，Δ＝4（k+1）2﹣4（k2+2）＝（﹣4）2﹣4×3＞0，
∴k的值为1；
（2）①移项，得x2﹣x＝1，
配方，得x2﹣2×x×+（）2＝1+（）2，即（x﹣）2＝，
开平方，得x﹣＝±，即x＝，
所以α＝，β＝．
于是，s1＝1，s2＝3．
②猜想：sn＝sn﹣1+sn﹣2．
证明：根据根的定义，α2﹣α﹣1＝0，
两边都乘以αn﹣2，得 αn﹣αn﹣1﹣αn﹣2＝0①，
同理，βn﹣βn﹣1﹣βn﹣2＝0②，
①+②，得（αn+βn）﹣（αn﹣1+βn﹣1）﹣（αn﹣2+βn﹣2）＝0，
因为sn＝αn+βn，sn﹣1＝αn﹣1+βn﹣1，sn﹣2＝αn﹣2+βn﹣2，
所以sn﹣sn﹣1﹣sn﹣2＝0，即sn＝sn﹣1+sn﹣2．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，正确利用根的判别式和配方法解一元二次方程是解题关键．
23．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，可以写出w与x之间的函数关系式；
（2）根据“每天的销售利润为2500元列出一元二次方程，求解即可；
（3）根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和二次函数的性质，可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润．
解：（1）由题意可得，
w与x之间的函数关系式为：w＝y （x﹣60）
＝（﹣20x+1800）（x﹣60）
＝﹣20x2+3000x﹣108000，
∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣20x2+3000x﹣108000；
（2）令﹣20x2+3000x﹣108000＝2500，
解得x1＝85，x2＝65，
∵要最大程度的减少库存，
∴x＝65，
答：黑木耳的销售单价为65元；
（3）∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240盒的销售任务，
∴，即，
解得：76≤x≤78，
由（1）得，w＝﹣20x2+3000x﹣108000＝﹣20（x﹣75）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝76时，w取得最大值，此时w＝4480，
答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图1，若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图2，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于F，若ED＝DF，求的值．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质、垂直的定义及切线的判定定理可得结论；
（2）连接BC，交OD于F，根据圆周角定理及勾股定理可得答案；
（3）连接BD，根据切线的性质可得∠EDA＝∠ABD＝∠F，再由全等三角形的判定与性质可得AD＝BF，AE＝DB，过点D作DP⊥AB于P，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
解：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠EAD，
∴∠ADO＝∠OAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AED+∠ODE＝180°，
∴∠ODE＝90°，
∴OE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AE，
∴CF＝FB＝BC，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4；
（3）连接BD，
∴∠BDF＝90°，
∵∠DBF+∠F＝90°，BF为⊙O的切线，
∴∠ABO+∠DBF＝90°，
∴∠ABD＝∠F，
∵∠DAE＝∠DAB，∠E＝∠ADB，
∴∠EDA＝∠ABD＝∠F，
在△ADE和△BFD中，
，
∴△ADE≌△BFD（ASA），
∴AD＝BF，AE＝DB，
过点D作DP⊥AB于P，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝DP，
∵DP⊥AB，BF⊥AB，
∴DP∥BF，
∴△APD∽△ABF，
∴，
设PD＝x，BF＝y，
∵BF＝AD＝y，PO＝OE＝OF＝x，
∴，
∴x2+xy＝y2，
∵△＝y2﹣4x（y2）＝5y2，
∴x＝，
∴x1＝y，x2＝y，
∵x＞0，y＞0，
∴x2＝y（舍去），
∴x＝y，
∴PO＝OE＝y，
∵AD＝y，
∴＝．
【点评】此题考查的是圆的性质、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（4，0），此抛物线对称轴为x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x＝7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线对称轴求出b与a的数量关系，再将（4，0）代入解析式求解．
（2）先求出点C坐标，从而可得直线BC的解析式，进而求解．
（3）分类讨论点P在x轴上方与x轴下方两种情况，过点P作x轴的平行线交直线x＝7于点M，过点A作y轴平行线交PM于点N，通过△ANP≌△PMQ求解．
解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣3ax+4，
把（4，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得0＝16a﹣12a+4，
解得a＝﹣1，
∴b＝﹣3a＝3，
∴y＝﹣x2+3x+4．
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
设直线BC解析式为y＝kx+m，
将（0，4），（4，0）代入y＝kx+m得，
解得，
∴y＝﹣x+4，
把x＝代入y＝﹣x+4得y＝﹣+4＝，
把x＝代入y＝﹣x2+3x+4＝﹣+3×+4＝，
∴抛物线顶点坐标为（，），平移后顶点坐标为（，﹣t），
由题意得0＜﹣t＜，
解得＜t＜．
（3）如图，当点P在x轴上方时，过点P作x轴的平行线交直线x＝7于点M，过点A作y轴平行线交PM于点N，
当△PAQ为以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，△ANP≌△PMQ，
设点P（m，﹣m2+3m+4），则NA＝yP＝﹣m2+3m+4，MP＝7﹣xP＝7﹣m，
由NA＝PM得﹣m2+3m+4＝7﹣m，
解得m＝1或m＝3，
∴点P坐标为（1，6）或（3，4）．
如图，当点P在x轴下方，
同理可得AN＝﹣yP＝m2﹣3m﹣4，MP＝7﹣xP＝7﹣m，
∴m2﹣3m﹣4＝7﹣m，
解得m＝1+2或m＝1﹣2，
把m＝1+2代入y＝﹣m2+3m+4得y＝﹣6+2，
把m＝1﹣2代入y＝﹣m2+3m+4得y＝﹣6﹣2，
∴点P坐标为（1+2，﹣6+2）或（1﹣2，﹣6﹣2）．
综上所述，点P坐标为（1，6）或（3，4）或（1﹣2，﹣6﹣2）或（1+2，﹣6+2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
2022-2023学年湖北省黄石市初中教研协作体九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2＝0 B．x（x﹣3）＝x2
C．ax2+5x﹣4＝0 D．3x2＝3（x2﹣1）+3
2．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可投中7次
C．明天太阳从东方升起是随机事件
D．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
6．已知y＝﹣x2﹣2x﹣2，其中x为实数，则y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y＜0 B．y＜0 C．y≤﹣1 D．全体实数
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
8．如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，与x轴交于（1，0）和（m，0），且﹣2＜m＜﹣1．有下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a；④当m＝﹣1.5时，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣0.5．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）
11．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是 ．
12．在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为12个．为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色，然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程100次，其中摸到红球的次数为40次，由此可以估计箱子里红球个数约是 个．
13．如图，若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是 ．
14．已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为160°，68°，则∠APE＝ °．
15．圆锥的底面半径为3cm，侧面积为12πcm2，则这个圆锥的母线长为 cm．
16．过反比例函数（k≠0）的图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，C若△ABC的面积为4，则k的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（4，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．用适当的方法求下列方程：
（1）x2+3＝4（x+2）；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
21．为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2）根据题中信息，估计该校共有 人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 人．
（3）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
22．（1）x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．
（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，s2＝α2+β2，…，sn＝αn+βn．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出s1，s2的值．
②经计算可得：s2＝4，s3＝7，s4＝11，当n≥3时，请猜想sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并给出证明．
23．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
24．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图1，若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图2，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于F，若ED＝DF，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（4，0），此抛物线对称轴为x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x＝7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2＝0 B．x（x﹣3）＝x2
C．ax2+5x﹣4＝0 D．3x2＝3（x2﹣1）+3
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x2﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．方程整理可得3x＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，ax2+5x﹣4＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．3x2＝3（x2﹣1）+3整理后不合未知数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可投中7次
C．明天太阳从东方升起是随机事件
D．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，概率的意义判断即可．
解：A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次不一定投中7次，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起是必然事件，故C不符合题意；
D、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，概率的公式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
6．已知y＝﹣x2﹣2x﹣2，其中x为实数，则y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y＜0 B．y＜0 C．y≤﹣1 D．全体实数
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣2
＝﹣（x2+2x+1）﹣1
＝﹣（x+1）2﹣1，
∴函数的最大值是﹣1，即y≤﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及二次函数的性质，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，则∠CBH＝30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH＝BC＝，BH＝CH＝3，所以OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，于是可写出C点坐标．
解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x＝2时，y＝x＝2，
∴A（2，2），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝30°，
在Rt△CBH中，CH＝BC＝，
BH＝CH＝3，
OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，
∴C（﹣1，）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含30度的直角三角形三边的关系．
8．如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
【分析】甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵AB＝OP＝AP，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠OAP＝∠APB+∠ABP，
∴∠APB＝∠ABP＝30°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，
∵∠BPC＝∠BAP，
∴∠APB+∠BPC＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴OP⊥PC，
∴PC是⊙O的切线，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，与x轴交于（1，0）和（m，0），且﹣2＜m＜﹣1．有下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a；④当m＝﹣1.5时，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣0.5．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线对称性及（1，0）和（m，0）可得抛物线对称轴的位置，由抛物线开口向下，﹣2＜m＜﹣1可得a与b的符号，由抛物线开口向下，抛物线与x轴有2个交点可得c＞0，从而判断①②，由抛物线与直线y＝1有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，可判断③，由m＝﹣可得函数y＝|ax2+bx+c|的对称轴，由函数的对称性可得四个根的和，从而判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣＜＜0，
∴﹣＜﹣＜0，
∴b＜0，
∵（m，0），（1，0），在y轴左右两侧，
∴抛物线与y轴交点在x轴上方，即c＞0，
∴abc＞0，①正确．
∵﹣＜﹣＜0，a＜0，b＜0，
∴b＞a，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴2a+c＜0，②正确．
∵抛物线开口下，
∴抛物线与直线y＝1有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，
即＞1，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根时4ac﹣b2＜4a，③正确．
∵m＝﹣，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣，
方程|ax2+bx+c|＝1的根为函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝1的交点横坐标，
由函数的对称性可得x1+x2+x3+x4＝2×（﹣）+2×（﹣）＝﹣1．
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）
11．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是 ﹣1 ．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
12．在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为12个．为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色，然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程100次，其中摸到红球的次数为40次，由此可以估计箱子里红球个数约是 8 个．
【分析】利用摸球100次，红球出现的频率来估计总体中红球的概率，列方程计算即可．
解：设箱子里有x个红球，由题意得，
＝，
解得，x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，
即箱子里有红球8个，
故答案为：8．
【点评】本题考查利用频率估计概率，理解频率、概率的意义及其相互联系与区别是解决问题的前提．
13．如图，若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是 2≤m≤4 ．
【分析】根据题意和函数图象，可以直接写出当直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点时．常数m的取值范围．
解：由图象可得，
直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有两个不同的交点时．常数m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点评】本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
14．已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为160°，68°，则∠APE＝ 24 °．
【分析】连接OD，OC，根据圆周角定理得出∠AOD＝68°，∠AOC＝160°，进而得出∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝92°，∠COP＝180°﹣∠AOC＝20°，根据等腰三角形的性质得出∠OCD＝44°，根据三角形外角性质求解即可．
解：如图，连接OD，OC，
根据题意得，
∠AOD＝68°，∠AOC＝160°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝92°，∠COP＝180°﹣∠AOC＝20°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝×（180°﹣92°）＝44°，
∵∠OCD＝∠COP+∠APE，
∴∠APE＝24°，
故答案为：24．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
15．圆锥的底面半径为3cm，侧面积为12πcm2，则这个圆锥的母线长为 4 cm．
【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•3•l＝12π，然后解方程即可．
解：设圆锥的母线长为lcm，
根据题意得•2π•3•l＝12π，
解得l＝4，
所以圆锥的母线长为4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
16．过反比例函数（k≠0）的图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，C若△ABC的面积为4，则k的值为 ±8 ．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到|k|＝4，然后解方程即可．
解：根据题意得|k|＝4，
解得k＝±8．
故答案为±8．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（4，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为 （3，） ．
【分析】根据菱形的性质，中点坐标公式分别求出前9秒时，D点的坐标，再根据规律求得结果．
解：如图，连接OD，过点C作CH⊥OB于H，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，OC＝BC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝4，
∵点D是BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝2，
∴OD＝BD＝2，
∵CH⊥OB，∠COB＝60°，
∴OH＝BH＝2，CH＝OH＝2，
∴点C（2，﹣2），
∵点D是BC中点，
∴点D（3，﹣），
∵将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，
∴第1秒后，点D1坐标为（0，﹣2），第2秒后，点D2坐标为（﹣3，﹣），第3秒后，点D3坐标为（﹣3，），第4秒后，点D4坐标为（0，2），第5秒后，点D5坐标为（3，），第6秒后，点D6坐标为（3，﹣），…
由上可知，点D的坐标每6个为一组依次循环着，
∴2021÷6＝371…5，
∴第2021秒时，点D的坐标为（3，），
故答案为：（3，）．
【点评】本题考查了菱形形的性质，点的坐标特征，求中点坐标，数字规律探索，关键是求出前面6秒时D点的坐标，找出规律．
18．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 4.8 ．
【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．
解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ是⊙F的直径，
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．
∴FC+FD＝PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值
∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．
故答案为4.8．
【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．用适当的方法求下列方程：
（1）x2+3＝4（x+2）；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0．
【分析】（1）先变形得到x2﹣4x﹣5＝0，再利用因式分解得到（x﹣5）（x+1）＝0，则原方程化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用公式法求解．
【解答】解（1）x2+3＝4（x+2），
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝9+32＝41＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝42°，求得∠CAE＝∠BAD，根据全等三角形的性质得到BD＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝DAE＝21°，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵∠BAC＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝DAE＝21°，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝21°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 75分 ，众数是 76分 ．
（2）根据题中信息，估计该校共有 500 人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 30 人．
（3）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【分析】（1）先把这组数据从小到大排列，然后直接得到中位数和众数；
（2）由选择A课程的学生数是100，占20%，即可得出该校的总人数；用选择A课程的学生乘以成绩在80≤x＜90的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩第二次同时选择课程A或课程B的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）把这些数从小到大排列为72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75分，
众数是76分；
故答案为：75分，76分；
（2）估计该校共有学生人数有：100÷20%＝500（人），
选A课程学生成绩在80≤x＜90的有100×＝30（人）；
故答案为：500，30；
（3）根据题意列树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
则他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．（1）x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．
（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，s2＝α2+β2，…，sn＝αn+βn．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出s1，s2的值．
②经计算可得：s2＝4，s3＝7，s4＝11，当n≥3时，请猜想sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并给出证明．
【分析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2，再变形已知条件得到k2+2+2（k+1）+1＝8，解得k1＝﹣3，k2＝1，然后根据判别式的意义确定k的值．
（2）①此小题只需对x2﹣x＝1配方解得x的值即为α，β的值，再由s1＝α+β，s2＝α2+β2求得s1，s2的值；
②此小题可猜想得到sn＝sn﹣1+sn﹣2，再根据根的定义证明即可．
解：（1）由已知定理得：x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2，
∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝2（k+1）+k2+2+1＝8，
即k2+2k﹣3＝0，解得：k1＝﹣3，k2＝1，
当k1＝﹣3时，Δ＝4（k+1）2﹣4（k2+2）＝42﹣4×11＜0，
∴k1＝﹣3舍去，
当k2＝1时，Δ＝4（k+1）2﹣4（k2+2）＝（﹣4）2﹣4×3＞0，
∴k的值为1；
（2）①移项，得x2﹣x＝1，
配方，得x2﹣2×x×+（）2＝1+（）2，即（x﹣）2＝，
开平方，得x﹣＝±，即x＝，
所以α＝，β＝．
于是，s1＝1，s2＝3．
②猜想：sn＝sn﹣1+sn﹣2．
证明：根据根的定义，α2﹣α﹣1＝0，
两边都乘以αn﹣2，得 αn﹣αn﹣1﹣αn﹣2＝0①，
同理，βn﹣βn﹣1﹣βn﹣2＝0②，
①+②，得（αn+βn）﹣（αn﹣1+βn﹣1）﹣（αn﹣2+βn﹣2）＝0，
因为sn＝αn+βn，sn﹣1＝αn﹣1+βn﹣1，sn﹣2＝αn﹣2+βn﹣2，
所以sn﹣sn﹣1﹣sn﹣2＝0，即sn＝sn﹣1+sn﹣2．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，正确利用根的判别式和配方法解一元二次方程是解题关键．
23．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，可以写出w与x之间的函数关系式；
（2）根据“每天的销售利润为2500元列出一元二次方程，求解即可；
（3）根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和二次函数的性质，可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润．
解：（1）由题意可得，
w与x之间的函数关系式为：w＝y （x﹣60）
＝（﹣20x+1800）（x﹣60）
＝﹣20x2+3000x﹣108000，
∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣20x2+3000x﹣108000；
（2）令﹣20x2+3000x﹣108000＝2500，
解得x1＝85，x2＝65，
∵要最大程度的减少库存，
∴x＝65，
答：黑木耳的销售单价为65元；
（3）∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240盒的销售任务，
∴，即，
解得：76≤x≤78，
由（1）得，w＝﹣20x2+3000x﹣108000＝﹣20（x﹣75）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝76时，w取得最大值，此时w＝4480，
答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图1，若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图2，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于F，若ED＝DF，求的值．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质、垂直的定义及切线的判定定理可得结论；
（2）连接BC，交OD于F，根据圆周角定理及勾股定理可得答案；
（3）连接BD，根据切线的性质可得∠EDA＝∠ABD＝∠F，再由全等三角形的判定与性质可得AD＝BF，AE＝DB，过点D作DP⊥AB于P，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
解：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠EAD，
∴∠ADO＝∠OAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AED+∠ODE＝180°，
∴∠ODE＝90°，
∴OE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AE，
∴CF＝FB＝BC，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4；
（3）连接BD，
∴∠BDF＝90°，
∵∠DBF+∠F＝90°，BF为⊙O的切线，
∴∠ABO+∠DBF＝90°，
∴∠ABD＝∠F，
∵∠DAE＝∠DAB，∠E＝∠ADB，
∴∠EDA＝∠ABD＝∠F，
在△ADE和△BFD中，
，
∴△ADE≌△BFD（ASA），
∴AD＝BF，AE＝DB，
过点D作DP⊥AB于P，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝DP，
∵DP⊥AB，BF⊥AB，
∴DP∥BF，
∴△APD∽△ABF，
∴，
设PD＝x，BF＝y，
∵BF＝AD＝y，PO＝OE＝OF＝x，
∴，
∴x2+xy＝y2，
∵△＝y2﹣4x（y2）＝5y2，
∴x＝，
∴x1＝y，x2＝y，
∵x＞0，y＞0，
∴x2＝y（舍去），
∴x＝y，
∴PO＝OE＝y，
∵AD＝y，
∴＝．
【点评】此题考查的是圆的性质、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（4，0），此抛物线对称轴为x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x＝7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线对称轴求出b与a的数量关系，再将（4，0）代入解析式求解．
（2）先求出点C坐标，从而可得直线BC的解析式，进而求解．
（3）分类讨论点P在x轴上方与x轴下方两种情况，过点P作x轴的平行线交直线x＝7于点M，过点A作y轴平行线交PM于点N，通过△ANP≌△PMQ求解．
解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣3ax+4，
把（4，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得0＝16a﹣12a+4，
解得a＝﹣1，
∴b＝﹣3a＝3，
∴y＝﹣x2+3x+4．
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
设直线BC解析式为y＝kx+m，
将（0，4），（4，0）代入y＝kx+m得，
解得，
∴y＝﹣x+4，
把x＝代入y＝﹣x+4得y＝﹣+4＝，
把x＝代入y＝﹣x2+3x+4＝﹣+3×+4＝，
∴抛物线顶点坐标为（，），平移后顶点坐标为（，﹣t），
由题意得0＜﹣t＜，
解得＜t＜．
（3）如图，当点P在x轴上方时，过点P作x轴的平行线交直线x＝7于点M，过点A作y轴平行线交PM于点N，
当△PAQ为以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，△ANP≌△PMQ，
设点P（m，﹣m2+3m+4），则NA＝yP＝﹣m2+3m+4，MP＝7﹣xP＝7﹣m，
由NA＝PM得﹣m2+3m+4＝7﹣m，
解得m＝1或m＝3，
∴点P坐标为（1，6）或（3，4）．
如图，当点P在x轴下方，
同理可得AN＝﹣yP＝m2﹣3m﹣4，MP＝7﹣xP＝7﹣m，
∴m2﹣3m﹣4＝7﹣m，
解得m＝1+2或m＝1﹣2，
把m＝1+2代入y＝﹣m2+3m+4得y＝﹣6+2，
把m＝1﹣2代入y＝﹣m2+3m+4得y＝﹣6﹣2，
∴点P坐标为（1+2，﹣6+2）或（1﹣2，﹣6﹣2）．
综上所述，点P坐标为（1，6）或（3，4）或（1﹣2，﹣6﹣2）或（1+2，﹣6+2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
相关试卷
湖北省黄石市协作体2023-2024学年数学九上期末达标检测试题含答案： 这是一份湖北省黄石市协作体2023-2024学年数学九上期末达标检测试题含答案，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，对于二次函数y＝2，抛物线与坐标轴的交点个数为等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖北省黄石市协作体数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含答案： 这是一份2023-2024学年湖北省黄石市协作体数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含答案，共7页。
湖北省黄石市黄石港区教研协作体2023-2024学年九年级上学期质检数学试卷（10月份） （月考）： 这是一份湖北省黄石市黄石港区教研协作体2023-2024学年九年级上学期质检数学试卷（10月份） （月考），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
